Bài toán mở đầu

Bạn Thanh có 100 nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá 18 nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá 7 nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Gọi $x$ là số vở cần mua. Tổng số tiền phải trả là $7x + 18$ (nghìn đồng), và phải không vượt quá 100 nghìn đồng. Ta có:

$$7x + 18 \leq 100$$

Đây là một bất phương trình bậc nhất một ẩn — dạng toán mà chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài học hôm nay.

Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa

Bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0$; $ax + b \leq 0$; $ax + b \geq 0$), trong đó $a$, $b$ là hai số đã cho, $a \neq 0$, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

Nói cách khác, bất phương trình bậc nhất một ẩn có vế trái là đa thức bậc nhất (có dạng $ax + b$ với $a \neq 0$), vế phải bằng 0.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$?

a) $5x + 9 \leq 0$ $\qquad$ b) $-7x + 2 > 0$ $\qquad$ c) $x^2 – 9 > 0$ $\qquad$ d) $-4x < 0$

Giải:

Bất phương trình ở câu a), b), d) là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ (vì vế trái đều có dạng $ax + b$ với $a \neq 0$; ở câu d) thì $b = 0$ vẫn thoả mãn).

Bất phương trình ở câu c) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ vì $x^2 – 9$ là đa thức bậc hai.

Nghiệm của bất phương trình

Số $x_0$ là một nghiệm của bất phương trình $A(x) < B(x)$ nếu khi thay $x = x_0$ vào, ta được một khẳng định đúng.

Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ, xét bất phương trình $4x + 5 < 25$:

• Thay $x = 2$: $4 \cdot 2 + 5 = 13 < 25$ ✓ → $x = 2$ là nghiệm.
• Thay $x = 6$: $4 \cdot 6 + 5 = 29 < 25$ ✗ → $x = 6$ không phải nghiệm.

Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Quy tắc giải

Bất phương trình $ax + b < 0$ ($a \neq 0$) được giải như sau:

$$ax + b < 0$$

$$ax < -b$$

• Nếu $a > 0$ thì $x < -\dfrac{b}{a}$.
• Nếu $a < 0$ thì $x > -\dfrac{b}{a}$ (đổi chiều!).

Quy tắc này dựa trên hai tính chất BĐT đã học:

• Cộng cùng một số vào hai vế → chiều BĐT không đổi.
• Nhân/chia hai vế với số dương → chiều không đổi; với số âm → đổi chiều.

Các bất phương trình $ax + b > 0$, $ax + b \leq 0$, $ax + b \geq 0$ được giải tương tự.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $-3x – 9 > 0$.

Giải:

$$-3x – 9 > 0$$

$$-3x > 9 \qquad \text{(cộng 9 vào hai vế)}$$

$$x < \dfrac{9}{-3} \qquad \text{(chia hai vế cho $-3 < 0$, đổi chiều)}$$

$$x < -3$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -3$.

Ví dụ 3. Giải bài toán mở đầu: Bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Giải:

$$7x + 18 \leq 100$$

$$7x \leq 82 \qquad \text{(cộng $-18$ vào hai vế)}$$

$$x \leq \dfrac{82}{7} \approx 11{,}71$$

Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất 11 quyển vở.

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình:

a) $3x + 7 < 5x – 3$ $\qquad$ b) $-2x + 4 \geq -5x + 1$

Giải:

a) $3x + 7 < 5x – 3$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hằng số sang vế phải:

$$3x – 5x < -3 – 7$$

$$-2x < -10$$

$$x > 5 \qquad \text{(chia cho $-2 < 0$, đổi chiều)}$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 5$.

b) $-2x + 4 \geq -5x + 1$

$$-2x + 5x \geq 1 – 4$$

$$3x \geq -3$$

$$x \geq -1$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq -1$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết bất phương trình bậc nhất một ẩn và kiểm tra nghiệm

Phương pháp giải:

• Nhận biết: Kiểm tra xem bất phương trình có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $>$, $\leq$, $\geq$) với $a \neq 0$ hay không. Nếu vế trái chứa $x^2$, $x^3$, $\dfrac{1}{x}$… thì không phải bậc nhất.
• Kiểm tra nghiệm: Thay giá trị $x_0$ vào bất phương trình, nếu được khẳng định đúng thì $x_0$ là nghiệm.

