1. Tần số tương đối là gì? Bảng tần số tương đối là gì?

Ở Bài 22, ta đã biết cách dùng bảng tần số để thể hiện số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu dữ liệu. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta cần biết tỉ lệ phần trăm (hay tỉ lệ xuất hiện) của mỗi giá trị so với toàn bộ mẫu. Khi đó, ta sử dụng tần số tương đối.

Tần số tương đối

Cho $x_1, x_2, \ldots, x_k$ là các giá trị khác nhau của một mẫu dữ liệu có cỡ mẫu $n$.

Tần số tương đối $f_i$ của giá trị $x_i$ là tỉ số giữa tần số $m_i$ của $x_i$ với cỡ mẫu $n$:

$$f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$$

Tần số tương đối còn được gọi là tần suất.

Bảng tần số tương đối

Bảng tần số tương đối là bảng thống kê liệt kê các giá trị khác nhau trong mẫu dữ liệu cùng với tần số tương đối tương ứng. Bảng có dạng tổng quát:

Trong đó:

• $f_1 = \dfrac{m_1}{n} \cdot 100\%$ là tần số tương đối của $x_1$
• $f_2 = \dfrac{m_2}{n} \cdot 100\%$ là tần số tương đối của $x_2$
• …
• $f_k = \dfrac{m_k}{n} \cdot 100\%$ là tần số tương đối của $x_k$

Lưu ý quan trọng:

• Tổng tất cả các tần số tương đối luôn bằng 100%: $f_1 + f_2 + \cdots + f_k = 100\%$.
• Tần số tương đối cho biết tỉ lệ xuất hiện của mỗi giá trị, giúp ta dễ so sánh mức độ phổ biến giữa các giá trị, đặc biệt khi các mẫu dữ liệu có cỡ mẫu khác nhau.
• Tần số tương đối của một giá trị là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó.

Ví dụ minh họa

Thu thập dữ liệu về chất lượng không khí tại một khu đô thị trong 40 ngày mùa đông, kết quả ghi nhận theo 4 mức: M1 (Tốt), M2 (Trung bình), M3 (Kém), M4 (Xấu).

Sau khi đếm, số ngày ứng với mỗi mức lần lượt là: $m_1 = 10$, $m_2 = 18$, $m_3 = 8$, $m_4 = 4$.

a) Lập bảng tần số tương đối.

b) Trong một ngày mùa đông, khả năng cao nhất khu đô thị này có chất lượng không khí ở mức nào?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu $n = 40$. Ta tính tần số tương đối cho từng mức:

$$f_1 = \dfrac{10}{40} \cdot 100\% = 25\%$$

$$f_2 = \dfrac{18}{40} \cdot 100\% = 45%$$

$$f_3 = \dfrac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%$$

$$f_4 = \dfrac{4}{40} \cdot 100\% = 10\%$$

Bảng tần số tương đối:

Kiểm tra: $25\% + 45\% + 20\% + 10\% = 100\%$ ✓

b) Mức M2 (Trung bình) có tần số tương đối lớn nhất (45%), nên trong một ngày mùa đông, khả năng cao nhất khu đô thị này có chất lượng không khí ở mức Trung bình.

2. Biểu đồ tần số tương đối

Biểu đồ tần số tương đối là gì?

Biểu đồ dùng để biểu diễn bảng tần số tương đối được gọi là biểu đồ tần số tương đối. Hai dạng biểu đồ tần số tương đối thường gặp là biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn.

• Biểu đồ cột: Trục ngang biểu diễn các giá trị, trục đứng biểu diễn tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm).
• Biểu đồ hình quạt tròn: Mỗi giá trị được biểu diễn bằng một hình quạt, diện tích hình quạt tỉ lệ với tần số tương đối của giá trị đó.

Cách vẽ biểu đồ hình quạt tròn

Để vẽ biểu đồ hình quạt tròn, ta thực hiện theo 3 bước:

Bước 1. Tính số đo cung (góc ở tâm) tương ứng của mỗi hình quạt theo công thức:

$$\text{Số đo cung} = 360° \times f_i$$

trong đó $f_i$ là tần số tương đối của giá trị $x_i$ (dạng thập phân hoặc phần trăm).

Bước 2. Vẽ hình tròn, sau đó chia hình tròn thành các hình quạt có số đo cung đã tính ở Bước 1.

Bước 3. Tô màu hoặc kẻ vạch phân biệt các hình quạt, ghi tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) lên mỗi hình quạt, thêm chú giải và tiêu đề.

Ví dụ minh họa

Cho bảng tần số tương đối về thể loại sách yêu thích của học sinh lớp 9B:

Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối trên.

