Bài toán mở đầu

Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống thành mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 m² để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là $d$ và $r$ (m). Ta có chu vi $2(d + r) = 40$, tức $d + r = 20$, đồng thời diện tích $d \cdot r = 96$. Vậy bài toán quy về: tìm hai số khi biết tổng bằng 20 và tích bằng 96. Để giải bài toán này, ta cần dùng Định lí Viète.

1. Định lí Viète

Khám phá

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$). Giả sử $\Delta = b^2 – 4ac \geq 0$ (tức phương trình có nghiệm). Khi đó hai nghiệm là:

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Tính tổng hai nghiệm:

$$x_1 + x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}$$

Tính tích hai nghiệm:

$$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b – \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \dfrac{b^2 – \Delta}{4a^2} = \dfrac{b^2 – (b^2 – 4ac)}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}$$

Phát biểu định lí

Định lí Viète. Nếu $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) thì:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[8pt] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$$

Nói cách khác, tổng hai nghiệm bằng trừ thương của hệ số bậc nhất chia hệ số bậc hai, tích hai nghiệm bằng thương của hệ số tự do chia hệ số bậc hai.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính $\Delta$ (hoặc $\Delta’$) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm:

a) $3x^2 + 13x + 4 = 0$   b) $9x^2 – 24x + 16 = 0$

Giải:

a) $\Delta = 13^2 – 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 – 48 = 121 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$. Theo định lí Viète:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{13}{3}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{4}{3}$$

b) $\Delta’ = (-12)^2 – 9 \cdot 16 = 144 – 144 = 0$.

Phương trình có hai nghiệm trùng nhau $x_1$, $x_2$. Theo định lí Viète:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-24}{9} = \dfrac{8}{3}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{16}{9}$$

Lưu ý quan trọng: Định lí Viète chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm ($\Delta \geq 0$). Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm, không có $x_1$, $x_2$ để nói đến tổng và tích.

Tranh luận: Phương trình $x^2 – x + 1 = 0$ có $\Delta = 1 – 4 = -3 < 0$, tức vô nghiệm. Do đó không thể nói “tổng và tích hai nghiệm đều bằng 1” được, dù công thức $-b/a = 1$ và $c/a = 1$. Phải kiểm tra $\Delta \geq 0$ trước!

2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

Hai quy tắc nhẩm nghiệm

Xét phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$):

• Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm kia $x_2 = \dfrac{c}{a}$.
• Nếu $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1 = -1$, nghiệm kia $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

Giải thích: Nếu $a + b + c = 0$, thay $x = 1$ vào $ax^2 + bx + c$ được $a + b + c = 0$ ✓, nên $x = 1$ là nghiệm. Theo Viète: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$, mà $x_1 = 1$ nên $x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Tương tự, nếu $a – b + c = 0$, thay $x = -1$ vào được $a(-1)^2 + b(-1) + c = a – b + c = 0$ ✓.

Giải PT khi biết một nghiệm

Nếu biết phương trình có một nghiệm $x_1$, ta tìm nghiệm còn lại $x_2$ bằng:

$$x_2 = \dfrac{c}{a \cdot x_1} \quad \text{(vì } x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\text{)}$$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2. Bằng cách nhẩm nghiệm, giải các phương trình:

a) $x^2 – 8x + 7 = 0$   b) $3x^2 + 10x + 7 = 0$

Giải:

a) Kiểm tra: $a + b + c = 1 + (-8) + 7 = 0$.

Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{1} = 7$.

b) Kiểm tra: $a – b + c = 3 – 10 + 7 = 0$.

Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{7}{3}$.

Ví dụ 3. Giải phương trình $x^2 – 9x + 20 = 0$, biết phương trình có một nghiệm $x_1 = 4$.

Giải:

Gọi $x_2$ là nghiệm còn lại. Theo định lí Viète: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{20}{1} = 20$.

Do đó: $x_2 = \dfrac{20}{x_1} = \dfrac{20}{4} = 5$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Thiết lập phương trình

Giả sử cần tìm hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$. Gọi một số là $x$, số kia là $S – x$. Tích hai số bằng $P$:

$$x(S – x) = P \implies x^2 – Sx + P = 0$$

Hai số cần tìm chính là hai nghiệm của phương trình $x^2 – Sx + P = 0$.

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

$$x^2 – Sx + P = 0$$

Điều kiện để có hai số đó là: $\Delta = S^2 – 4P \geq 0$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4. Tìm hai số biết tổng bằng 7, tích bằng 10.

Giải:

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 – 7x + 10 = 0$.

$\Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 – 40 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$.

$$x_1 = \dfrac{7 – 3}{2} = 2, \qquad x_2 = \dfrac{7 + 3}{2} = 5$$

Vậy hai số cần tìm là 2 và 5.

Thử thách nhỏ: Tìm PT bậc hai mà tổng và tích các nghiệm là hai số đối nhau. Chẳng hạn: tổng $= -1$, tích $= 1$ → PT: $x^2 + x + 1 = 0$. Nhưng $\Delta = 1 – 4 = -3 < 0$, PT vô nghiệm! Vậy không phải lúc nào cũng tồn tại — phải kiểm tra $\Delta \geq 0$.