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$?

a) $-3x + 7 \leq 0$ $\qquad$ b) $4x – \dfrac{3}{2} > 0$ $\qquad$ c) $x^3 > 0$

Lời giải chi tiết:

a) Có dạng $ax + b \leq 0$ với $a = -3 \neq 0$, $b = 7$ → là BPT bậc nhất.

b) Có dạng $ax + b > 0$ với $a = 4 \neq 0$, $b = -\dfrac{3}{2}$ → là BPT bậc nhất.

c) Vế trái $x^3$ là đa thức bậc ba → không phải BPT bậc nhất.

Ví dụ 2. Trong các số $-2$; $0$; $5$, những số nào là nghiệm của bất phương trình $2x – 10 < 0$?

Lời giải chi tiết:

• $x = -2$: $2 \cdot (-2) – 10 = -14 < 0$ ✓ → $x = -2$ là nghiệm.
• $x = 0$: $2 \cdot 0 – 10 = -10 < 0$ ✓ → $x = 0$ là nghiệm.
• $x = 5$: $2 \cdot 5 – 10 = 0 < 0$ ✗ (vì $0$ không nhỏ hơn $0$) → $x = 5$ không phải nghiệm.

Vậy các số $-2$ và $0$ là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 3. (Trắc nghiệm) Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. $3x – 4 < 0$ $\qquad$ B. $0x – 9 \geq 0$ $\qquad$ C. $3x^2 + x > 0$ $\qquad$ D. $3 – 5x = 0$

Lời giải: Câu A: $a = 3 \neq 0$ → BPT bậc nhất ✓. Câu B: $a = 0$ → không phải. Câu C: bậc hai → không phải. Câu D: đây là phương trình, không phải bất phương trình. Đáp án: A.

Ví dụ 4. (Trắc nghiệm) Giá trị $x = 3$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. $5 – x > 6x – 12$ $\qquad$ B. $2x + 3 < 9$ $\qquad$ C. $-4x \geq x + 5$ $\qquad$ D. $7 – x < 2x$

Lời giải:

• A: $5 – 3 = 2$ và $6(3) – 12 = 6$ → $2 > 6$? Sai.
• B: $2(3) + 3 = 9$ → $9 < 9$? Sai.
• C: $-4(3) = -12$ và $3 + 5 = 8$ → $-12 \geq 8$? Sai.
• D: $7 – 3 = 4$ và $2(3) = 6$ → $4 < 6$? Đúng ✓.

Đáp án: D.

Dạng 2: Giải bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (cơ bản)

Phương pháp giải:

• Chuyển $b$ sang vế phải: $ax < -b$.
• Chia hai vế cho $a$:
  • $a > 0$ → giữ chiều: $x < -\dfrac{b}{a}$.
  • $a < 0$ → đổi chiều: $x > -\dfrac{b}{a}$.

Ví dụ 5. Giải các bất phương trình sau:

a) $x – 5 \geq 0$ $\qquad$ b) $x + 5 \leq 0$ $\qquad$ c) $-2x – 6 > 0$ $\qquad$ d) $4x – 12 < 0$

Lời giải chi tiết:

a) $x – 5 \geq 0$ → $x \geq 5$.

b) $x + 5 \leq 0$ → $x \leq -5$.

c) $-2x – 6 > 0$ → $-2x > 6$ → $x < -3$ (chia cho $-2$, đổi chiều).

d) $4x – 12 < 0$ → $4x < 12$ → $x < 3$.

Ví dụ 6. Giải các bất phương trình:

a) $6x + 5 < 0$ $\qquad$ b) $-2x – 7 > 0$

Lời giải chi tiết:

a) $6x + 5 < 0$

$$6x < -5$$

$$x < -\dfrac{5}{6}$$

Vậy nghiệm là $x < -\dfrac{5}{6}$.

b) $-2x – 7 > 0$

$$-2x > 7$$

$$x < -\dfrac{7}{2} \qquad \text{(chia cho $-2 < 0$, đổi chiều)}$$

Vậy nghiệm là $x < -\dfrac{7}{2}$.