Lời giải:

Bước 1. Tính số đo cung tương ứng:

• Truyện tranh: $360° \times 40\% = 360° \times 0{,}4 = 144°$
• Khoa học: $360° \times 35\% = 360° \times 0{,}35 = 126°$
• Văn học: $360° \times 25\% = 360° \times 0{,}25 = 90°$

Kiểm tra: $144° + 126° + 90° = 360°$ ✓

Bước 2. Vẽ hình tròn, dùng thước đo góc chia thành 3 hình quạt với các góc ở tâm lần lượt là $144°$, $126°$ và $90°$.

Bước 3. Tô màu phân biệt 3 hình quạt, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề “Tỉ lệ học sinh yêu thích các thể loại sách”.

Khi nào không dùng được biểu đồ hình quạt tròn?

Biểu đồ hình quạt tròn chỉ dùng được khi tổng các tần số tương đối bằng 100%. Nếu trong phiếu khảo sát, mỗi người được chọn nhiều hơn một đáp án, thì tổng các tỉ lệ có thể vượt quá 100%. Khi đó, ta không thể dùng biểu đồ hình quạt tròn mà phải dùng biểu đồ cột.

Ví dụ: Kết quả bình chọn địa điểm dã ngoại (mỗi bạn được chọn nhiều hơn 1 địa điểm): Ba Vì 70%, Cát Bà 30%, Cúc Phương 50%. Tổng tỉ lệ = $70\% + 30\% + 50\% = 150\% \neq 100\%$, nên không thể biểu diễn bằng biểu đồ hình quạt tròn. Trường hợp này phải dùng biểu đồ cột.

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Lập bảng tần số tương đối từ dữ liệu cho trước

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định cỡ mẫu $n$ (tổng số phần tử trong mẫu dữ liệu).
• Bước 2: Xác định tần số $m_i$ (số lần xuất hiện) của mỗi giá trị $x_i$.
• Bước 3: Tính tần số tương đối: $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$.
• Bước 4: Lập bảng và kiểm tra: tổng các tần số tương đối phải bằng $100\%$.

Ví dụ 1: (Bài 7.6 SGK)

Lớp 9A có 40 bạn, trong đó 20 bạn mặc áo cỡ M, 13 bạn mặc áo cỡ S, 7 bạn mặc áo cỡ L. Hãy lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu này.

Lời giải chi tiết:

Cỡ mẫu: $n = 40$.

Tần số của mỗi cỡ áo: $m_M = 20$, $m_S = 13$, $m_L = 7$.

Tính tần số tương đối:

$$f_M = \dfrac{20}{40} \cdot 100\% = 50\%$$

$$f_S = \dfrac{13}{40} \cdot 100\% = 32{,}5\%$$

$$f_L = \dfrac{7}{40} \cdot 100\% = 17{,}5\%$$

Bảng tần số tương đối:

Kiểm tra: $50\% + 32{,}5\% + 17{,}5\% = 100\%$ ✓

Ví dụ 2: (Bài 7.7 SGK)

Biểu đồ tranh sau biểu diễn số lượng học sinh lớp 9B bình chọn phần mềm học trực tuyến được yêu thích nhất:

(Mỗi biểu tượng biểu diễn cho 2 học sinh)

Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu trên.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đếm số biểu tượng và tính số học sinh cho mỗi phần mềm:

• Skype: 3 biểu tượng $\times$ 2 = 6 học sinh
• Zoom: 11 biểu tượng $\times$ 2 = 22 học sinh
• Google Meet: 6 biểu tượng $\times$ 2 = 12 học sinh

Cỡ mẫu: $n = 6 + 22 + 12 = 40$.

Tính tần số tương đối:

$$f_{\text{Skype}} = \dfrac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%$$

$$f_{\text{Zoom}} = \dfrac{22}{40} \cdot 100\% = 55\%$$

$$f_{\text{Google Meet}} = \dfrac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%$$

Bảng tần số tương đối:

Kiểm tra: $15\% + 55\% + 30\% = 100\%$ ✓

Dạng 2: Lập bảng tần số tương đối và ước lượng xác suất

Phương pháp giải:

• Lập bảng tần số tương đối như Dạng 1.
• Tần số tương đối của một giá trị chính là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó. Ví dụ: nếu tần số tương đối của hình quạt màu xanh là 40%, thì ước lượng xác suất mũi tên chỉ vào màu xanh là 40%.

Ví dụ: (Bài 7.8 SGK)

Quay 150 lần một tấm bìa hình tròn được chia thành bốn hình quạt với các màu xanh, đỏ, tím, vàng. Kết quả thu được:

a) Lập bảng tần số tương đối.

b) Ước lượng các xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh, màu vàng.

c) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối ở câu a.

