1. Đa giác đều

Đa giác

Một hình phẳng được gọi là đa giác nếu nó được tạo bởi các đoạn thẳng nối tiếp nhau, trong đó hai đoạn thẳng bất kì có chung một đầu mút thì không cùng nằm trên một đường thẳng.

Chẳng hạn, đa giác $ABCDE$ là hình gồm năm đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$. Đa giác này có:

• Năm đỉnh: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$.
• Năm cạnh: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$.
• Năm góc: $\widehat{EAB}$, $\widehat{ABC}$, $\widehat{BCD}$, $\widehat{CDE}$, $\widehat{DEA}$.

Đa giác lồi

Nếu với mỗi cạnh bất kì của đa giác, tất cả các đỉnh không nằm trên cạnh đó đều ở cùng một phía so với đường thẳng chứa cạnh đó, thì đa giác được gọi là đa giác lồi.

Nói cách khác, đa giác lồi là đa giác mà không có bất kì cạnh nào “lõm vào trong”. Ví dụ: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều đều là các đa giác lồi.

Đa giác đều

Ta đã biết tam giác đều có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau; hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau. Tổng quát hơn, ta có khái niệm đa giác đều:

Đa giác đều là một đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Như vậy, để một hình là đa giác đều, cần đồng thời thoả mãn ba điều kiện: (1) là đa giác lồi, (2) các cạnh bằng nhau, (3) các góc bằng nhau.

Các đa giác đều thường gặp: tam giác đều (3 cạnh), hình vuông (4 cạnh), ngũ giác đều (5 cạnh), lục giác đều (6 cạnh), bát giác đều (8 cạnh).

Đa giác đều nội tiếp đường tròn

Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều, tâm đường tròn gọi là tâm của đa giác đều, và đa giác đều được gọi là nội tiếp đường tròn đó.

Chẳng hạn, ta có thể dựng một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ bằng cách lấy 5 điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ trên đường tròn sao cho các góc ở tâm bằng nhau:

$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOA} = \dfrac{360°}{5} = 72°$$

Khi đó, vì $OA = OB = OC = OD = OE = R$ và các góc ở tâm bằng nhau nên các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODE$, $OEA$ bằng nhau (theo trường hợp cạnh–góc–cạnh). Suy ra các cạnh và các góc của đa giác $ABCDE$ bằng nhau.

Ví dụ minh họa

Tính cạnh và góc của lục giác đều nội tiếp đường tròn

Cho lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 3$ cm. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của lục giác đều.

Lời giải:

Lục giác đều có 6 cạnh nên góc ở tâm ứng với mỗi cạnh là:

$$\widehat{AOB} = \dfrac{360°}{6} = 60°$$

Xét tam giác $OAB$: $OA = OB = R = 3$ cm (bán kính) và $\widehat{AOB} = 60°$. Tam giác cân tại $O$ có góc ở đỉnh bằng $60°$ nên $\triangle OAB$ là tam giác đều.

Suy ra $AB = OA = 3$ cm. Tương tự cho các cạnh còn lại:

$$AB = BC = CD = DE = EF = FA = 3 \text{ cm}$$

Vì $\triangle OAB$ đều nên $\widehat{OAB} = 60°$. Tương tự $\triangle OAF$ đều nên $\widehat{OAF} = 60°$.

Khi đó: $\widehat{FAB} = \widehat{OAB} + \widehat{OAF} = 60° + 60° = 120°$.

Tương tự, tất cả các góc của lục giác đều bằng $120°$.

Kết luận: Lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $3$ cm có độ dài mỗi cạnh bằng $3$ cm (bằng bán kính) và mỗi góc bằng $120°$.

Nhận xét quan trọng: Với lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$, độ dài mỗi cạnh luôn bằng $R$.

Chứng minh lục giác đều

Cho tam giác đều $PQR$ có cạnh $9$ cm. Trên cạnh $PQ$ lấy hai điểm $G$, $H$; trên cạnh $QR$ lấy hai điểm $I$, $K$; trên cạnh $RP$ lấy hai điểm $L$, $M$; sao cho các đoạn thẳng $PG$, $GH$, $HQ$, $QI$, $IK$, $KR$, $RL$, $LM$, $MP$ đều bằng $3$ cm. Hỏi $GHIKLM$ có phải lục giác đều không?

