Bài toán mở đầu

Ta có thể xác định “góc dốc” $\alpha$ của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là $a$ và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là $h$ không? (Trong các toà chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn $6°$.)

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần hiểu về tỉ số lượng giác của góc nhọn — một công cụ liên kết giữa góc và cạnh trong tam giác vuông.

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Xét góc nhọn $B$:

• Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông: $BC$.
• Cạnh đối của góc $B$ là cạnh đối diện góc $B$: $AC$.
• Cạnh kề của góc $B$ là cạnh còn lại (nằm cạnh góc $B$): $AB$.

Tương tự, xét góc $C$: cạnh đối là $AB$, cạnh kề là $AC$.

Khái niệm sin, côsin, tang, côtang

Cho góc nhọn $\alpha$. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có góc nhọn $B$ bằng $\alpha$:

$$\sin\alpha = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}; \qquad \cos\alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$$

$$\tan\alpha = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}; \qquad \cot\alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$$

Chú ý:

• $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ luôn dương và bé hơn 1 (vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất).
• $\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$.
• $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 8$ cm, $AC = 15$ cm. Tính các tỉ số lượng giác $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$ với $\alpha = \hat{B}$.

Giải:

Theo định lí Pythagore: $BC^2 = AC^2 + AB^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$, nên $BC = 17$ (cm).

$$\sin\alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{17}; \quad \cos\alpha = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{8}{17}; \quad \tan\alpha = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{8}$$

2. Giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc 30°, 45°, 60°

Từ tam giác vuông cân (cho góc $45°$) và tam giác đều (cho góc $30°$, $60°$), ta lập được bảng sau:

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B} = 60°$ và $BC = a$. Tính $AB$, $AC$ theo $a$.

Giải:

$\cos B = \dfrac{AB}{BC}$, suy ra $AB = BC \cdot \cos 60° = a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{2}$.

$\sin B = \dfrac{AC}{BC}$, suy ra $AC = BC \cdot \sin 60° = a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Cho $\alpha + \beta = 90°$:

$$\sin\alpha = \cos\beta, \quad \cos\alpha = \sin\beta, \quad \tan\alpha = \cot\beta, \quad \cot\alpha = \tan\beta$$

Ví dụ 3. Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45°$:

$\sin 70°$, $\cos 80°$, $\sin 55°20’$, $\tan 85°$, $\cot 78°$.

Giải:

$\sin 70° = \cos(90° – 70°) = \cos 20°$

$\cos 80° = \sin(90° – 80°) = \sin 10°$

$\sin 55°20′ = \cos(90° – 55°20′) = \cos 34°40’$

$\tan 85° = \cot(90° – 85°) = \cot 5°$

$\cot 78° = \tan(90° – 78°) = \tan 12°$

4. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác

Tính giá trị lượng giác khi biết góc

Ví dụ 4. Dùng MTCT, tính $\sin 34°$, $\cos 41°20’$, $\tan 48°15’$ và $\cot 42°35’$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Giải:

Lưu ý: $\cot 42°35′ = \dfrac{1}{\tan 42°35′}$.

Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác

Ví dụ 5. Dùng MTCT, tìm các góc $\alpha$ (làm tròn đến phút), biết:

$\sin\alpha_1 = 0{,}4226$; $\cos\alpha_2 = 0{,}5150$; $\tan\alpha_3 = 1{,}1918$; $\cot\alpha_4 = 1{,}3270$.

Giải:

Bấm SHIFT + sin/cos/tan rồi nhập giá trị:

$\alpha_1 \approx 25°$; $\alpha_2 \approx 59°$; $\alpha_3 \approx 50°$; $\alpha_4 \approx 37°$.

Chú ý: Để tìm góc khi biết $\cot\alpha$, ta tìm góc $(90° – \alpha)$ qua $\tan(90° – \alpha) = \cot\alpha$, rồi suy ra $\alpha$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác khi biết các cạnh

Phương pháp giải:

• Xác định tam giác vuông, chỉ ra cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền đối với góc cần tính.
• Nếu thiếu một cạnh, dùng định lí Pythagore để tìm.
• Áp dụng: $\sin = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$, $\cos = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$, $\tan = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$, $\cot = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$.

Bài tập 1 (Luyện tập 1 – SGK). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

Lời giải:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ (cm).

$$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{13}; \quad \cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13}; \quad \tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5}; \quad \cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{12}$$

Bài tập 2 (Bài 4.1 – SGK). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn $B$ và $C$:

a) $AB = 8$ cm, $BC = 17$ cm $\qquad$ b) $AC = 0{,}9$ cm, $AB = 1{,}2$ cm

Lời giải:

a) $AC = \sqrt{BC^2 – AB^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15$ (cm).

Góc $B$: $\sin B = \dfrac{15}{17}$, $\cos B = \dfrac{8}{17}$, $\tan B = \dfrac{15}{8}$, $\cot B = \dfrac{8}{15}$.

