Bài toán mở đầu

Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:

• Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây.
• Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Ở bài trước, chúng ta đã biết cách nhận dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và kiểm tra nghiệm của nó. Tuy nhiên, việc thử từng cặp số thì rất mất thời gian. Bài học hôm nay sẽ giới thiệu hai phương pháp chính để giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Phương pháp thế

Ý tưởng

Ý tưởng cốt lõi của phương pháp thế là: từ một phương trình trong hệ, ta rút một ẩn theo ẩn còn lại, rồi thế vào phương trình kia. Khi đó, phương trình còn lại chỉ còn một ẩn duy nhất — và ta đã biết cách giải phương trình một ẩn từ trước.

Các bước thực hiện

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để thu được phương trình chỉ chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Tuỳ vào từng hệ phương trình cụ thể, ta có thể chọn biểu diễn $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo $x$ — nên chọn cách nào cho đơn giản hơn (hệ số bằng 1 hoặc $-1$ thì ưu tiên rút ẩn đó).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x – y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế

Giải:

Từ phương trình thứ nhất, ta biểu diễn $y$ theo $x$:

$$y = 2x – 3$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$x + 2(2x – 3) = 4$$

$$x + 4x – 6 = 4$$

$$5x = 10$$

$$x = 2$$

Từ đó: $y = 2 \cdot 2 – 3 = 1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2;, 1)$.

Ba trường hợp có thể xảy ra

Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, sau khi thế và rút gọn, ta sẽ gặp một trong ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình một ẩn có nghiệm duy nhất → Hệ có nghiệm duy nhất.

Đây là trường hợp phổ biến nhất, giống như Ví dụ 1 ở trên.

Trường hợp 2: Phương trình một ẩn vô nghiệm (dạng $0x = k$ với $k \neq 0$) → Hệ vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x – y = -2 \\ 2x – 2y = 8 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Giải:

Từ phương trình thứ nhất: $x = y – 2$.

Thế vào phương trình thứ hai:

$$2(y – 2) – 2y = 8$$

$$2y – 4 – 2y = 8$$

$$0y = 12$$

Không có giá trị nào của $y$ thoả mãn hệ thức trên, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 3: Phương trình một ẩn nghiệm đúng với mọi giá trị (dạng $0x = 0$) → Hệ có vô số nghiệm.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\begin{cases} -x + y = -2 \\ 3x – 3y = 6 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Giải:

Từ phương trình thứ nhất: $y = x – 2 \quad (*)$.

Thế vào phương trình thứ hai:

$$3x – 3(x – 2) = 6$$

$$3x – 3x + 6 = 6$$

$$0x = 0$$

Mọi giá trị của $x$ đều thoả mãn. Với mỗi giá trị tuỳ ý của $x$, giá trị tương ứng của $y$ được tính bởi $(*)$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x;, x – 2)$ với $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Phương pháp cộng đại số

Ý tưởng

Phương pháp cộng đại số dựa trên một nhận xét đơn giản: nếu hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau (tổng bằng 0) hoặc bằng nhau, thì khi cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình, ẩn đó sẽ bị triệt tiêu, còn lại phương trình chỉ chứa một ẩn.

Các bước thực hiện

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Khi hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta làm như sau:

Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để thu được phương trình chỉ chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Quy tắc nhớ:

• Hệ số đối nhau → Cộng từng vế.
• Hệ số bằng nhau → Trừ từng vế.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\begin{cases} -2x + 5y = 12 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:

Nhận thấy hệ số của $x$ trong hai phương trình là $-2$ và $2$ — hai số đối nhau. Ta cộng từng vế:

$$(-2x + 2x) + (5y + 3y) = 12 + 4$$

$$8y = 16 \implies y = 2$$

Thế $y = 2$ vào phương trình thứ hai: $2x + 3 \cdot 2 = 4$, suy ra $2x = -2$, tức $x = -1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1;, 2)$.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 5x – 7y = 9 \\ 5x – 3y = 1 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:

Nhận thấy hệ số của $x$ trong hai phương trình đều bằng $5$ — hai số bằng nhau. Ta trừ từng vế (phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai):

$$(5x – 5x) + (-7y + 3y) = 9 – 1$$

$$-4y = 8 \implies y = -2$$

Thế $y = -2$ vào phương trình thứ nhất: $5x – 7 \cdot (-2) = 9$, suy ra $5x + 14 = 9$, tức $5x = -5$, vậy $x = -1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1;, -2)$.