Lời giải chi tiết:

a) Cỡ mẫu: $n = 60 + 30 + 40 + 20 = 150$.

Tính tần số tương đối:

$$f_{\text{Xanh}} = \dfrac{60}{150} \cdot 100\% = 40\%$$

$$f_{\text{Đỏ}} = \dfrac{30}{150} \cdot 100\% = 20\%$$

$$f_{\text{Tím}} = \dfrac{40}{150} \cdot 100\% \approx 26{,}7\%$$

$$f_{\text{Vàng}} = \dfrac{20}{150} \cdot 100\% \approx 13{,}3\%$$

Bảng tần số tương đối:

Kiểm tra: $40\% + 20\% + 26{,}7\% + 13{,}3\% = 100\%$ ✓

b) Tần số tương đối chính là ước lượng cho xác suất, do đó:

• Ước lượng xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh là 40%.
• Ước lượng xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu vàng là 13,3%.

c) Tính số đo cung của mỗi hình quạt:

• Xanh: $360° \times 40\% = 144°$
• Đỏ: $360° \times 20\% = 72°$
• Tím: $360° \times 26{,}7\% \approx 96°$
• Vàng: $360° \times 13{,}3\% \approx 48°$

Kiểm tra: $144° + 72° + 96° + 48° = 360°$ ✓

Vẽ hình tròn, chia thành 4 hình quạt với các góc ở tâm tương ứng, tô màu phân biệt, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề.

Dạng 3: Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ từ dữ liệu thực tế

Phương pháp giải:

• Xác định tần số của mỗi giá trị từ dữ liệu thực tế (có thể cho dưới dạng số liệu cụ thể, không nhất thiết là số nguyên).
• Tính tần số tương đối, làm tròn kết quả nếu cần (thường đến 1 chữ số thập phân).
• Vẽ biểu đồ hình quạt tròn theo 3 bước đã học.
• Sử dụng bảng tần số tương đối để tính các tỉ lệ theo yêu cầu.

Ví dụ: (Bài 7.9 SGK)

Theo Tổng cục Thống kê, vào năm 2021 trong số 50,5 triệu lao động Việt Nam từ 15 tuổi trở lên có: 13,9 triệu lao động trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản; 16,9 triệu trong lĩnh vực công nghiệp và xây dựng; 19,7 triệu trong lĩnh vực dịch vụ.

a) Lập bảng tần số tương đối.

b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn.

c) Tính tỉ lệ lao động không làm việc trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản.

Lời giải chi tiết:

a) Cỡ mẫu: $n = 50{,}5$ (triệu người).

Tính tần số tương đối:

$$f_{\text{Nông nghiệp}} = \dfrac{13{,}9}{50{,}5} \cdot 100\% \approx 27{,}5\%$$

$$f_{\text{Công nghiệp}} = \dfrac{16{,}9}{50{,}5} \cdot 100\% \approx 33{,}5\%$$

$$f_{\text{Dịch vụ}} = \dfrac{19{,}7}{50{,}5} \cdot 100\% \approx 39\%$$

Bảng tần số tương đối:

Kiểm tra: $27{,}5\% + 33{,}5\% + 39\% = 100\%$ ✓

b) Tính số đo cung:

• Nông nghiệp: $360° \times 27{,}5\% = 99°$
• Công nghiệp: $360° \times 33{,}5\% \approx 120{,}6°$
• Dịch vụ: $360° \times 39\% \approx 140{,}4°$

Vẽ hình tròn, chia thành 3 hình quạt với các góc ở tâm tương ứng, tô màu, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề.

c) Tỉ lệ lao động không làm việc trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản:

$$100\% – 27{,}5\% = 72{,}5\%$$

Hoặc tính trực tiếp: $33{,}5\% + 39\% = 72{,}5\%$.

Dạng 4: Nhận biết bảng tần số tương đối và lựa chọn biểu đồ phù hợp

Phương pháp giải:

• Kiểm tra tổng các tỉ lệ phần trăm trong bảng:
  • Nếu tổng bằng 100% → là bảng tần số tương đối → có thể dùng biểu đồ hình quạt tròn hoặc biểu đồ cột.
  • Nếu tổng khác 100% → không phải bảng tần số tương đối → không dùng được biểu đồ hình quạt tròn, phải dùng biểu đồ cột.

Ví dụ: (Bài 7.10 SGK)

Bảng thống kê sau cho biết tỉ lệ tăng trưởng GDP năm 2022 theo khu vực kinh tế:

a) Bảng thống kê trên có là bảng tần số tương đối hay không?

b) Lựa chọn loại biểu đồ thích hợp và biểu diễn bảng thống kê trên.

