Trước khi đi vào lý thuyết, chúng ta cùng xem lại một bài toán cổ quen thuộc:

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.

Chia ba mỗi quả quýt rồi,

Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Ở những bài trước, các em đã quen với việc lập phương trình một ẩn để giải toán. Tuy nhiên, bài toán trên có hai đại lượng chưa biết — số cam và số quýt — nên ta cần một công cụ mới: phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hãy cùng tìm hiểu chi tiết trong bài học hôm nay.

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm

Quay lại bài toán cổ, gọi $x$ là số cam, $y$ là số quýt (với $x, y$ nguyên dương và nhỏ hơn 17).

Từ câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi”, ta hiểu tổng số cam và quýt bằng 17, tức là:

$$x + y = 17$$

Từ các câu tiếp theo: mỗi quả quýt chia 3 miếng, mỗi quả cam chia 10 miếng, tổng cộng 100 miếng cho 100 người, ta được:

$$10x + 3y = 100$$

Cả hai hệ thức trên đều chứa hai biến $x$ và $y$, mỗi biến đều có bậc nhất (số mũ bằng 1). Đây chính là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một cách tổng quát:

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức có dạng:

$$ax + by = c \quad (1)$$

Trong đó $a$, $b$, $c$ là các số đã cho, với điều kiện $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ (tức là ít nhất một trong hai hệ số $a$, $b$ phải khác 0).

Lưu ý quan trọng: Điều kiện $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ là bắt buộc. Nếu cả $a$ và $b$ đều bằng 0 thì hệ thức $0x + 0y = c$ không phải phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu thay $x = x_0$ và $y = y_0$ vào phương trình $ax + by = c$ mà ta được một khẳng định đúng (tức là $ax_0 + by_0 = c$), thì cặp số $(x_0;, y_0)$ được gọi là một nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ: Xét phương trình $4x + 3y = 5$.

• Thay $x = 2$, $y = -1$: ta có $4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 8 – 3 = 5$ ✓ → Cặp $(2;, -1)$ là nghiệm.
• Thay $x = 1$, $y = 0$: ta có $4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 4 \neq 5$ ✗ → Cặp $(1;, 0)$ không là nghiệm.

Phương trình bậc nhất hai ẩn có bao nhiêu nghiệm?

Xét phương trình $x + 2y = 5$. Ta biểu diễn $y$ theo $x$:

$$y = \dfrac{5 – x}{2}$$

Với mỗi giá trị của $x$ ta chọn, luôn tính được đúng một giá trị $y$ tương ứng. Vì $x$ có thể lấy bất kỳ số thực nào, nên:

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.

Ta gọi cách viết tất cả các nghiệm là nghiệm tổng quát. Với phương trình $x + 2y = 5$, nghiệm tổng quát là:

$$\left(x;, \dfrac{5 – x}{2}\right) \text{ với } x \in \mathbb{R}$$

Một vài nghiệm cụ thể:

Biểu diễn hình học nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Mỗi nghiệm $(x;, y)$ của phương trình bậc nhất hai ẩn tương ứng với toạ độ của một điểm trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Khi biểu diễn tất cả các nghiệm, ta thu được một đường thẳng.

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ $(x;, y)$ thoả mãn phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ là một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng $ax + by = c$.

Tuỳ vào hệ số $a$, $b$, đường thẳng biểu diễn nghiệm có các dạng khác nhau:

Trường hợp 1: Cả $a \neq 0$ và $b \neq 0$ — Đường thẳng cắt cả hai trục toạ độ.

Ví dụ: $x + 2y = 3$. Biểu diễn: $y = -0{,}5x + 1{,}5$.

Nghiệm tổng quát: $(x;, -0{,}5x + 1{,}5)$ với $x \in \mathbb{R}$.

Để vẽ đường thẳng, lấy hai điểm: $A(0;, 1{,}5)$ và $B(3;, 0)$, rồi nối lại.