Giải bài toán mở đầu

Vận dụng. Bác An có 40 m hàng rào, mảnh vườn hình chữ nhật diện tích 96 m².

Lời giải:

Gọi chiều dài $d$, chiều rộng $r$ ($d, r > 0$). Ta có $d + r = 20$ và $d \cdot r = 96$.

Vậy $d$ và $r$ là nghiệm của phương trình: $x^2 – 20x + 96 = 0$.

$\Delta’ = 10^2 – 96 = 100 – 96 = 4 > 0$, $\sqrt{\Delta’} = 2$.

$x_1 = 10 + 2 = 12$, $x_2 = 10 – 2 = 8$.

Kết luận: Mảnh vườn có chiều dài 12 m và chiều rộng 8 m.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính tổng và tích nghiệm (không giải PT)

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định $a$, $b$, $c$.
• Bước 2: Tính $\Delta$ (hoặc $\Delta’$). Nếu $\Delta < 0$ → PT vô nghiệm, không tính được tổng/tích.
• Bước 3: Nếu $\Delta \geq 0$, áp dụng Viète: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Luyện tập 1. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm:

a) $2x^2 – 7x + 3 = 0$   b) $25x^2 – 20x + 4 = 0$   c) $2\sqrt{2},x^2 – 4 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. $\Delta = 49 – 24 = 25 > 0$.

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{3}{2}$$

b) $a = 25$, $b = -20$, $c = 4$. $\Delta’ = (-10)^2 – 25 \cdot 4 = 100 – 100 = 0$.

PT có nghiệm kép. $x_1 + x_2 = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$, $x_1 x_2 = \dfrac{4}{25}$.

c) $a = 2\sqrt{2}$, $b = 0$, $c = -4$. $\Delta = 0 – 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-4) = 32\sqrt{2} > 0$.

$$x_1 + x_2 = 0, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{-4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{-4}{2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$

Bài tập 6.23. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có):

a) $x^2 – 12x + 8 = 0$   b) $2x^2 + 11x – 5 = 0$   c) $3x^2 – 10 = 0$   d) $x^2 – x + 3 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $\Delta’ = 6^2 – 1 \cdot 8 = 36 – 8 = 28 > 0$.

$x_1 + x_2 = 12$, $x_1 x_2 = 8$.

b) $\Delta = 11^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 121 + 40 = 161 > 0$.

$x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}$, $x_1 x_2 = -\dfrac{5}{2}$.

c) $a = 3$, $b = 0$, $c = -10$. $\Delta = 0 + 120 = 120 > 0$.

$x_1 + x_2 = 0$, $x_1 x_2 = -\dfrac{10}{3}$.

d) $\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 – 12 = -11 < 0$.

Phương trình vô nghiệm, không tính được tổng và tích nghiệm.

Dạng 2: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Phương pháp giải:

• Kiểm tra $a + b + c = 0$ → nếu đúng: $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{c}{a}$.
• Kiểm tra $a – b + c = 0$ → nếu đúng: $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.
• Nếu biết sẵn một nghiệm $x_1$, tìm $x_2 = \dfrac{c}{a \cdot x_1}$.

Luyện tập 2. Tính nhẩm nghiệm:

a) $3x^2 – 11x + 8 = 0$   b) $4x^2 + 15x + 11 = 0$   c) $x^2 + 2\sqrt{2},x + 2 = 0$, biết PT có một nghiệm $x = -\sqrt{2}$

Lời giải chi tiết:

a) Kiểm tra: $a + b + c = 3 + (-11) + 8 = 0$ ✓

$x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8}{3}$.

b) Kiểm tra: $a – b + c = 4 – 15 + 11 = 0$ ✓

$x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{11}{4}$.

c) Biết $x_1 = -\sqrt{2}$. Theo Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1} = 2$.

$x_2 = \dfrac{2}{x_1} = \dfrac{2}{-\sqrt{2}} = \dfrac{2}{-\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{-2} = -\sqrt{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$.

Bài tập 6.24. Tính nhẩm nghiệm:

a) $2x^2 – 9x + 7 = 0$   b) $3x^2 + 11x + 8 = 0$   c) $7x^2 – 15x + 2 = 0$, biết $x_1 = 2$

Lời giải chi tiết:

a) $a + b + c = 2 + (-9) + 7 = 0$ ✓

$x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{7}{2}$.

b) $a – b + c = 3 – 11 + 8 = 0$ ✓

$x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{8}{3}$.

c) Biết $x_1 = 2$. Theo Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{7}$.

$x_2 = \dfrac{2}{7 \cdot 2} = \dfrac{1}{7}$.

Vậy hai nghiệm: $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{7}$.

Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp giải:

• Hai số có tổng $S$, tích $P$ là nghiệm của PT: $x^2 – Sx + P = 0$.
• Kiểm tra $\Delta = S^2 – 4P \geq 0$ → nếu $\Delta < 0$: không tồn tại hai số thoả mãn.
• Giải PT để tìm hai số.