Trường hợp hệ số không sẵn bằng nhau hay đối nhau

Khi hệ phương trình không có sẵn hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0) để tạo ra hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, rồi áp dụng phương pháp cộng đại số như bình thường.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x – 3y = -4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:

Nhận thấy không có cặp hệ số nào bằng nhau hay đối nhau. Ta nhân phương trình thứ nhất với $3$ và phương trình thứ hai với $2$ để hệ số của $y$ trở thành đối nhau:

$$\begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 4x – 6y = -8 \end{cases}$$

Cộng từng vế: $13x = 13$, suy ra $x = 1$.

Thế $x = 1$ vào phương trình thứ nhất ban đầu: $3 \cdot 1 + 2y = 7$, suy ra $2y = 4$, tức $y = 2$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1;, 2)$.

Hệ vô nghiệm và vô số nghiệm (phương pháp cộng đại số)

Tương tự phương pháp thế, phương pháp cộng đại số cũng có thể dẫn đến hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x – 5y = 2 \\ -6x + 10y = -4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $2$, ta được:

$$\begin{cases} 3x – 5y = 2 \\ -3x + 5y = -2 \end{cases}$$

Cộng từng vế: $0x + 0y = 0$.

Hệ thức này luôn đúng với mọi giá trị của $x$ và $y$. Với giá trị tuỳ ý của $x$, giá trị của $y$ được tính từ $3x – 5y = 2$, suy ra $y = \dfrac{3}{5}x – \dfrac{2}{5}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(x;, \dfrac{3}{5}x – \dfrac{2}{5}\right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài hai phương pháp giải bằng tay ở trên, ta còn có thể dùng máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng giải hệ phương trình (thường là loại máy có phím MODE).

Cách thực hiện

Trước hết, cần viết hệ phương trình về dạng chuẩn:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

Sau đó thực hiện 3 bước:

• Bước 1: Vào chức năng giải hệ phương trình bằng cách bấm MODE → 5 → 1. Màn hình hiện con trỏ ở vị trí $a_1$.
• Bước 2: Nhập lần lượt các hệ số $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$ (bấm phím = sau mỗi số để chuyển sang ô tiếp theo).
• Bước 3: Đọc kết quả: bấm = để xem giá trị $x$, bấm tiếp = để xem giá trị $y$.

Lưu ý khi dùng MTCT

• Nếu máy hiển thị “Infinite Sol” → hệ có vô số nghiệm.
• Nếu máy hiển thị “No-Solution” → hệ vô nghiệm.
• Nếu phương trình chưa ở dạng chuẩn (ví dụ $8x – 2y – 6 = 0$), cần chuyển về dạng $8x – 2y = 6$ trước khi nhập.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp giải:

• Bước 1: Quan sát hệ phương trình, chọn phương trình có ẩn với hệ số đơn giản (bằng 1 hoặc $-1$) để rút ẩn đó theo ẩn kia.
• Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại, khai triển và rút gọn.
• Bước 3: Giải phương trình một ẩn thu được:
  • Nếu tìm được một giá trị duy nhất → thế ngược lại tìm ẩn còn lại → nghiệm duy nhất.
  • Nếu xuất hiện dạng $0x = k$ ($k \neq 0$) → vô nghiệm.
  • Nếu xuất hiện dạng $0x = 0$ → vô số nghiệm, viết nghiệm tổng quát.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x – 3y = 2 \\ -2x + 5y = 1 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Quan sát phương trình thứ nhất: $x – 3y = 2$. Hệ số của $x$ là $1$ nên ta rút $x$ theo $y$:

$$x = 2 + 3y$$

Bước 2: Thế $x = 2 + 3y$ vào phương trình thứ hai:

$$-2(2 + 3y) + 5y = 1$$

Khai triển ngoặc:

$$-4 – 6y + 5y = 1$$

Thu gọn:

$$-y = 1 + 4$$

$$-y = 5$$

Bước 3: Suy ra $y = -5$.

