Căn bậc hai của số thực $a$ không âm là các số thực $x$ thỏa mãn $x^2 = a$. Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với một khái niệm tương tự — căn bậc ba — và mở rộng sang căn thức bậc ba của biểu thức đại số.

1. Căn bậc ba

Căn bậc ba của một số thực

Kí hiệu $V$ là thể tích của hình lập phương với cạnh $x$. Ta có $V = x^3$. Chẳng hạn: nếu $V = 8$ thì $x = 2$ (vì $2^3 = 8$), nếu $V = 27$ thì $x = 3$ (vì $3^3 = 27$), nếu $V = 64$ thì $x = 4$ (vì $4^3 = 64$).

Tổng quát, ta có định nghĩa:

Căn bậc ba của số thực $a$ là số thực $x$ thỏa mãn $x^3 = a$.

Chú ý:

• Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.
• Căn bậc ba của số $a$ được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$.
• Trong kí hiệu $\sqrt[3]{a}$, số $3$ được gọi là chỉ số của căn.
• Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Ví dụ 1.

a) Chứng tỏ rằng $\sqrt[3]{729} = 9$.

b) Tính $\sqrt[3]{0}$ và $\sqrt[3]{-125}$.

Giải:

a) Vì $9^3 = 729$ nên $\sqrt[3]{729} = 9$.

b) Vì $0^3 = 0$ nên $\sqrt[3]{0} = 0$. Vì $(-5)^3 = -125$ nên $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Nhận xét. Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có:

$$\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = \sqrt[3]{a^3} = a \quad \text{với mọi số thực } a$$

Do đó có thể giải Ví dụ 1 như sau: $\sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{9^3} = 9$.

Điểm khác biệt quan trọng so với căn bậc hai: căn bậc ba tồn tại với mọi số thực, kể cả số âm. Ví dụ: $\sqrt[3]{-125} = -5$ (trong khi $\sqrt{-125}$ không tồn tại trong tập số thực).

Tính căn bậc ba bằng máy tính cầm tay

Ta sử dụng MTCT để tính căn bậc ba. Chẳng hạn: $\sqrt[3]{343} = 7$ (kết quả chính xác), $\sqrt[3]{12} \approx 2{,}289428485$ (kết quả gần đúng).

Ví dụ 2. Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{5{,}4}$ rồi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Giải: Bấm máy tính, màn hình hiện kết quả $1{,}754410…$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $\sqrt[3]{5{,}4} \approx 1{,}75$.

2. Căn thức bậc ba

Nhận biết căn thức bậc ba

Tương tự căn thức bậc hai, ta có:

Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số.

Chú ý:

• Tương tự căn bậc ba của một số, ta có $\left(\sqrt[3]{A}\right)^3 = \sqrt[3]{A^3} = A$ ($A$ là biểu thức).
• Để tính giá trị của $\sqrt[3]{A}$, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính.

Ví dụ 3. Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{2x + 3}$ tại:

a) $x = 61$ $\qquad$ b) $x = -5{,}5$

Giải:

a) Với $x = 61$: $\sqrt[3]{2 \cdot 61 + 3} = \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.

b) Với $x = -5{,}5$: $\sqrt[3]{2 \cdot (-5{,}5) + 3} = \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức $-x + 7 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}$.

Giải:

Nhận thấy $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$ (hằng đẳng thức lập phương của một tổng).

$$-x + 7 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} = -x + 7 + \sqrt[3]{(x + 1)^3} = -x + 7 + (x + 1) = 8$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính căn bậc ba của một số

Phương pháp giải:

• Với số “đẹp”: tìm số $x$ sao cho $x^3 = a$, khi đó $\sqrt[3]{a} = x$. Cần nhớ các lập phương cơ bản: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $7^3 = 343$, $8^3 = 512$, $9^3 = 729$, $10^3 = 1000$.
• Với số thập phân: viết dưới dạng $\left(\dfrac{a}{b}\right)^3$ nếu được.
• Với số bất kì: dùng MTCT.
• Nhớ: căn bậc ba của số âm là số âm — $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

Bài tập 1 (Luyện tập 1 – SGK). Tính:

a) $\sqrt[3]{125}$ $\qquad$ b) $\sqrt[3]{0{,}008}$ $\qquad$ c) $\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}$

Lời giải:

a) Vì $5^3 = 125$ nên $\sqrt[3]{125} = 5$.

b) Vì $0{,}2^3 = 0{,}008$ nên $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$.

c) Vì $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = -\dfrac{8}{27}$ nên $\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}} = -\dfrac{2}{3}$.