Góc $C$: $\sin C = \dfrac{8}{17}$, $\cos C = \dfrac{15}{17}$, $\tan C = \dfrac{8}{15}$, $\cot C = \dfrac{15}{8}$.

(Nhận xét: $\sin B = \cos C$, $\tan B = \cot C$ — đúng tính chất hai góc phụ nhau.)

b) $BC = \sqrt{0{,}81 + 1{,}44} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$ (cm).

Góc $B$: $\sin B = \dfrac{0{,}9}{1{,}5} = \dfrac{3}{5}$, $\cos B = \dfrac{1{,}2}{1{,}5} = \dfrac{4}{5}$, $\tan B = \dfrac{0{,}9}{1{,}2} = \dfrac{3}{4}$, $\cot B = \dfrac{1{,}2}{0{,}9} = \dfrac{4}{3}$.

Góc $C$: $\sin C = \dfrac{4}{5}$, $\cos C = \dfrac{3}{5}$, $\tan C = \dfrac{4}{3}$, $\cot C = \dfrac{3}{4}$.

Dạng 2: Tính cạnh khi biết góc và một cạnh

Phương pháp giải:

• Xác định quan hệ giữa cạnh cần tìm, cạnh đã biết và góc đã biết.
• Chọn tỉ số lượng giác phù hợp, sử dụng bảng giá trị (với $30°$, $45°$, $60°$) hoặc MTCT.

Bài tập 3 (Luyện tập 2 – SGK). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{C} = 45°$ và $AB = c$. Tính $BC$ và $AC$ theo $c$.

Lời giải:

$\sin C = \dfrac{AB}{BC}$, suy ra $BC = \dfrac{c}{\sin 45°} = \dfrac{c}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = c\sqrt{2}$.

$\tan C = \dfrac{AB}{AC}$, suy ra $AC = \dfrac{c}{\tan 45°} = \dfrac{c}{1} = c$.

Bài tập 4 (Bài 4.2 – SGK). Cho tam giác vuông có một góc nhọn $60°$ và cạnh kề với góc $60°$ bằng $3$ cm. Tính cạnh đối.

Lời giải:

$$\tan 60° = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} \Rightarrow \text{cạnh đối} = 3 \cdot \tan 60° = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20 \text{ (cm)}$$

Bài tập 5 (Bài 4.3 – SGK). Cho tam giác vuông có một góc nhọn $30°$ và cạnh đối với góc này bằng $5$ cm. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

$$\sin 30° = \dfrac{5}{\text{cạnh huyền}} \Rightarrow \text{cạnh huyền} = \dfrac{5}{\sin 30°} = \dfrac{5}{\dfrac{1}{2}} = 10 \text{ (cm)}$$

Bài tập 6 (Bài 4.4 – SGK). Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $3$ và $\sqrt{3}$. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn.

Lời giải:

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường chéo và cạnh ngắn ($\sqrt{3}$).

$$\tan\alpha = \dfrac{\text{cạnh dài}}{\text{cạnh ngắn}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Vì $\tan 60° = \sqrt{3}$ nên $\alpha = 60°$.

Dạng 3: Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Phương pháp giải:

• Nếu $\alpha + \beta = 90°$: $\sin\alpha = \cos\beta$, $\tan\alpha = \cot\beta$.
• Để viết TSLG thành góc nhỏ hơn $45°$: dùng $\sin\alpha = \cos(90° – \alpha)$, $\tan\alpha = \cot(90° – \alpha)$.

Bài tập 7 (Luyện tập 3 – SGK). Giải thích tại sao $\sin 35° = \cos 55°$ và $\tan 35° = \cot 55°$.

Lời giải:

$35° + 55° = 90°$ (hai góc phụ nhau), nên:

$\sin 35° = \cos(90° – 35°) = \cos 55°$.

$\tan 35° = \cot(90° – 35°) = \cot 55°$.

Bài tập 8 (Bài 4.5 – SGK).

a) Viết thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45°$: $\sin 55°$, $\cos 62°$, $\tan 57°$, $\cot 64°$.

b) Tính $\dfrac{\tan 25°}{\cot 65°}$ và $\tan 34° – \cot 56°$.

Lời giải:

a) $\sin 55° = \cos 35°$; $\cos 62° = \sin 28°$; $\tan 57° = \cot 33°$; $\cot 64° = \tan 26°$.

b) Vì $25° + 65° = 90°$: $\cot 65° = \tan 25°$, nên $\dfrac{\tan 25°}{\cot 65°} = \dfrac{\tan 25°}{\tan 25°} = 1$.

Vì $34° + 56° = 90°$: $\cot 56° = \tan 34°$, nên $\tan 34° – \cot 56° = \tan 34° – \tan 34° = 0$.

Dạng 4: Sử dụng MTCT tính tỉ số lượng giác

Phương pháp giải:

• Bấm phím sin/cos/tan rồi nhập góc (dạng độ-phút-giây).
• $\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$, hoặc tìm góc phụ rồi bấm tan.
• Làm tròn theo yêu cầu.