Ví dụ 7. (Trắc nghiệm) Nghiệm của bất phương trình $3x + 5 \geq 0$ là:

A. $x > \dfrac{3}{5}$ $\qquad$ B. $x \leq -\dfrac{5}{3}$ $\qquad$ C. $x \geq -\dfrac{5}{3}$ $\qquad$ D. $x > -\dfrac{5}{3}$

Lời giải: $3x \geq -5$ → $x \geq -\dfrac{5}{3}$. Đáp án: C.

Dạng 3: Giải bất phương trình đưa được về dạng $ax + b < 0$ (có hai vế)

Phương pháp giải:

• Bước 1: Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang một vế, hằng số sang vế còn lại (nhớ đổi dấu khi chuyển vế).
• Bước 2: Thu gọn hai vế.
• Bước 3: Chia cho hệ số của $x$ (chú ý đổi chiều nếu hệ số âm).

Ví dụ 8. Giải các bất phương trình sau:

a) $3x + 2 > 2x + 3$ $\qquad$ b) $5x + 4 < -3x – 2$

Lời giải chi tiết:

a) $3x + 2 > 2x + 3$

$$3x – 2x > 3 – 2$$

$$x > 1$$

Vậy nghiệm là $x > 1$.

b) $5x + 4 < -3x – 2$

$$5x + 3x < -2 – 4$$

$$8x < -6$$

$$x < -\dfrac{3}{4}$$

Vậy nghiệm là $x < -\dfrac{3}{4}$.

Ví dụ 9. Giải các bất phương trình sau:

a) $5x + 7 > 8x – 5$ $\qquad$ b) $-4x + 3 \leq 3x – 1$

Lời giải chi tiết:

a) $5x + 7 > 8x – 5$

$$5x – 8x > -5 – 7$$

$$-3x > -12$$

$$x < 4 \qquad \text{(chia cho $-3 < 0$, đổi chiều)}$$

Vậy nghiệm là $x < 4$.

b) $-4x + 3 \leq 3x – 1$

$$-4x – 3x \leq -1 – 3$$

$$-7x \leq -4$$

$$x \geq \dfrac{4}{7} \qquad \text{(chia cho $-7 < 0$, đổi chiều)}$$

Vậy nghiệm là $x \geq \dfrac{4}{7}$.

Ví dụ 10. (Trắc nghiệm) Nghiệm của bất phương trình $3x \geq 2x – 2$ là:

A. $x \leq -2$ $\qquad$ B. $x \geq -2$ $\qquad$ C. $x > \dfrac{2}{3}$ $\qquad$ D. $x \geq \dfrac{2}{3}$

Lời giải: $3x – 2x \geq -2$ → $x \geq -2$. Đáp án: B.

Ví dụ 11. (Trắc nghiệm) Hôm nay Hoa ra khỏi nhà lúc 7 giờ và cần đến trường trước 7 giờ 30 phút. Biết quãng đường từ nhà đến trường dài 2 km. Vậy Hoa phải đi với vận tốc ít nhất bao nhiêu để kịp thời gian?

A. 4 km/h $\qquad$ B. 5 km/h $\qquad$ C. 3 km/h $\qquad$ D. 2 km/h

Lời giải:

Thời gian tối đa: 30 phút = $\dfrac{1}{2}$ giờ.

Gọi $v$ (km/h) là vận tốc. Thời gian đi: $\dfrac{2}{v}$ (giờ).

$$\dfrac{2}{v} \leq \dfrac{1}{2} \implies v \geq 4$$

Vậy Hoa phải đi với vận tốc ít nhất 4 km/h. Đáp án: A.

