Bài toán mở đầu

Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng 1 cm³ đồng nặng 8,9 g và 1 cm³ kẽm nặng 7 g.

Bài toán trên có hai đại lượng chưa biết (số gam đồng và số gam kẽm) cùng hai mối quan hệ (về khối lượng và về thể tích). Đây chính là dạng bài toán mà ta có thể giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải bài toán mở đầu

Gọi $x$ là số gam đồng, $y$ là số gam kẽm cần tính ($x > 0$, $y > 0$).

Về khối lượng: Vật nặng 124 g nên:

$$x + y = 124 \quad (1)$$

Về thể tích: Vì 1 cm³ đồng nặng 8,9 g nên 1 g đồng có thể tích $\dfrac{1}{8{,}9} = \dfrac{10}{89}$ (cm³). Vì 1 cm³ kẽm nặng 7 g nên 1 g kẽm có thể tích $\dfrac{1}{7}$ (cm³). Vật có thể tích 15 cm³ nên:

$$\dfrac{10}{89}x + \dfrac{1}{7}y = 15 \quad (2)$$

Giải hệ phương trình: Từ $(1)$ và $(2)$, nhân hai vế của $(2)$ với 7:

$$\dfrac{70}{89}x + y = 105$$

Trừ phương trình này cho $(1)$:

$$\dfrac{70}{89}x – x = 105 – 124$$

$$\dfrac{70 – 89}{89}x = -19$$

$$\dfrac{-19}{89}x = -19 \implies x = 89$$

Thế vào $(1)$: $y = 124 – 89 = 35$.

Kết luận: Trong hợp kim có 89 g đồng và 35 g kẽm.

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Từ bài toán trên, ta rút ra quy trình tổng quát:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

• Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải hệ phương trình (bằng phương pháp thế, cộng đại số hoặc MTCT).

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không, rồi kết luận.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 1006, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Giải:

Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$, trong đó $x < y$. Vì số dư trong phép chia $y$ cho $x$ là 124 nên $x > 124$. Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}$ và $124 < x < y$.

Tổng hai số bằng 1006: $x + y = 1006 \quad (1)$

Chia $y$ cho $x$ được thương 2, dư 124: $y = 2x + 124 \quad (2)$

Thế $(2)$ vào $(1)$: $x + 2x + 124 = 1006$, suy ra $3x = 882$, tức $x = 294$.

Từ đó: $y = 2 \cdot 294 + 124 = 712$.

Kiểm tra: $x = 294$ và $y = 712$ thoả mãn $124 < 294 < 712$ ✓

Kết luận: Hai số cần tìm là 294 và 712.

Ví dụ 2. Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất mỗi đội không đổi).

Giải:

Gọi $x$ là số ngày đội I hoàn thành nếu làm một mình, $y$ là số ngày đội II hoàn thành nếu làm một mình ($x > 0$, $y > 0$).

Mỗi ngày đội I làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc, đội II làm được $\dfrac{1}{y}$ công việc.

Đội I làm nhiều gấp rưỡi đội II: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{y} \quad (1)$

Hai đội làm chung xong trong 24 ngày, nên mỗi ngày cả hai đội làm được $\dfrac{1}{24}$ công việc:

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{24} \quad (2)$$

Hệ phương trình thu được không phải hệ bậc nhất hai ẩn (vì $x$, $y$ nằm ở mẫu). Ta đặt ẩn phụ: $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$. Khi đó hệ trở thành:

$$\begin{cases} u = \dfrac{3}{2}v \quad (3) \\ u + v = \dfrac{1}{24} \quad (4) \end{cases}$$

Thế $(3)$ vào $(4)$: $\dfrac{3}{2}v + v = \dfrac{1}{24}$, suy ra $\dfrac{5}{2}v = \dfrac{1}{24}$, tức $v = \dfrac{1}{60}$.

Từ đó: $u = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{60} = \dfrac{1}{40}$.

Suy ra: $x = \dfrac{1}{u} = 40$ và $y = \dfrac{1}{v} = 60$ (thoả mãn điều kiện).

Kết luận: Nếu làm một mình, đội I hoàn thành trong 40 ngày, đội II hoàn thành trong 60 ngày.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Bài toán tìm số

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài yêu cầu tìm các số thoả mãn những điều kiện về tổng, hiệu, phép chia có dư, hoặc liên quan đến các chữ số.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi ẩn là các số (hoặc chữ số) cần tìm, đặt điều kiện phù hợp (số tự nhiên, chữ số từ 0 đến 9, chữ số hàng chục khác 0…).
• Bước 2: Dịch các dữ kiện đề bài thành phương trình:
  • Số có hai chữ số $a$ (hàng chục) và $b$ (hàng đơn vị) có giá trị $\overline{ab} = 10a + b$.
  • Đổi chỗ hai chữ số: $\overline{ba} = 10b + a$.
  • Phép chia có dư: $\text{số bị chia} = \text{thương} \times \text{số chia} + \text{số dư}$.
• Bước 3: Giải hệ và kiểm tra điều kiện.

Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên $n$ có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 12, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn $n$ là 36 đơn vị.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $a$ là chữ số hàng chục, $b$ là chữ số hàng đơn vị của số $n$ ($a, b \in \mathbb{N}$, $0 < a \leq 9$, $0 \leq b \leq 9$).

Khi đó số $n = \overline{ab} = 10a + b$.

Bước 2: Lập hệ phương trình.

Tổng hai chữ số bằng 12:

$$a + b = 12 \quad (1)$$

Viết ngược lại được số $\overline{ba} = 10b + a$. Số mới lớn hơn $n$ là 36 đơn vị:

$$(10b + a) – (10a + b) = 36$$

$$9b – 9a = 36$$

$$-a + b = 4 \quad (2)$$

Bước 3: Giải hệ:

$$\begin{cases} a + b = 12 \\ -a + b = 4 \end{cases}$$

Cộng từng vế: $2b = 16$, suy ra $b = 8$.

Thế vào $(1)$: $a = 12 – 8 = 4$.

Kiểm tra: $a = 4$, $b = 8$ thoả mãn điều kiện ✓. Số $n = 48$. Viết ngược: 84. Hiệu: $84 – 48 = 36$ ✓.

Kết luận: Số cần tìm là $n = 48$.

Dạng 2: Bài toán chuyển động

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài liên quan đến quãng đường, vận tốc, thời gian của các phương tiện di chuyển.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi ẩn là vận tốc (hoặc thời gian) cần tìm, đặt điều kiện dương.
• Bước 2: Sử dụng công thức $s = v \cdot t$ (quãng đường = vận tốc × thời gian) để lập phương trình.
  • Hai xe đi ngược chiều gặp nhau: tổng quãng đường hai xe = khoảng cách ban đầu.
  • Hai xe đi cùng chiều đuổi kịp nhau: hiệu quãng đường = khoảng cách ban đầu.
• Bước 3: Giải hệ và kiểm tra điều kiện.

Lưu ý: Cần chú ý chuyển đổi đơn vị thời gian (phút sang giờ) cho nhất quán.

Ví dụ 2. Một chiếc xe khách đi từ TP. Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 170 km. Sau khi xe khách xuất phát 1 giờ 40 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về TP. Hồ Chí Minh (trên cùng tuyến đường) và gặp xe khách sau đó 40 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ (km/h) là vận tốc xe khách, $y$ (km/h) là vận tốc xe tải ($x, y > 0$).

Bước 2: Lập hệ phương trình.

Xe khách nhanh hơn xe tải 15 km/h:

$$x – y = 15 \quad (1)$$

Đổi: 1 giờ 40 phút $= \dfrac{5}{3}$ giờ; 40 phút $= \dfrac{2}{3}$ giờ.

Thời gian xe khách đi (tính đến lúc gặp nhau): $\dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3}$ giờ.

Quãng đường xe khách đi: $\dfrac{7}{3}x$ (km).

Thời gian xe tải đi (tính đến lúc gặp nhau): $\dfrac{2}{3}$ giờ.

Quãng đường xe tải đi: $\dfrac{2}{3}y$ (km).

Hai xe đi ngược chiều, gặp nhau khi tổng quãng đường bằng 170 km:

$$\dfrac{7}{3}x + \dfrac{2}{3}y = 170 \quad (2)$$

Bước 3: Giải hệ.

$$\begin{cases} x – y = 15 \\ \dfrac{7}{3}x + \dfrac{2}{3}y = 170 \end{cases}$$

Nhân phương trình $(1)$ với 2 và nhân phương trình $(2)$ với 3:

$$\begin{cases} 2x – 2y = 30 \\ 7x + 2y = 510 \end{cases}$$

Cộng từng vế: $9x = 540$, suy ra $x = 60$.

Thế $x = 60$ vào $(1)$: $60 – y = 15$, suy ra $y = 45$.

Kiểm tra: $x = 60 > 0$, $y = 45 > 0$ ✓. Tổng quãng đường: $\dfrac{7}{3} \cdot 60 + \dfrac{2}{3} \cdot 45 = 140 + 30 = 170$ ✓.

Kết luận: Vận tốc xe khách là 60 km/h, vận tốc xe tải là 45 km/h.