Bài tập 9 (Luyện tập 4 – SGK). Dùng MTCT tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) $\sin 40°54’$ $\qquad$ b) $\cos 52°15’$ $\qquad$ c) $\tan 69°36’$ $\qquad$ d) $\cot 25°18’$

Lời giải:

a) $\sin 40°54′ \approx 0{,}655$.

b) $\cos 52°15′ \approx 0{,}612$.

c) $\tan 69°36′ \approx 2{,}689$.

d) $\cot 25°18′ = \dfrac{1}{\tan 25°18′} \approx 2{,}116$.

Bài tập 10 (Bài 4.6 – SGK). Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) $\sin 40°12’$ $\qquad$ b) $\cos 52°54’$ $\qquad$ c) $\tan 63°36’$ $\qquad$ d) $\cot 35°20’$

Lời giải:

a) $\sin 40°12′ \approx 0{,}645$.

b) $\cos 52°54′ \approx 0{,}603$.

c) $\tan 63°36′ \approx 2{,}014$.

d) $\cot 35°20′ = \dfrac{1}{\tan 35°20′} \approx 1{,}411$.

Dạng 5: Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác

Phương pháp giải:

• Dùng phím SHIFT + sin/cos/tan trên MTCT.
• Với $\cot\alpha = k$: tính $\tan(90° – \alpha) = k$, tìm $(90° – \alpha)$, suy ra $\alpha$.
• Làm tròn đến phút.

Bài tập 11 (Luyện tập 5 – SGK). Dùng MTCT, tìm góc $\alpha$ (làm tròn đến phút):

a) $\sin\alpha = 0{,}3782$ $\qquad$ b) $\cos\alpha = 0{,}6251$ $\qquad$ c) $\tan\alpha = 2{,}154$ $\qquad$ d) $\cot\alpha = 3{,}253$

Lời giải:

a) $\alpha \approx 22°13’$.

b) $\alpha \approx 51°19’$.

c) $\alpha \approx 65°6’$.

d) $\cot\alpha = 3{,}253$. Tìm $\tan(90° – \alpha) = 3{,}253$, suy ra $90° – \alpha \approx 72°55’$, vậy $\alpha \approx 17°5’$.

Bài tập 12 (Bài 4.7 – SGK). Dùng MTCT, tìm góc nhọn $x$ (làm tròn đến phút):

a) $\sin x = 0{,}2368$ $\qquad$ b) $\cos x = 0{,}6224$ $\qquad$ c) $\tan x = 1{,}236$ $\qquad$ d) $\cot x = 2{,}154$

Lời giải:

a) $x \approx 13°42’$.

b) $x \approx 51°31’$.

c) $x \approx 51°2’$.

d) $\cot x = 2{,}154 \Rightarrow \tan(90° – x) = 2{,}154 \Rightarrow 90° – x \approx 65°6′ \Rightarrow x \approx 24°54’$.

Dạng 6: Vận dụng thực tế

Phương pháp giải:

• Mô hình hóa bài toán thành tam giác vuông.
• Xác định góc, cạnh đã biết rồi chọn tỉ số lượng giác phù hợp.
• Dùng MTCT để tìm kết quả.

Bài tập 13 (Vận dụng – SGK). Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh dài $4$ m, độ cao đỉnh dốc bằng $0{,}4$ m.

a) Tính góc dốc.

b) Góc đó có đúng tiêu chuẩn dốc cho người đi xe lăn không?

Lời giải:

a) $\sin\alpha = \dfrac{h}{a} = \dfrac{0{,}4}{4} = 0{,}1$. Dùng MTCT: $\alpha \approx 5°44’$.

b) Vì $5°44′ < 6°$ nên đoạn dốc đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn.

Bài tập 14 (Tranh luận – SGK). Để tính khoảng cách $AB$ giữa hai điểm ở hai bên bờ sông, người ta lấy điểm $C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Đo được $\widehat{ACB} = \alpha$ và $BC = a$. Tính $AB$ khi $\alpha = 55°$, $a = 70$ m.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$:

$$\tan\alpha = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow AB = BC \cdot \tan\alpha = 70 \cdot \tan 55° \approx 70 \times 1{,}428 \approx 100{,}0 \text{ (m)}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Ghi nhớ bằng chữ cái đầu: “Sin = Đối/Huyền”, “Cos = Kề/Huyền”, “Tan = Đối/Kề”. Viết tắt: SĐH, CKH, TĐK.

Mẹo 2 — Bảng 30°-45°-60°: Sin tăng dần ($\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$), cos giảm dần (ngược lại sin). Dễ nhớ: $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cho sin.

Mẹo 3 — Hai góc phụ nhau: Khi gặp biểu thức có tổng hai góc bằng $90°$, hãy đổi hàm: sin $\leftrightarrow$ cos, tan $\leftrightarrow$ cot. Biểu thức thường triệt tiêu hoặc bằng nhau.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh: $\sin\alpha < 1$ và $\cos\alpha < 1$ luôn đúng. Nếu kết quả $> 1$ thì sai. $\tan\alpha$ có thể $> 1$ khi $\alpha > 45°$.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du