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính tổng các tỉ lệ:

$$3{,}36\% + 7{,}78\% + 9{,}99\% = 21{,}13\%$$

Vì $21{,}13\% \neq 100\%$, nên bảng thống kê trên không phải là bảng tần số tương đối.

Giải thích: Các giá trị 3,36%, 7,78%, 9,99% là mức tăng trưởng GDP của mỗi khu vực, chứ không phải tỉ lệ phần trăm của mỗi khu vực so với tổng thể. Do đó đây không phải tần số tương đối.

b) Vì tổng các tỉ lệ khác 100%, ta không thể dùng biểu đồ hình quạt tròn. Loại biểu đồ thích hợp là biểu đồ cột.

Vẽ biểu đồ cột với:

• Trục ngang: 3 khu vực kinh tế.
• Trục đứng: mức tăng trưởng (%).
• Ba cột có chiều cao lần lượt là 3,36; 7,78; 9,99.
• Ghi tiêu đề: “Tỉ lệ tăng trưởng GDP năm 2022 theo khu vực kinh tế”.

Dạng 5: Câu hỏi trắc nghiệm về tần số tương đối

Phương pháp giải:

• Nắm chắc định nghĩa: tần số tương đối = $\dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$.
• Đếm chính xác tần số từ bảng dữ liệu, tính cỡ mẫu.
• Kiểm tra kết quả bằng cách cộng tổng tần số tương đối = 100%.

Ví dụ 1: (Câu trắc nghiệm – Giáo án)

Điểm bài kiểm tra giữa học kì của một số học sinh lớp 9A:

Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt điểm 10.

Lời giải chi tiết:

Cỡ mẫu: $n = 3 + 2 + 8 + 8 + 6 + 3 = 30$.

Tần số tương đối của điểm 10:

$$f_{10} = \dfrac{3}{30} \cdot 100\% = 10\%$$

Vậy tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt điểm 10 là 10%.

Ví dụ 2:

Cô giáo ghi lại số lỗi chính tả của một số học sinh. Biết tần số tương đối của giá trị 4 lỗi và 5 lỗi lần lượt là bao nhiêu?

Đáp án: C. 20%; 15%

Cách làm: Đếm số học sinh mắc 4 lỗi và 5 lỗi từ bảng dữ liệu, chia cho cỡ mẫu rồi nhân 100%.

4. Sai lầm thường gặp

5. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Tính nhanh tần số tương đối bằng phân số tối giản: Trước khi nhân 100%, hãy rút gọn phân số $\dfrac{m_i}{n}$ cho đơn giản. Ví dụ: $\dfrac{20}{40} = \dfrac{1}{2} = 50\%$; $\dfrac{13}{40}$ không rút gọn được thì tính trực tiếp $13 \div 40 = 0{,}325 = 32{,}5\%$.

Mẹo 2 – Tính giá trị cuối bằng phép trừ: Khi đã tính được tần số tương đối của $(k-1)$ giá trị, giá trị cuối cùng tính bằng cách lấy $100\%$ trừ đi tổng các giá trị đã có. Cách này vừa nhanh vừa đảm bảo tổng luôn bằng 100%.

Mẹo 3 – Nhớ nhanh góc hình quạt: Một số tỉ lệ thường gặp tương ứng với các góc dễ nhớ: $50\% = 180°$ (nửa hình tròn), $25\% = 90°$ (một phần tư), $10\% = 36°$, $20\% = 72°$, $\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\% = 120°$.

Mẹo 4 – Phân biệt nhanh bảng tần số tương đối: Nếu đề cho một bảng có tỉ lệ phần trăm, hãy cộng tổng ngay. Tổng bằng 100% → là bảng tần số tương đối. Tổng khác 100% → không phải.

6. Tổng kết

• Tần số tương đối (tần suất) của giá trị $x_i$ là $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$, cho biết tỉ lệ phần trăm xuất hiện của giá trị đó trong mẫu dữ liệu.
• Bảng tần số tương đối liệt kê các giá trị khác nhau cùng tần số tương đối tương ứng. Tổng các tần số tương đối luôn bằng $100\%$.
• Tần số tương đối là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó.
• Biểu đồ tần số tương đối có 2 dạng phổ biến: biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn.
• Để vẽ biểu đồ hình quạt tròn: tính số đo cung $= 360° \times f_i$, vẽ hình tròn, chia hình quạt, tô màu và ghi chú giải.
• Biểu đồ hình quạt tròn chỉ dùng được khi tổng tỉ lệ bằng 100%. Nếu tổng khác 100%, phải dùng biểu đồ cột.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du