Dạng 3: Bài toán năng suất — làm chung, làm riêng (đặt ẩn phụ)

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài liên quan đến hai đội (hoặc hai vòi nước, hai người thợ…) làm chung xong trong bao lâu, làm riêng xong trong bao lâu, năng suất gấp nhau…

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi ẩn là thời gian mỗi đối tượng hoàn thành công việc nếu làm một mình (coi toàn bộ công việc là 1).
  • Nếu làm xong trong $x$ ngày/giờ/phút → mỗi đơn vị thời gian làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc.
• Bước 2: Lập phương trình dựa trên:
  • Làm chung: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\text{thời gian chung}}$.
  • Năng suất gấp nhau: $\dfrac{1}{x} = k \cdot \dfrac{1}{y}$.
• Bước 3: Hệ phương trình thu được có dạng chứa $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ → Đặt ẩn phụ $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$ để đưa về hệ bậc nhất hai ẩn.
• Bước 4: Giải hệ theo $u$, $v$, rồi suy ra $x$, $y$.

Ví dụ 3. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\dfrac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao nhiêu phút?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ (phút) là thời gian vòi 1 chảy đầy bể một mình, $y$ (phút) là thời gian vòi 2 chảy đầy bể một mình ($x > 0$, $y > 0$).

Mỗi phút: vòi 1 chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể, vòi 2 chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể.

Bước 2: Lập phương trình.

Đổi: 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Hai vòi chảy chung đầy bể trong 80 phút, nên mỗi phút cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{80}$ bể:

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80} \quad (1)$$

Mở vòi 1 trong 10 phút, vòi 2 trong 12 phút được $\dfrac{2}{15}$ bể:

$$\dfrac{10}{x} + \dfrac{12}{y} = \dfrac{2}{15} \quad (2)$$

Chia hai vế $(2)$ cho 2: $\dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{15}$

Bước 3: Đặt ẩn phụ $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$:

$$\begin{cases} u + v = \dfrac{1}{80} \\ 5u + 6v = \dfrac{1}{15} \end{cases}$$

Nhân phương trình thứ nhất với 5:

$$\begin{cases} 5u + 5v = \dfrac{5}{80} = \dfrac{1}{16} \\ 5u + 6v = \dfrac{1}{15} \end{cases}$$

Trừ từng vế (PT2 − PT1):

$$v = \dfrac{1}{15} – \dfrac{1}{16} = \dfrac{16 – 15}{240} = \dfrac{1}{240}$$

Thế vào PT1: $u = \dfrac{1}{80} – \dfrac{1}{240} = \dfrac{3 – 1}{240} = \dfrac{2}{240} = \dfrac{1}{120}$

Bước 4: Suy ra:

$$x = \dfrac{1}{u} = 120 \text{ (phút)} \qquad y = \dfrac{1}{v} = 240 \text{ (phút)}$$

Kiểm tra: $\dfrac{1}{120} + \dfrac{1}{240} = \dfrac{2 + 1}{240} = \dfrac{3}{240} = \dfrac{1}{80}$ ✓

Kết luận: Vòi 1 chảy đầy bể trong 120 phút (2 giờ), vòi 2 chảy đầy bể trong 240 phút (4 giờ).

Ví dụ 4. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ (giờ) là thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình, $y$ (giờ) là thời gian người thứ hai hoàn thành một mình ($x > 16$, $y > 16$).

Mỗi giờ: người 1 làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc, người 2 làm được $\dfrac{1}{y}$ công việc.

Bước 2: Lập phương trình.

Hai người cùng làm xong trong 16 giờ:

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} \quad (1)$$

Người 1 làm 3 giờ, người 2 làm 6 giờ, hoàn thành 25% $= \dfrac{1}{4}$ công việc:

$$\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4} \quad (2)$$

Bước 3: Đặt $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$:

$$\begin{cases} u + v = \dfrac{1}{16} \\ 3u + 6v = \dfrac{1}{4} \end{cases}$$

Nhân PT1 với 3:

$$\begin{cases} 3u + 3v = \dfrac{3}{16} \\ 3u + 6v = \dfrac{1}{4} \end{cases}$$

Trừ từng vế (PT2 − PT1):

$$3v = \dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{16} = \dfrac{4 – 3}{16} = \dfrac{1}{16}$$

$$v = \dfrac{1}{48}$$

Thế vào PT1: $u = \dfrac{1}{16} – \dfrac{1}{48} = \dfrac{3 – 1}{48} = \dfrac{2}{48} = \dfrac{1}{24}$

Bước 4: Suy ra:

$$x = \dfrac{1}{u} = 24 \text{ (giờ)} \qquad y = \dfrac{1}{v} = 48 \text{ (giờ)}$$

Kiểm tra: $\dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{48} = \dfrac{2 + 1}{48} = \dfrac{3}{48} = \dfrac{1}{16}$ ✓

Kết luận: Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai hoàn thành trong 48 giờ.