Bài tập 2 (Bài 3.23 – SGK). Tính:

a) $\sqrt[3]{216}$ $\qquad$ b) $\sqrt[3]{-512}$ $\qquad$ c) $\sqrt[3]{-0{,}001}$ $\qquad$ d) $\sqrt[3]{1{,}331}$

Lời giải:

a) Vì $6^3 = 216$ nên $\sqrt[3]{216} = 6$.

b) Vì $(-8)^3 = -512$ nên $\sqrt[3]{-512} = -8$.

c) Vì $(-0{,}1)^3 = -0{,}001$ nên $\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1$.

d) Vì $1{,}1^3 = 1{,}331$ nên $\sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}1$.

Bài tập 3 (Trắc nghiệm). Tính $\sqrt[3]{3375}$.

A. $13$ $\qquad$ B. $14$ $\qquad$ C. $15$ $\qquad$ D. $16$

Lời giải:

Vì $15^3 = 3375$ nên $\sqrt[3]{3375} = 15$.

Đáp án: C.

Dạng 2: Tính căn bậc ba bằng MTCT

Phương pháp giải:

• Bấm tổ hợp phím SHIFT → $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ trên máy tính.
• Làm tròn kết quả theo yêu cầu đề bài (đến chữ số thập phân thứ hai, hoặc với độ chính xác cho trước).

Bài tập 4 (Luyện tập 2 – SGK). Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}005$.

Lời giải:

Bấm máy: $\sqrt[3]{45} \approx 3{,}55689…$

Làm tròn với độ chính xác $0{,}005$: $\sqrt[3]{45} \approx 3{,}557 \approx 3{,}56$.

Bài tập 5 (Bài 3.24 – SGK). Sử dụng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $\sqrt[3]{2{,}1}$ $\qquad$ b) $\sqrt[3]{-18}$ $\qquad$ c) $\sqrt[3]{-28}$ $\qquad$ d) $\sqrt[3]{0{,}35}$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{2{,}1} \approx 1{,}28$.

b) $\sqrt[3]{-18} \approx -2{,}62$.

c) $\sqrt[3]{-28} \approx -3{,}04$.

d) $\sqrt[3]{0{,}35} \approx 0{,}70$.

Bài tập 6 (Trắc nghiệm). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\sqrt[3]{a} = x$ thì $a = x^3$ $\qquad$ B. Nếu $\sqrt[3]{a} = -x$ thì $a^3 = -x$

C. Nếu $\sqrt[3]{a^3} = x$ thì $a^3 = x$ $\qquad$ D. Nếu $\sqrt[3]{a^3} = -x$ thì $a^3 = x^3$

Lời giải:

Theo định nghĩa: $\sqrt[3]{a} = x$ có nghĩa là $x^3 = a$, tức $a = x^3$.

Đáp án: A.

Bài tập 7 (Trắc nghiệm). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\sqrt[3]{a} = 2x$ thì $a^3 = 2x$ $\qquad$ B. Nếu $\sqrt[3]{a} = 2x$ thì $a = 8x^3$

C. Nếu $\sqrt[3]{a^3} = 2x$ thì $a = 2x^3$ $\qquad$ D. Nếu $\sqrt[3]{a^3} = 2x$ thì $2a = x^3$

Lời giải:

$\sqrt[3]{a} = 2x$ nghĩa là $(2x)^3 = a$, tức $a = 8x^3$.

Đáp án: B.

Dạng 3: Tính giá trị và rút gọn căn thức bậc ba

Phương pháp giải:

• Tính giá trị: thay giá trị biến vào biểu thức, tính kết quả.
• Rút gọn: nhận dạng biểu thức trong dấu căn bậc ba là lập phương của một biểu thức, sử dụng hằng đẳng thức:
  • $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
  • $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$
• Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$ để rút gọn.

Bài tập 8 (Luyện tập 3 – SGK).

a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x – 1}$ tại $x = 0$ và tại $x = -1{,}4$.

b) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{x^3 – 3x^2 + 3x – 1}$.

Lời giải:

a) Tại $x = 0$: $\sqrt[3]{5 \cdot 0 – 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Tại $x = -1{,}4$: $\sqrt[3]{5 \cdot (-1{,}4) – 1} = \sqrt[3]{-7 – 1} = \sqrt[3]{-8} = -2$.

b) Nhận thấy: $x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = (x – 1)^3$ (hằng đẳng thức lập phương của một hiệu).

$$\sqrt[3]{x^3 – 3x^2 + 3x – 1} = \sqrt[3]{(x – 1)^3} = x – 1$$

Bài tập 9 (Bài 3.26 – SGK). Rút gọn:

a) $\sqrt[3]{(1 – \sqrt{2})^3}$ $\qquad$ b) $\sqrt[3]{(2\sqrt{2} + 1)^3}$ $\qquad$ c) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}\right)^3$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{(1 – \sqrt{2})^3} = 1 – \sqrt{2}$.

(Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$ — căn bậc ba không cần xét dấu như căn bậc hai.)

b) $\sqrt[3]{(2\sqrt{2} + 1)^3} = 2\sqrt{2} + 1$.

c) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}\right)^3 = \sqrt{2} + 1$.

(Áp dụng $(\sqrt[3]{A})^3 = A$.)

Bài tập 10 (Bài 3.27 – SGK). Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức $\sqrt[3]{27x^3 – 27x^2 + 9x – 1}$ tại $x = 7$.

Lời giải:

Nhận thấy: $27x^3 – 27x^2 + 9x – 1 = (3x)^3 – 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3x) \cdot 1^2 – 1^3 = (3x – 1)^3$.

$$\sqrt[3]{27x^3 – 27x^2 + 9x – 1} = \sqrt[3]{(3x – 1)^3} = 3x – 1$$

Tại $x = 7$: $3 \cdot 7 – 1 = 20$.

Bài tập 11 (Trắc nghiệm). Tính giá trị của $\sqrt[3]{x + 1}$ với $x = 0$.

A. $0$ $\qquad$ B. $1$ $\qquad$ C. $-1$ $\qquad$ D. $\sqrt[3]{3}$

Lời giải:

$\sqrt[3]{0 + 1} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Đáp án: B.

Bài tập 12 (Trắc nghiệm). Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{2x – 7}$ khi $x = -\dfrac{1}{2}$.

A. $-\dfrac{1}{2}$ $\qquad$ B. $\dfrac{1}{2}$ $\qquad$ C. $2$ $\qquad$ D. $-2$

Lời giải:

$$\sqrt[3]{2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) – 7} = \sqrt[3]{-1 – 7} = \sqrt[3]{-8} = -2$$

Đáp án: D.

Dạng 4: Bài toán vận dụng thực tế

Phương pháp giải:

• Xác định mối liên hệ: thể tích hình lập phương $V = x^3 \Rightarrow x = \sqrt[3]{V}$.
• Sử dụng MTCT nếu kết quả không “đẹp”, làm tròn hợp lý.

Bài tập 13 (Thử thách nhỏ – SGK). Có thể xếp 125 khối lập phương đơn vị (cạnh $1$ cm) thành một khối lập phương lớn được không?

Lời giải:

Tổng thể tích: $125 \cdot 1 = 125$ (cm³).

Vì $125 = 5^3$, nên $\sqrt[3]{125} = 5$. Ta có thể xếp thành khối lập phương cạnh $5$ cm (xếp $5 \times 5 \times 5$ khối nhỏ).

Kết luận: Có thể xếp được.

Bài tập 14 (Bài 3.25 – SGK). Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730$ dm³. Ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu decimét.

Lời giải:

Gọi cạnh thùng là $x$ (dm). Ta có $x^3 = 730$.

$$x = \sqrt[3]{730} \approx 9{,}004…$$

Vậy chiều dài cạnh thùng khoảng $9$ dm.

(Kiểm tra: $9^3 = 729 \approx 730$ ✓)

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhớ bảng lập phương: Học thuộc lập phương từ $1$ đến $10$: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$. Khi gặp $\sqrt[3]{a}$, đối chiếu ngay với bảng.

Mẹo 2 — Căn bậc ba giữ dấu: $\sqrt[3]{a} > 0$ khi $a > 0$; $\sqrt[3]{a} < 0$ khi $a < 0$; $\sqrt[3]{0} = 0$. Không cần lo về trị tuyệt đối như căn bậc hai.

Mẹo 3 — Nhận dạng hằng đẳng thức: Khi rút gọn $\sqrt[3]{f(x)}$, hãy thử ghép $f(x)$ thành $(ax + b)^3$. Dấu hiệu: hệ số bậc 3 là $a^3$, hệ số tự do là $(\pm b)^3$, hệ số bậc 2 là $3a^2b$.

Mẹo 4 — So sánh với căn bậc hai: Căn bậc ba có ưu điểm: xác định với mọi số thực, kết quả luôn duy nhất, và $\sqrt[3]{a^3} = a$ (không cần trị tuyệt đối).

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du