Lời giải:

Theo hình vẽ, $GHIKLM$ là một đa giác lồi.

Ta có $\dfrac{PG}{PQ} = \dfrac{PM}{PR} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

Theo định lí Thalès đảo cho $\triangle PQR$ và đường thẳng $GM$, suy ra $GM \parallel QR$.

Do đó $\dfrac{GM}{QR} = \dfrac{PG}{PQ} = \dfrac{1}{3}$, suy ra $GM = \dfrac{QR}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$ cm.

Tương tự: $HI = KL = 3$ cm.

Vậy lục giác $GHIKLM$ có tất cả các cạnh bằng $3$ cm.

Mặt khác, tam giác $PGM$ có $PG = GM = MP = 3$ cm nên $\triangle PGM$ đều, suy ra $\widehat{GMP} = 60°$.

Khi đó: $\widehat{GML} = 180° – \widehat{GMP} = 180° – 60° = 120°$.

Tương tự, các góc tại các đỉnh $G$, $H$, $I$, $K$, $L$ của lục giác đều bằng $120°$.

Vậy lục giác $GHIKLM$ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau, do đó $GHIKLM$ là lục giác đều.

2. Phép quay

Khái niệm phép quay

Hình dung một bàn xoay hình tròn tâm $O$. Đặt một vật tại điểm $A$ trên bàn (khác tâm $O$). Khi quay bàn xoay, vật di chuyển đến vị trí mới $B$. Ta thấy khoảng cách từ $A$ đến $O$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $O$ (tức $OA = OB$), nên $A$ và $B$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$.

Từ đó ta có khái niệm:

Phép quay thuận chiều $\alpha°$ ($0° < \alpha < 360°$) tâm $O$ giữ nguyên điểm $O$, biến điểm $A$ (khác $O$) thành điểm $B$ thuộc đường tròn $(O;, OA)$ sao cho khi tia $OA$ quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia $OB$ thì điểm $A$ tạo nên cung $AB$ có số đo $\alpha°$.

Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều $\alpha°$ tâm $O$ (quay ngược chiều kim đồng hồ).

Phép quay $0°$ và phép quay $360°$ giữ nguyên mọi điểm.

Một số tính chất:

• Phép quay ngược chiều $180°$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $A’$ đối xứng với $A$ qua $O$ (vì $OA = OA’$ và $A$, $O$, $A’$ thẳng hàng).
• Nếu phép quay thuận chiều $\alpha°$ tâm $O$ biến $A$ thành $B$, thì phép quay ngược chiều $\alpha°$ tâm $O$ sẽ biến $B$ trở lại thành $A$.

Phép quay giữ nguyên đa giác đều

Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều $\mathcal{H}$ nếu phép quay đó biến mỗi điểm của $\mathcal{H}$ thành một điểm của $\mathcal{H}$.

Người ta chỉ ra rằng: nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều $\mathcal{H}$ thành các đỉnh của $\mathcal{H}$ thì phép quay đó giữ nguyên $\mathcal{H}$.

Quy tắc tổng quát: Với đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn tâm $O$, các phép quay giữ nguyên đa giác là các phép quay tâm $O$ với góc quay:

$$k \cdot \dfrac{360°}{n}, \quad k = 1,, 2,, \ldots,, n$$

(Phép quay có thể theo chiều thuận hoặc ngược chiều kim đồng hồ.)

Ví dụ minh họa

Cho hình vuông $MNPQ$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hãy lập bảng mô tả kết quả khi thực hiện các phép quay thuận chiều lần lượt $90°$, $180°$, $270°$, $360°$ tâm $O$ lên các đỉnh $M$, $N$, $P$, $Q$.

Lời giải:

Hình vuông có 4 cạnh nên mỗi cung nối hai đỉnh liên tiếp ứng với góc ở tâm $\dfrac{360°}{4} = 90°$.

Khi quay thuận chiều $90°$: mỗi đỉnh di chuyển đến vị trí của đỉnh kế tiếp theo chiều kim đồng hồ.