Thế $y = -5$ trở lại biểu thức đã rút ở Bước 1:

$$x = 2 + 3 \cdot (-5) = 2 – 15 = -13$$

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-13;, -5)$.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} -2x + y = 3 \\ 4x – 2y = -4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ phương trình thứ nhất, hệ số của $y$ là $1$ nên ta rút $y$ theo $x$:

$$y = 2x + 3$$

Bước 2: Thế $y = 2x + 3$ vào phương trình thứ hai:

$$4x – 2(2x + 3) = -4$$

Khai triển ngoặc:

$$4x – 4x – 6 = -4$$

Thu gọn:

$$0x – 6 = -4$$

$$0x = 2$$

Bước 3: Nhận xét: Không có giá trị nào của $x$ thoả mãn $0x = 2$.

Kết luận: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 3y = -1 \\ 3x + 9y = -3 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ phương trình thứ nhất, rút $x$ theo $y$:

$$x = -1 – 3y \quad (*)$$

Bước 2: Thế $x = -1 – 3y$ vào phương trình thứ hai:

$$3(-1 – 3y) + 9y = -3$$

Khai triển ngoặc:

$$-3 – 9y + 9y = -3$$

Thu gọn:

$$0y = 0$$

Bước 3: Nhận xét: Mọi giá trị của $y$ đều thoả mãn $0y = 0$.

Với mỗi giá trị tuỳ ý của $y$, giá trị của $x$ được tính bởi $(*)$: $x = -1 – 3y$.

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1 – 3y;, y)$ với $y \in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp giải:

• Bước 1: Quan sát hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình:
  • Nếu đối nhau → cộng từng vế hai phương trình.
  • Nếu bằng nhau → trừ từng vế hai phương trình.
  • Nếu không bằng nhau cũng không đối nhau → nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp để tạo ra hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, rồi cộng/trừ.
• Bước 2: Giải phương trình một ẩn thu được, rồi thế ngược để tìm ẩn còn lại.
• Bước 3: Kết luận nghiệm (tương tự Dạng 1: nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm).

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\begin{cases} -4x + 3y = 0 \\ 4x – 5y = -8 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhận xét hệ số của $x$: phương trình thứ nhất có hệ số $-4$, phương trình thứ hai có hệ số $4$. Đây là hai số đối nhau, nên ta cộng từng vế:

$$(-4x + 4x) + (3y – 5y) = 0 + (-8)$$

$$0x – 2y = -8$$

$$-2y = -8$$

Bước 2: Suy ra $y = 4$.

Thay $y = 4$ vào phương trình thứ nhất:

$$-4x + 3 \cdot 4 = 0$$

$$-4x + 12 = 0$$

$$-4x = -12$$

$$x = 3$$

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(3;, 4)$.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ -5x + 2y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhận xét: Không có cặp hệ số nào bằng nhau hay đối nhau. Ta cần nhân để tạo hệ số đối nhau.

Chọn triệt tiêu ẩn $x$: nhân phương trình thứ nhất với $5$ và phương trình thứ hai với $4$:

$$\begin{cases} 5 \cdot (4x + 3y) = 5 \cdot 6 \\ 4 \cdot (-5x + 2y) = 4 \cdot 4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 20x + 15y = 30 \\ -20x + 8y = 16 \end{cases}$$

Bây giờ hệ số của $x$ là $20$ và $-20$ — hai số đối nhau. Ta cộng từng vế:

$$0x + 23y = 46$$

$$23y = 46$$

Bước 2: Suy ra $y = 2$.

Thay $y = 2$ vào phương trình thứ nhất ban đầu:

$$4x + 3 \cdot 2 = 6$$

$$4x + 6 = 6$$

$$4x = 0$$

$$x = 0$$

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(0;, 2)$.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình $\begin{cases} -0{,}5x + 0{,}5y = 1 \\ -2x + 2y = 8 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $2$ để đơn giản:

$$\begin{cases} -0{,}5x + 0{,}5y = 1 \\ -x + y = 4 \end{cases}$$

Nhân phương trình thứ hai với $0{,}5$… Thực ra, ta nhận thấy nếu chia phương trình thứ hai cho $2$:

$$\begin{cases} -0{,}5x + 0{,}5y = 1 \\ -0{,}5x + 0{,}5y = 2 \end{cases}$$

Wait — hãy tính lại. Chia hai vế phương trình thứ hai ($-2x + 2y = 8$) cho $2$: ta được $-x + y = 4$.