Trường hợp 2: $a = 0$ (hệ số của $x$ bằng 0) — Đường thẳng song song với trục hoành.

Ví dụ: $0x + y = -2$, viết gọn là $y = -2$.

Nghiệm tổng quát: $(x;, -2)$ với $x \in \mathbb{R}$.

Đường thẳng này song song với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;, -2)$.

Trường hợp 3: $b = 0$ (hệ số của $y$ bằng 0) — Đường thẳng song song với trục tung.

Ví dụ: $x + 0y = 3$, viết gọn là $x = 3$.

Nghiệm tổng quát: $(3;, y)$ với $y \in \mathbb{R}$.

Đường thẳng này song song với trục $Oy$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $(3;, 0)$.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm

Quay lại bài toán cổ, ta đã lập được hai phương trình:

$$x + y = 17 \quad \text{và} \quad 10x + 3y = 100$$

Để tìm đáp án, ta cần tìm cặp $(x;, y)$ thoả mãn đồng thời cả hai phương trình trên. Khi ghép hai phương trình lại với nhau, ta có một hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 17 \\ 10x + 3y = 100 \end{cases}$$

Tổng quát hơn:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn, thường được viết dưới dạng:

$$\begin{cases} ax + by = c \\ a’x + b’y = c’ \end{cases} \quad (*)$$

Nghiệm của hệ phương trình

Cặp số $(x_0;, y_0)$ được gọi là nghiệm của hệ $(*)$ nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Nói cách khác, nghiệm của hệ chính là nghiệm chung của hai phương trình.

Điểm mấu chốt: Chỉ cần cặp số không thoả mãn một trong hai phương trình thì nó đã không phải nghiệm của hệ.

Ví dụ: Giải thích tại sao $(1;\, 2)$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} 2x – y = 0 \\ x + y = 3 \end{cases}$

• Kiểm tra phương trình thứ nhất: $2 \cdot 1 – 2 = 2 – 2 = 0$ ✓ → $(1;, 2)$ thoả mãn.
• Kiểm tra phương trình thứ hai: $1 + 2 = 3$ ✓ → $(1;, 2)$ thoả mãn.

Vì $(1;, 2)$ thoả mãn cả hai phương trình nên $(1;, 2)$ là nghiệm của hệ.

Ý nghĩa hình học

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn một đường thẳng. Khi ta xét hệ gồm hai phương trình, nghiệm của hệ — nếu có — chính là toạ độ của giao điểm hai đường thẳng tương ứng.

Trong ví dụ trên, đường thẳng $d_1: 2x – y = 0$ và $d_2: x + y = 3$ cắt nhau tại điểm $M(1;, 2)$. Toạ độ giao điểm $M$ chính là nghiệm của hệ.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải:

• Bước 1: Từ phương trình $ax + by = c$, biểu diễn $y$ theo $x$ (nếu $b \neq 0$) hoặc biểu diễn $x$ theo $y$ (nếu $b = 0$).
• Bước 2: Viết nghiệm tổng quát dưới dạng cặp số.
• Bước 3: Xác định hai điểm thuộc đường thẳng (thường cho $x = 0$ tìm $y$ và cho $y = 0$ tìm $x$), rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Ví dụ 1. Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình:

$$2x – 3y = 5$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biểu diễn $y$ theo $x$.

Ta có phương trình: $2x – 3y = 5$

Chuyển $2x$ sang vế phải: $-3y = 5 – 2x$

Chia cả hai vế cho $-3$:

$$y = \dfrac{5 – 2x}{-3} = \dfrac{2x – 5}{3} = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{5}{3}$$

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát.

Với mỗi giá trị $x \in \mathbb{R}$, ta tính được đúng một giá trị $y = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{5}{3}$.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

$$\left(x;, \dfrac{2}{3}x – \dfrac{5}{3}\right) \text{ với } x \in \mathbb{R}$$

Bước 3: Biểu diễn hình học.

Mỗi nghiệm là toạ độ một điểm thuộc đường thẳng $d: y = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{5}{3}$.