Cả bốn phép quay trên đều biến các đỉnh của hình vuông thành các đỉnh của chính nó, nên chúng giữ nguyên hình vuông $MNPQ$.

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng đa giác đều

Phương pháp giải:

Để xác định một hình phẳng có phải đa giác đều hay không, ta kiểm tra ba điều kiện:

• Điều kiện 1: Hình đó phải là đa giác lồi (nếu không lồi thì chắc chắn không phải đa giác đều).
• Điều kiện 2: Tất cả các cạnh phải bằng nhau.
• Điều kiện 3: Tất cả các góc phải bằng nhau.

Chỉ cần một trong ba điều kiện không thoả mãn thì hình đó không phải đa giác đều.

Bài 9.24 (SGK – tr.88). Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Lời giải chi tiết:

Xét lần lượt từng hình:

• Hình a (ngôi sao 6 cánh): Không phải đa giác lồi (có các phần lõm vào trong). → Không phải đa giác đều.
• Hình b (hình chữ nhật xanh): Là đa giác lồi, có bốn góc bằng nhau ($90°$), nhưng hai cạnh dài khác hai cạnh ngắn → các cạnh không bằng nhau. → Không phải đa giác đều.Tuy nhiên, nếu hình b là hình vuông (các cạnh bằng nhau, các góc bằng $90°$) thì nó là đa giác đều. Quan sát kĩ hình ta thấy hình b có dạng hình vuông.
• Hình c (hình dấu cộng): Không phải đa giác lồi. → Không phải đa giác đều.
• Hình d (hình tròn/elip): Không phải đa giác (không có cạnh thẳng). → Không phải đa giác đều.
• Hình e (ngôi sao 5 cánh): Không phải đa giác lồi. → Không phải đa giác đều.

Kết luận: Hình b và hình d là các hình phẳng có dạng đa giác đều.

(Lưu ý: Dựa theo đáp án SGK, hình b và d là đa giác đều. Học sinh cần quan sát kĩ hình vẽ trong sách.)

Dạng 2: Tính cạnh và góc của đa giác đều nội tiếp đường tròn

Phương pháp giải:

Cho đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$:

• Góc ở tâm ứng với mỗi cạnh: $\dfrac{360°}{n}$.
• Mỗi góc trong của đa giác đều $n$ cạnh: $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$.
• Tổng các góc trong: $(n-2) \cdot 180°$.
• Độ dài cạnh phụ thuộc vào $R$ và $n$, tính bằng cách xét tam giác cân $OAB$ với $OA = OB = R$ và $\widehat{AOB} = \dfrac{360°}{n}$.

Một số trường hợp đặc biệt:

Bài 9.26 (SGK – tr.88). Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $2$ cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $a$ là độ dài cạnh của tam giác đều $ABC$ và $R = 2$ cm là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, nên góc ở tâm ứng với mỗi cạnh là:

$$\widehat{AOB} = \dfrac{360°}{3} = 120°$$

Xét tam giác $OAB$: $OA = OB = R = 2$ cm, $\widehat{AOB} = 120°$.

Kẻ $OH \perp AB$ ($H$ là trung điểm $AB$). Khi đó:

$$\widehat{AOH} = \dfrac{120°}{2} = 60°$$

Trong tam giác vuông $OHA$:

$$AH = OA \cdot \sin 60° = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ (cm)}$$

Suy ra:

$$a = AB = 2 \cdot AH = 2\sqrt{3} \text{ (cm)}$$

Kết luận: Độ dài các cạnh của tam giác đều $ABC$ bằng $2\sqrt{3}$ cm.

Công thức tổng quát: Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ có cạnh $a = R\sqrt{3}$.

Dạng 3: Chứng minh một hình là đa giác đều

Phương pháp giải:

Để chứng minh một đa giác là đa giác đều, ta cần chỉ ra đồng thời:

• Đa giác đó là đa giác lồi.
• Tất cả các cạnh bằng nhau.
• Tất cả các góc bằng nhau.

Các kĩ thuật thường dùng: chứng minh các tam giác bằng nhau (c.g.c, c.c.c), áp dụng định lí Thalès, sử dụng tính chất của tam giác đều hoặc hình thoi.