Nhưng ta có thể chia tiếp cho $2$ nữa… Thực ra, hãy chia phương trình gốc thứ hai cho $4$: ta được $-0{,}5x + 0{,}5y = 2$.

Lúc này hệ trở thành:

$$\begin{cases} -0{,}5x + 0{,}5y = 1 \\ -0{,}5x + 0{,}5y = 2 \end{cases}$$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

$$0x + 0y = 1 – 2 = -1$$

$$0x + 0y = -1$$

Bước 2: Nhận xét: Không có giá trị nào của $(x;, y)$ thoả mãn $0x + 0y = -1$.

Kết luận: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số

Phương pháp giải:

• Bước 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phương trình để thu được hệ phương trình cụ thể (chỉ còn hai ẩn $x$, $y$).
• Bước 2: Áp dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình vừa nhận được.
• Bước 3: Kết luận nghiệm.

Ví dụ 7. Cho hệ phương trình $\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -2m^2 x + 9y = 3(m + 3) \end{cases}$, trong đó $m$ là số đã cho. Giải hệ phương trình khi $m = -2$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thay $m = -2$ vào hệ.

Phương trình thứ hai trở thành:

$$-2 \cdot (-2)^2 \cdot x + 9y = 3(-2 + 3)$$

$$-2 \cdot 4 \cdot x + 9y = 3 \cdot 1$$

$$-8x + 9y = 3$$

Hệ phương trình trở thành:

$$\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -8x + 9y = 3 \end{cases}$$

Bước 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số.

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $4$:

$$\begin{cases} 8x – 4y = -12 \\ -8x + 9y = 3 \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$0x + 5y = -9$$

$$y = -\dfrac{9}{5}$$

Thế $y = -\dfrac{9}{5}$ vào phương trình thứ nhất:

$$2x – \left(-\dfrac{9}{5}\right) = -3$$

$$2x + \dfrac{9}{5} = -3$$

$$2x = -3 – \dfrac{9}{5} = \dfrac{-15 – 9}{5} = \dfrac{-24}{5}$$

$$x = -\dfrac{12}{5}$$

Kết luận: Khi $m = -2$, hệ phương trình có nghiệm là $\left(-\dfrac{12}{5};, -\dfrac{9}{5}\right)$.

Ví dụ 8. Với hệ phương trình trên, giải khi $m = -3$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thay $m = -3$:

$$-2 \cdot (-3)^2 \cdot x + 9y = 3(-3 + 3)$$

$$-18x + 9y = 0$$

Hệ trở thành:

$$\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -18x + 9y = 0 \end{cases}$$

Bước 2: Chia phương trình thứ hai cho $9$:

$$\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -2x + y = 0 \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$0x + 0y = -3$$

Không có giá trị nào của $(x;, y)$ thoả mãn hệ thức trên.

Kết luận: Khi $m = -3$, hệ phương trình vô nghiệm.

Dạng 4: Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định hai đại lượng chưa biết → Gọi ẩn $x$, $y$ và nêu rõ điều kiện.
• Bước 2: Dựa vào các dữ kiện trong đề, chuyển mỗi giả thiết thành một phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Bước 3: Lập hệ phương trình và giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số (hoặc MTCT).
• Bước 4: Kiểm tra nghiệm có thoả mãn điều kiện thực tế không, rồi kết luận.

Ví dụ 9. (Bài toán mở đầu) Giải bài toán về mảnh vườn trồng cải bắp.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi ẩn.

• $x$: số luống trong vườn ($x \in \mathbb{N}^*$).
• $y$: số cây cải bắp trồng ở mỗi luống ($y \in \mathbb{N}^*$).
• Tổng số cây cải bắp của cả vườn là $xy$.