Tìm hai điểm thuộc $d$:

• Cho $x = 0$: $y = \dfrac{2}{3} \cdot 0 – \dfrac{5}{3} = -\dfrac{5}{3} \approx -1{,}67$ → Điểm $A\left(0;, -\dfrac{5}{3}\right)$.
• Cho $y = 0$: $0 = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{5}{3}$ → $\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{3}$ → $x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ → Điểm $B\left(\dfrac{5}{2};, 0\right)$.

Vẽ đường thẳng $d$ đi qua $A$ và $B$, ta có hình biểu diễn tất cả các nghiệm.

Ví dụ 2. Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình:

$$0x + y = 3$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phương trình $0x + y = 3$ viết gọn lại là $y = 3$.

Ở đây hệ số $a = 0$ (hệ số của $x$ bằng 0), nên giá trị của $y$ luôn bằng 3 bất kể $x$ nhận giá trị nào.

Bước 2: Nghiệm tổng quát:

$$\left(x;, 3\right) \text{ với } x \in \mathbb{R}$$

Bước 3: Biểu diễn hình học.

Tập hợp các điểm $(x;, 3)$ là một đường thẳng song song với trục hoành $Ox$, cắt trục tung $Oy$ tại điểm $(0;, 3)$.

Ví dụ 3. Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình:

$$x + 0y = -2$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phương trình $x + 0y = -2$ viết gọn lại là $x = -2$.

Ở đây hệ số $b = 0$ (hệ số của $y$ bằng 0), nên giá trị của $x$ luôn bằng $-2$ bất kể $y$ nhận giá trị nào.

Bước 2: Nghiệm tổng quát:

$$\left(-2;, y\right) \text{ với } y \in \mathbb{R}$$

Bước 3: Biểu diễn hình học.

Tập hợp các điểm $(-2;, y)$ là một đường thẳng song song với trục tung $Oy$, cắt trục hoành $Ox$ tại điểm $(-2;, 0)$.

Dạng 2: Xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải:

• Bước 1: Thay giá trị $x_0$ và $y_0$ vào phương trình thứ nhất của hệ. Kiểm tra vế trái có bằng vế phải không.
• Bước 2: Thay giá trị $x_0$ và $y_0$ vào phương trình thứ hai của hệ. Kiểm tra tương tự.
• Bước 3: Kết luận:
  • Nếu cặp số thoả mãn cả hai phương trình → là nghiệm của hệ.
  • Nếu cặp số không thoả mãn ít nhất một phương trình → không là nghiệm của hệ.

Mẹo: Nếu kiểm tra phương trình thứ nhất mà đã không thoả mãn, ta có thể kết luận ngay không phải nghiệm mà không cần kiểm tra phương trình thứ hai.

Ví dụ 4. Trong hai cặp số $(0;, -2)$ và $(2;, -1)$, cặp nào là nghiệm của hệ phương trình:

$$\begin{cases} x – 2y = 4 \\ 4x + 3y = 5 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra cặp $(0;, -2)$:

Thay $x = 0$, $y = -2$ vào phương trình thứ nhất:

$$x – 2y = 0 – 2 \cdot (-2) = 0 + 4 = 4 \quad ✓$$

Vế trái bằng 4, vế phải bằng 4. Vậy $(0;, -2)$ thoả mãn phương trình thứ nhất.

Thay $x = 0$, $y = -2$ vào phương trình thứ hai:

$$4x + 3y = 4 \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 0 – 6 = -6 \neq 5 \quad ✗$$

Vế trái bằng $-6$, vế phải bằng 5. Hai vế không bằng nhau, nên $(0;, -2)$ không thoả mãn phương trình thứ hai.

Kết luận: $(0;, -2)$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Kiểm tra cặp $(2;, -1)$:

Thay $x = 2$, $y = -1$ vào phương trình thứ nhất:

$$x – 2y = 2 – 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4 \quad ✓$$

Vế trái bằng 4, vế phải bằng 4. Vậy $(2;, -1)$ thoả mãn phương trình thứ nhất.