Luyện tập 3. Tìm hai số biết tổng bằng $-11$, tích bằng 28.

Lời giải chi tiết:

Hai số cần tìm là nghiệm của: $x^2 + 11x + 28 = 0$ (vì $S = -11$ nên PT là $x^2 – (-11)x + 28 = 0$).

$\Delta = 11^2 – 4 \cdot 28 = 121 – 112 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$.

$x_1 = \dfrac{-11 + 3}{2} = -4$, $x_2 = \dfrac{-11 – 3}{2} = -7$.

Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $-7$.

Bài tập 6.25. Tìm hai số $u$ và $v$, biết:

a) $u + v = 20$, $uv = 99$   b) $u + v = 2$, $uv = 15$

Lời giải chi tiết:

a) $u$ và $v$ là nghiệm của: $x^2 – 20x + 99 = 0$.

$\Delta’ = 10^2 – 99 = 100 – 99 = 1 > 0$, $\sqrt{\Delta’} = 1$.

$x_1 = 10 + 1 = 11$, $x_2 = 10 – 1 = 9$.

Vậy $u = 11$, $v = 9$ (hoặc ngược lại).

b) $u$ và $v$ là nghiệm của: $x^2 – 2x + 15 = 0$.

$\Delta’ = 1 – 15 = -14 < 0$.

Phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại hai số $u$, $v$ thoả mãn đề bài.

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng định lí Viète

Phương pháp giải:

Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thì:

$$ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)$$

Vậy để phân tích đa thức: giải PT → tìm $x_1$, $x_2$ → viết dạng tích.

Bài tập 6.26. Chứng tỏ rằng nếu PT $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thì:

$$ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)$$

Chứng minh:

Khai triển vế phải:

$$a(x – x_1)(x – x_2) = a\big[x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\big]$$

Theo Viète: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ và $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Thế vào:

$$= a\left[x^2 – \left(-\dfrac{b}{a}\right)x + \dfrac{c}{a}\right] = a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right] = ax^2 + bx + c$$

Đúng bằng vế trái. (đpcm)

Áp dụng. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2 + 11x + 18$   b) $3x^2 + 5x – 2$

Lời giải chi tiết:

a) Giải $x^2 + 11x + 18 = 0$.

$\Delta = 121 – 72 = 49$, $\sqrt{\Delta} = 7$.

$x_1 = \dfrac{-11 + 7}{2} = -2$, $x_2 = \dfrac{-11 – 7}{2} = -9$.

Vậy: $x^2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)$.

b) Giải $3x^2 + 5x – 2 = 0$.

$\Delta = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{\Delta} = 7$.

$x_1 = \dfrac{-5 + 7}{6} = \dfrac{1}{3}$, $x_2 = \dfrac{-5 – 7}{6} = -2$.

Vậy: $3x^2 + 5x – 2 = 3\left(x – \dfrac{1}{3}\right)(x + 2) = (3x – 1)(x + 2)$.

Dạng 5: Bài toán thực tế (tìm kích thước hình chữ nhật)

Phương pháp giải:

• Chiều dài $d$ và chiều rộng $r$ có tổng $S$ (từ chu vi) và tích $P$ (từ diện tích).
• Lập PT: $x^2 – Sx + P = 0$, giải tìm $d$, $r$.

Bài tập 6.27. Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m² và chu vi 74 m. Tính kích thước.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều dài $d$, chiều rộng $r$ ($d \geq r > 0$).

$2(d + r) = 74 \implies d + r = 37$, $d \cdot r = 300$.

$d$ và $r$ là nghiệm của: $x^2 – 37x + 300 = 0$.

$\Delta = 37^2 – 4 \cdot 300 = 1369 – 1200 = 169$, $\sqrt{\Delta} = 13$.

$x_1 = \dfrac{37 + 13}{2} = 25$, $x_2 = \dfrac{37 – 13}{2} = 12$.

Kết luận: Bể bơi có chiều dài 25 m và chiều rộng 12 m.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhẩm nhanh $a + b + c$ hoặc $a – b + c$: Trước khi dùng công thức nghiệm, luôn thử tính $a + b + c$ và $a – b + c$. Nếu một trong hai bằng 0, ta có ngay hai nghiệm mà không cần tính $\Delta$.

Mẹo 2 — Nhớ công thức qua câu: “Tổng đối $b$ trên $a$, tích lấy $c$ trên $a$” → $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Mẹo 3 — Tìm hai số = lập PT bậc hai: Khi đề cho tổng $S$ và tích $P$, lập ngay $x^2 – Sx + P = 0$. Kiểm tra $\Delta = S^2 – 4P$ rồi giải.

Mẹo 4 — Phân tích nhân tử nhanh: Thay vì thử ghép, giải PT bậc hai tìm nghiệm rồi viết $a(x – x_1)(x – x_2)$. Cách này luôn đúng và rất nhanh với MTCT.

Mẹo 5 — Dùng Viète kiểm tra đáp án: Sau khi giải PT, kiểm tra nhanh bằng cách cộng và nhân hai nghiệm, so sánh với $-b/a$ và $c/a$.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du