Bước 2: Lập phương trình từ đề bài.

Giả thiết 1: Tăng thêm 8 luống, mỗi luống trồng ít đi 3 cây, tổng số cây ít đi 108.

Số luống mới: $x + 8$. Số cây mỗi luống mới: $y – 3$. Tổng mới: $(x + 8)(y – 3)$.

Ta có: $(x + 8)(y – 3) = xy – 108$

Khai triển: $xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108$

Thu gọn: $-3x + 8y = -84$ → hay $8y – 3x = -84 \quad (1)$

Giả thiết 2: Giảm đi 4 luống, mỗi luống trồng thêm 2 cây, tổng số cây tăng thêm 64.

Số luống mới: $x – 4$. Số cây mỗi luống mới: $y + 2$. Tổng mới: $(x – 4)(y + 2)$.

Ta có: $(x – 4)(y + 2) = xy + 64$

Khai triển: $xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64$

Thu gọn: $2x – 4y = 72$ → hay $x – 2y = 36 \quad (2)$

Bước 3: Lập hệ và giải.

Từ $(1)$ và $(2)$:

$$\begin{cases} -3x + 8y = -84 \\ x – 2y = 36 \end{cases}$$

Giải bằng phương pháp thế. Từ phương trình $(2)$: $x = 2y + 36$.

Thế vào $(1)$:

$$-3(2y + 36) + 8y = -84$$

$$-6y – 108 + 8y = -84$$

$$2y = -84 + 108$$

$$2y = 24$$

$$y = 12$$

Suy ra: $x = 2 \cdot 12 + 36 = 60$.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận.

• $x = 60$ (luống), $y = 12$ (cây/luống): đều là số nguyên dương ✓
• Kiểm tra giả thiết 1: $(60 + 8)(12 – 3) = 68 \cdot 9 = 612$ và $60 \cdot 12 – 108 = 720 – 108 = 612$ ✓
• Kiểm tra giả thiết 2: $(60 – 4)(12 + 2) = 56 \cdot 14 = 784$ và $60 \cdot 12 + 64 = 720 + 64 = 784$ ✓

Kết luận: Số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn là $60 \times 12 = 720$ (cây).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Chọn ẩn để rút (PP thế): Ưu tiên rút ẩn nào có hệ số bằng $1$ hoặc $-1$. Điều này tránh phải làm việc với phân số, giúp giảm sai sót.

Mẹo 2 — Chọn ẩn để triệt tiêu (PP cộng): Chọn triệt tiêu ẩn nào cần bội chung nhỏ nhất nhỏ hơn. Ví dụ: hệ số $x$ là $3$ và $2$ (BCNN = 6), hệ số $y$ là $2$ và $3$ (BCNN = 6) — bằng nhau nên chọn ẩn nào cũng được. Nhưng nếu hệ số $x$ là $4$ và $2$ (BCNN = 4), hệ số $y$ là $3$ và $5$ (BCNN = 15) — nên chọn triệt tiêu $x$ vì BCNN nhỏ hơn.

Mẹo 3 — Đơn giản hệ trước khi giải: Nếu hệ số là số thập phân hoặc phân số, hãy nhân cả hai vế với một số thích hợp để đưa về số nguyên trước khi giải. Ví dụ: $0{,}3x + 0{,}5y = 3$ nhân $10$ cả hai vế thành $3x + 5y = 30$.

Mẹo 4 — Nhận dạng nhanh hệ vô nghiệm / vô số nghiệm: Nếu hai phương trình có dạng tỉ lệ (phương trình này là bội của phương trình kia):

• Tỉ lệ giống nhau kể cả vế phải → vô số nghiệm.
• Tỉ lệ giống nhau ở vế trái nhưng khác ở vế phải → vô nghiệm.

Ví dụ: $\begin{cases} x + 3y = -1 \\ 3x + 9y = -3 \end{cases}$. Phương trình thứ hai bằng phương trình thứ nhất nhân $3$ → vô số nghiệm.

Mẹo 5 — Kiểm tra nhanh: Sau khi tìm được nghiệm $(x_0;, y_0)$, hãy thế vào cả hai phương trình ban đầu để xác nhận đáp án đúng.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du