Bài 9.27 (SGK – tr.88). Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60°$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng minh rằng $MBNPDQ$ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết:

Gọi $a$ là độ dài cạnh hình thoi $ABCD$.

Vì $M$, $N$, $P$, $Q$ là trung điểm các cạnh nên:

$$BM = BN = \dfrac{a}{2}, \quad DP = DQ = \dfrac{a}{2}$$

Hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60°$. Vì $AB = AD = a$ và $AM = AQ = \dfrac{a}{2}$, nên tam giác $AMQ$ cân tại $A$ với $\widehat{A} = 60°$, suy ra $\triangle AMQ$ là tam giác đều.

Do đó $MQ = AM = \dfrac{a}{2}$.

Tương tự, $\widehat{C} = \widehat{A} = 60°$ (tính chất hình thoi: hai góc đối bằng nhau), nên $\triangle CNP$ đều và $NP = CN = \dfrac{a}{2}$.

Vậy tất cả 6 cạnh của $MBNPDQ$ đều bằng $\dfrac{a}{2}$.

Xét các góc:

• $\widehat{MBN} = \widehat{B} = 180° – \widehat{A} = 180° – 60° = 120°$ (hai góc kề trong hình thoi bù nhau).
• $\widehat{QMA} = 60°$ (vì $\triangle AMQ$ đều), suy ra $\widehat{QMB} = 180° – \widehat{QMA} = 120°$.
• Tương tự: $\widehat{BNP} = \widehat{NPD} = \widehat{PDQ} = \widehat{DQM} = 120°$.

Vậy lục giác $MBNPDQ$ lồi, có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau ($120°$).

Kết luận: $MBNPDQ$ là lục giác đều.

Bài 9.28 (SGK – tr.88). Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều $60°$ tâm $O$ biến các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt thành các điểm $D$, $E$, $F$. Chứng minh rằng $ADBECF$ là một lục giác đều.

Lời giải chi tiết:

Gọi $R$ là bán kính đường tròn $(O)$.

Vì phép quay ngược chiều $60°$ tâm $O$ biến $A$ thành $D$, ta có $\widehat{AOD} = 60°$.

Tam giác đều $ABC$ nội tiếp $(O)$ nên:

$$\widehat{AOB} = \dfrac{360°}{3} = 120°$$

Suy ra: $\widehat{DOB} = \widehat{AOB} – \widehat{AOD} = 120° – 60° = 60°$.

Xét tam giác $OAD$: $OA = OD = R$ và $\widehat{AOD} = 60°$. Tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $60°$ nên $\triangle OAD$ đều. Suy ra $AD = R$.

Tương tự $\triangle ODB$ đều nên $DB = R$.

Lập luận tương tự cho các cặp đỉnh còn lại, ta được:

$$AD = DB = BE = EC = CF = FA = R$$

Vậy lục giác lồi $ADBECF$ nội tiếp $(O)$ có 6 cạnh bằng nhau.

Mặt khác, các cung nhỏ $\overset{\frown}{AD}$, $\overset{\frown}{DB}$, $\overset{\frown}{BE}$, $\overset{\frown}{EC}$, $\overset{\frown}{CF}$, $\overset{\frown}{FA}$ đều có số đo $60°$. Mỗi góc của lục giác là góc nội tiếp chắn cung có số đo bằng $4 \times 60° = 240°$, nên:

$$\text{Mỗi góc} = \dfrac{240°}{2} = 120°$$

Vậy lục giác $ADBECF$ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Kết luận: $ADBECF$ là lục giác đều.

Dạng 4: Nhận biết phép quay và xác định phép quay giữ nguyên đa giác đều

Phương pháp giải:

Nhận biết phép quay: Phép quay thuận chiều $\alpha°$ tâm $O$ biến $M$ thành $N$ khi:

• $OM = ON$ (hai điểm cùng nằm trên đường tròn tâm $O$).
• Tia $OM$ quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia $ON$ tạo góc $\alpha°$.