Dạng 4: Bài toán thực tế dẫn đến bất phương trình

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đọc kỹ đề, gọi ẩn $x$ và nêu điều kiện ($x > 0$, $x \in \mathbb{N}^*$, …).
• Bước 2: Dịch dữ kiện đề bài thành bất phương trình. Lưu ý:
  • “ít nhất”, “không nhỏ hơn” → $\geq$
  • “nhiều nhất”, “tối đa”, “không vượt quá” → $\leq$
• Bước 3: Giải bất phương trình.
• Bước 4: Đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế (số tự nhiên, dương…), rồi kết luận.

Ví dụ 12. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 1 tháng là 0,4%/tháng. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền gửi tiết kiệm ($x > 0$).

Tiền lãi 1 tháng: $0{,}4\% \cdot x = 0{,}004x$ (triệu đồng).

Tiền lãi ít nhất 3 triệu:

$$0{,}004x \geq 3$$

$$x \geq \dfrac{3}{0{,}004} = 750$$

Kết luận: Số tiền gửi ít nhất là 750 triệu đồng.

Ví dụ 13. Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đồng và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hỏi với 200 nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (km) là quãng đường di chuyển ($x > 0$).

Tổng tiền: $15 + 12x$ (nghìn đồng).

$$15 + 12x \leq 200$$

$$12x \leq 185$$

$$x \leq \dfrac{185}{12} \approx 15{,}42$$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $x \leq 15$.

Kết luận: Hành khách di chuyển được tối đa 15 km.

Ví dụ 14. Người ta dùng một loại xe tải để chở sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa loại 180 ml nặng trung bình 10 kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa, biết bác lái xe nặng 65 kg?

Lời giải chi tiết:

Đổi: 5,25 tấn = 5 250 kg.

Gọi $x$ là số thùng sữa ($x \in \mathbb{N}^*$).

Khối lượng sữa: $10x$ (kg). Tổng khối lượng (sữa + lái xe): $10x + 65$ (kg).

$$10x + 65 \leq 5250$$

$$10x \leq 5185$$

$$x \leq 518{,}5$$

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x \leq 518$.

Kết luận: Xe tải chở được tối đa 518 thùng sữa.

Ví dụ 15. Trong một cuộc thi tuyển dụng việc làm, ban tổ chức quy định mỗi người ứng tuyển phải trả lời 25 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án, chỉ 1 đáp án đúng. Chọn đúng được cộng 2 điểm, chọn sai bị trừ 1 điểm. Ban tổ chức tặng mỗi người 5 điểm và người ứng tuyển phải trả lời hết 25 câu; ai có từ 25 điểm trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo. Hỏi phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ là số câu trả lời đúng ($0 \leq x \leq 25$, $x \in \mathbb{N}$).

Số câu sai: $25 – x$.

Điểm cộng: $2x$. Điểm bị trừ: $1 \cdot (25 – x) = 25 – x$.

Tổng điểm (kể cả 5 điểm tặng): $5 + 2x – (25 – x) = 3x – 20$.

Để dự thi vòng tiếp theo:

$$3x – 20 \geq 25$$

$$3x \geq 45$$

$$x \geq 15$$

Kiểm tra: $x = 15$ → tổng điểm $= 3(15) – 20 = 25$ ✓.

Kiểm tra: Với $x = 15$ → tổng điểm $= 5 + 2(15) – (25 – 15) = 5 + 30 – 10 = 25$ ✓.

Kết luận: Người ứng tuyển cần trả lời đúng ít nhất 15 câu mới được dự thi vòng tiếp theo.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Quy tắc đổi chiều: Mỗi khi nhân hoặc chia hai vế với số âm, hãy viết ngay dấu ngược lại trước khi tiếp tục. Thói quen này giúp tránh lỗi phổ biến nhất.

Mẹo 2 — Chuyển vế “gọn”: Thay vì viết từng bước cộng/trừ, hãy nhớ: chuyển hạng tử sang vế kia thì đổi dấu. Hạng tử chứa $x$ dồn về trái, hằng số dồn về phải.

Mẹo 3 — Bài thực tế, chú ý “tối đa” hay “ít nhất”:

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh: Sau khi giải xong, thử thay một giá trị thoả mãn và một giá trị không thoả mãn vào BPT gốc để xác nhận kết quả đúng.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du