Dạng 4: Bài toán phần trăm, tăng giảm, thống kê

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài có dữ kiện về phần trăm tăng/giảm, tổng sản lượng, hoặc bảng số liệu thống kê bị ẩn.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi ẩn là các đại lượng cần tìm, đặt điều kiện.
• Bước 2: Lập phương trình dựa trên:
  • Tổng/hiệu các đại lượng.
  • Tăng $p$% so với ban đầu: giá trị mới $= (1 + \dfrac{p}{100}) \times$ giá trị cũ.
  • Giảm $p$%: giá trị mới $= (1 – \dfrac{p}{100}) \times$ giá trị cũ.
  • Trung bình cộng: $\dfrac{\text{tổng các giá trị}}{\text{số lượng}} = \text{giá trị trung bình}$.
• Bước 3: Giải hệ và kiểm tra điều kiện.

Ví dụ 5. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay mỗi đơn vị thu hoạch bao nhiêu tấn, biết rằng năm nay đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ (tấn) là sản lượng năm ngoái của đơn vị 1, $y$ (tấn) là sản lượng năm ngoái của đơn vị 2 ($x > 0$, $y > 0$).

Bước 2: Lập phương trình.

Năm ngoái hai đơn vị thu hoạch 3 600 tấn:

$$x + y = 3600 \quad (1)$$

Năm nay, đơn vị 1 vượt mức 15% nên thu được $1{,}15x$ tấn. Đơn vị 2 vượt mức 12% nên thu được $1{,}12y$ tấn. Tổng năm nay là 4 095 tấn:

$$1{,}15x + 1{,}12y = 4095 \quad (2)$$

Bước 3: Giải hệ bằng phương pháp thế.

Từ $(1)$: $y = 3600 – x$.

Thế vào $(2)$:

$$1{,}15x + 1{,}12(3600 – x) = 4095$$

$$1{,}15x + 4032 – 1{,}12x = 4095$$

$$0{,}03x = 63$$

$$x = 2100$$

Suy ra $y = 3600 – 2100 = 1500$.

Năm nay:

• Đơn vị 1: $1{,}15 \times 2100 = 2415$ (tấn).
• Đơn vị 2: $1{,}12 \times 1500 = 1680$ (tấn).

Kiểm tra: $2415 + 1680 = 4095$ ✓

Kết luận: Năm nay, đơn vị thứ nhất thu hoạch 2 415 tấn, đơn vị thứ hai thu hoạch 1 680 tấn.

Ví dụ 6. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ:

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi $x$ là số lần bắn được 8 điểm, $y$ là số lần bắn được 6 điểm ($x, y \in \mathbb{N}^*$).

Bước 2: Lập phương trình.

Tổng số lần bắn là 100:

$$25 + 42 + x + 15 + y = 100$$

$$x + y = 18 \quad (1)$$

Tổng điểm bằng $100 \times 8{,}69 = 869$:

$$10 \cdot 25 + 9 \cdot 42 + 8x + 7 \cdot 15 + 6y = 869$$

$$250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869$$

$$8x + 6y = 136$$

$$4x + 3y = 68 \quad (2)$$

Bước 3: Giải hệ:

$$\begin{cases} x + y = 18 \\ 4x + 3y = 68 \end{cases}$$

Nhân PT1 với 3: $3x + 3y = 54$.

Trừ cho PT2: $(4x + 3y) – (3x + 3y) = 68 – 54$, suy ra $x = 14$.

Thế vào $(1)$: $y = 18 – 14 = 4$.

Kiểm tra: $14, 4 \in \mathbb{N}^*$ ✓. Tổng điểm: $250 + 378 + 112 + 105 + 24 = 869$ ✓.

Kết luận: Số lần bắn được 8 điểm là 14, số lần bắn được 6 điểm là 4.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhận dạng bài toán năng suất: Khi đề bài có cụm từ “cùng làm… trong bao lâu thì xong”, “nếu làm riêng”, “gấp rưỡi / gấp đôi”… → nghĩ ngay đến dạng $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{t}$ và đặt ẩn phụ.

Mẹo 2 — Bài toán chuyển động: Vẽ sơ đồ đoạn đường, đánh dấu vị trí xuất phát, hướng đi và điểm gặp nhau. Điều này giúp “nhìn thấy” mối quan hệ giữa các quãng đường rõ ràng hơn.

Mẹo 3 — Bài toán phần trăm: Để tránh nhầm, hãy nhớ công thức đơn giản:

$$\text{Giá trị mới} = \text{Giá trị cũ} \times \left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right)$$

Dấu “$+$” khi tăng, dấu “$-$” khi giảm.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh bằng MTCT: Sau khi lập hệ, dùng MTCT bấm MODE → 5 → 1 nhập hệ số để kiểm tra nghiệm nhanh chóng, tránh sai sót do tính tay.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du