Liệt kê phép quay giữ nguyên đa giác đều $n$ cạnh: Các phép quay tâm $O$ (tâm đa giác) giữ nguyên đa giác đều $n$ cạnh là:

$$\dfrac{360°}{n},\quad \dfrac{2 \cdot 360°}{n},\quad \dfrac{3 \cdot 360°}{n},\quad \ldots,\quad \dfrac{n \cdot 360°}{n} = 360°$$

Tức là có đúng $n$ phép quay (cùng một chiều) giữ nguyên đa giác đều $n$ cạnh.

Bài 9.25 (SGK – tr.88). Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm $M$ và $N$ thoả mãn phép quay thuận chiều $60°$ tâm $O$ biến điểm $M$ thành điểm $N$?

Lời giải chi tiết:

Phép quay thuận chiều $60°$ tâm $O$ biến $M$ thành $N$ cần thoả mãn:

• $OM = ON$ (hai điểm cách $O$ bằng nhau).
• Tia $OM$ quay theo chiều kim đồng hồ một góc $60°$ thì trùng tia $ON$.

Xét từng hình:

• Hình a: $OM = ON$ nhưng tia $OM$ quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia $ON$ → Không phải phép quay thuận chiều.
• Hình b: $OM = ON$ nhưng tia $OM$ quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia $ON$ → Không phải phép quay thuận chiều.
• Hình c: Góc giữa $OM$ và $ON$ là $50°$, không phải $60°$ → Không thoả mãn.
• Hình d: $OM = ON$, tia $OM$ quay thuận chiều kim đồng hồ $60°$ đến tia $ON$ → Thoả mãn.

Đáp án: Hình d.

Bài 9.29 (SGK – tr.88). Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm $O$.

Lời giải chi tiết:

Ngũ giác đều có $n = 5$ cạnh. Góc quay cơ bản là $\dfrac{360°}{5} = 72°$.

Năm phép quay thuận chiều tâm $O$ giữ nguyên ngũ giác đều là:

$$72°,\quad 144°,\quad 216°,\quad 288°,\quad 360°$$

(Tương ứng $k \cdot 72°$ với $k = 1, 2, 3, 4, 5$.)

Kiểm tra: Khi quay thuận chiều $72°$, mỗi đỉnh di chuyển đến vị trí đỉnh kế tiếp. Khi quay $144° = 2 \times 72°$, mỗi đỉnh nhảy qua 2 vị trí. Khi quay $360°$, mọi đỉnh trở về vị trí ban đầu. ✓

Dạng 5: Bài toán thực tế về phép quay

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các vị trí phân bố đều trên đường tròn → tính góc giữa hai vị trí liên tiếp: $\dfrac{360°}{n}$.

Bước 2: Đếm số vị trí cần di chuyển từ vị trí ban đầu đến vị trí đích.

Bước 3: Góc quay = (số vị trí) $\times$ (góc giữa hai vị trí liên tiếp).

Bài 9.30 (SGK – tr.88). Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55. Hỏi để cabin $A$ di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều quay của kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết:

Tám cabin được bố trí tại 8 đỉnh của một bát giác đều trên đường tròn (vòng quay mặt trời).

Góc ở tâm giữa hai cabin liên tiếp:

$$\dfrac{360°}{8} = 45°$$

Quan sát hình vẽ, cabin $A$ nằm ở phía dưới bên trái. Vị trí cao nhất là đỉnh phía trên của đường tròn. Từ cabin $A$ đến vị trí cao nhất, đếm theo chiều kim đồng hồ có 3 khoảng (tức 3 cung nhỏ).

Góc quay thuận chiều cần thiết:

$$3 \times 45° = 135°$$

Kết luận: Vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm $135°$ để cabin $A$ đến vị trí cao nhất.

Dạng 6: Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Cho đa giác đều $11$ cạnh có độ dài mỗi cạnh là $5$ cm. Tính chu vi đa giác.

A. $45$ cm $\qquad$ B. $50$ cm $\qquad$ C. $60$ cm $\qquad$ D. $55$ cm

Lời giải: Chu vi = (số cạnh) $\times$ (độ dài mỗi cạnh) = $11 \times 5 = 55$ cm. → Chọn D.

Câu 2. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng là đa giác đều?