Thay $x = 2$, $y = -1$ vào phương trình thứ hai:

$$4x + 3y = 4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 8 – 3 = 5 \quad ✓$$

Vế trái bằng 5, vế phải bằng 5. Vậy $(2;, -1)$ thoả mãn phương trình thứ hai.

Kết luận: $(2;, -1)$ thoả mãn đồng thời cả hai phương trình, nên $(2;, -1)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Dạng 3: Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định hai đại lượng chưa biết → Gọi ẩn $x$, $y$ và nêu rõ điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Dựa vào các dữ kiện trong đề bài, dịch từng giả thiết thành một phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Bước 3: Ghép các phương trình lại thành hệ phương trình.
• Bước 4: Kiểm tra nghiệm (nếu đề yêu cầu) bằng cách thay cặp số vào từng phương trình.

Ví dụ 5. Quay lại bài toán cổ ở đầu bài. Gọi $x$ là số cam, $y$ là số quýt cần tính ($x, y \in \mathbb{N}^*$).

Bước 1: Gọi ẩn.

• $x$: số quả cam
• $y$: số quả quýt
• Điều kiện: $x, y$ là số nguyên dương, $x + y = 17$ nên $x, y < 17$.

Bước 2: Lập phương trình từ đề bài.

• “Quýt, cam mười bảy quả tươi” → Tổng số cam và quýt bằng 17:

$$x + y = 17 \quad \text{(phương trình 1)}$$

• “Chia ba mỗi quả quýt rồi” → Mỗi quả quýt chia 3 miếng, tức $y$ quả quýt cho $3y$ miếng.
• “Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh” → Mỗi quả cam chia 10 miếng, tức $x$ quả cam cho $10x$ miếng.
• “Trăm người, trăm miếng ngọt lành” → Tổng số miếng bằng 100:

$$10x + 3y = 100 \quad \text{(phương trình 2)}$$

Bước 3: Lập hệ phương trình.

$$\begin{cases} x + y = 17 \\ 10x + 3y = 100 \end{cases}$$

Bước 4: Kiểm tra xem cặp nào trong $(10;, 7)$ và $(7;, 10)$ là nghiệm.

Kiểm tra cặp $(10;, 7)$:

• PT1: $10 + 7 = 17$ ✓
• PT2: $10 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 100 + 21 = 121 \neq 100$ ✗

→ $(10;, 7)$ không là nghiệm của hệ.

Kiểm tra cặp $(7;, 10)$:

• PT1: $7 + 10 = 17$ ✓
• PT2: $10 \cdot 7 + 3 \cdot 10 = 70 + 30 = 100$ ✓

→ $(7;, 10)$ là nghiệm của hệ.

Kết luận: Một phương án thoả mãn yêu cầu bài toán cổ là 7 quả cam và 10 quả quýt.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Kiểm tra nghiệm hệ nhanh hơn: Khi cần kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ hay không, hãy thử phương trình đơn giản hơn trước. Nếu ngay phương trình đầu đã không thoả mãn, kết luận luôn mà không cần kiểm tra phương trình còn lại.

Mẹo 2 — Tìm hai điểm vẽ đường thẳng: Cách nhanh nhất là cho $x = 0$ để tìm $y$ và cho $y = 0$ để tìm $x$. Hai điểm này là giao của đường thẳng với hai trục toạ độ, rất dễ xác định trên hình.

Mẹo 3 — Nhận dạng nhanh loại đường thẳng:

• Hệ số $a$ và $b$ đều khác 0 → đường thẳng xiên (cắt cả hai trục).
• Hệ số $a = 0$ → phương trình có dạng $y = \dfrac{c}{b}$ → đường thẳng nằm ngang.
• Hệ số $b = 0$ → phương trình có dạng $x = \dfrac{c}{a}$ → đường thẳng thẳng đứng.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du