A. Hình a $\qquad$ B. Hình b $\qquad$ C. Hình c $\qquad$ D. Hình d

Lời giải: Quan sát các hình, chỉ có hình b (hình vuông) thoả mãn cả ba điều kiện: đa giác lồi, các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. → Chọn B.

Câu 3. Cho $ABCDE$ là ngũ giác đều. Hãy chọn khẳng định sai.

A. $ABCDE$ có một tâm đối xứng. $\qquad$ B. Mỗi góc trong của nó là $108°$.

C. Tổng các góc trong của nó là $450°$. $\qquad$ D. Tổng các góc trong của nó là $540°$.

Lời giải:

• Phương án B: Mỗi góc trong = $\dfrac{(5-2) \times 180°}{5} = \dfrac{540°}{5} = 108°$. → Đúng.
• Phương án D: Tổng các góc trong = $(5-2) \times 180° = 540°$. → Đúng.
• Phương án C: Tổng các góc trong $= 450°$. → Sai (phải là $540°$).
• Phương án A: Ngũ giác đều (đa giác đều có số cạnh lẻ) không có tâm đối xứng. → Cũng sai.

Tuy nhiên, khẳng định ở phương án C sai rõ ràng nhất. → Chọn C.

Câu 4. Mỗi góc của lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ có số đo là:

A. $120°$ $\qquad$ B. $150°$ $\qquad$ C. $90°$ $\qquad$ D. $135°$

Lời giải: Mỗi góc trong của lục giác đều = $\dfrac{(6-2) \times 180°}{6} = \dfrac{720°}{6} = 120°$. → Chọn A.

Câu 5. Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $2$ cm. Độ dài cạnh của tam giác $ABC$ là:

A. $2\sqrt{3}$ cm $\qquad$ B. $\sqrt{3}$ cm $\qquad$ C. $2$ cm $\qquad$ D. $3$ cm

Lời giải: Áp dụng công thức $a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm. → Chọn A.

4. Sai lầm thường gặp

5. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Công thức góc trong nhanh: Mỗi góc trong của đa giác đều $n$ cạnh bằng $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$. Nhớ nhanh: tam giác đều $60°$, hình vuông $90°$, ngũ giác $108°$, lục giác $120°$, bát giác $135°$.

Mẹo 2 – Lục giác đều = 6 tam giác đều: Khi lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$, nó chia thành 6 tam giác đều cạnh $R$. Nên cạnh lục giác đều luôn bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Mẹo 3 – Đếm phép quay: Đa giác đều $n$ cạnh luôn có đúng $n$ phép quay giữ nguyên nó (tính cả phép quay $360°$). Góc quay nhỏ nhất (khác $0°$) chính là $\dfrac{360°}{n}$.

Mẹo 4 – Nhận dạng nhanh bằng loại trừ: Khi kiểm tra đa giác đều, bắt đầu bằng điều kiện dễ thấy nhất: (1) có lồi không? (2) các cạnh bằng nhau không? (3) các góc bằng nhau không? Chỉ cần phát hiện một điều kiện sai là loại ngay.

6. Tổng kết

• Đa giác là hình gồm các đoạn thẳng nối tiếp nhau tạo thành hình khép kín. Đa giác lồi là đa giác mà mọi đỉnh nằm cùng phía so với đường thẳng chứa bất kì cạnh nào.
• Đa giác đều là đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Các đỉnh của đa giác đều luôn nằm trên một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp).
• Mỗi góc trong của đa giác đều $n$ cạnh bằng $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$.
• Phép quay thuận chiều $\alpha°$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $B$ sao cho $OA = OB$ và tia $OA$ quay theo chiều kim đồng hồ một góc $\alpha°$ thì trùng tia $OB$.
• Phép quay giữ nguyên đa giác đều $\mathcal{H}$ nếu nó biến mỗi điểm của $\mathcal{H}$ thành một điểm của $\mathcal{H}$.
• Đa giác đều $n$ cạnh có đúng $n$ phép quay (cùng chiều) giữ nguyên nó, với các góc quay $k \cdot \dfrac{360°}{n}$ ($k = 1, 2, \ldots, n$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du