1. Góc nội tiếp và cung bị chắn

Định nghĩa góc nội tiếp

Góc nội tiếp của đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc nội tiếp.

Cách nhận biết góc nội tiếp: Một góc là góc nội tiếp của đường tròn khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: (1) đỉnh nằm trên đường tròn; (2) mỗi cạnh của góc đều chứa một dây cung của đường tròn. Nếu thiếu một trong hai điều kiện, góc đó không phải góc nội tiếp.

Ví dụ minh họa: Nhận biết góc nội tiếp

Xét bốn góc $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt có các vị trí khác nhau so với đường tròn $(O)$:

• Góc $P$: Đỉnh $P$ nằm bên trong đường tròn → Không phải góc nội tiếp (đỉnh không nằm trên đường tròn).
• Góc $Q$: Đỉnh $Q$ nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung → Là góc nội tiếp.
• Góc $R$: Đỉnh $R$ nằm bên ngoài đường tròn → Không phải góc nội tiếp.
• Góc $S$: Đỉnh $S$ nằm trên đường tròn nhưng một cạnh không chứa dây cung (là tiếp tuyến hoặc tia cắt đường tròn chỉ tại đỉnh) → Không phải góc nội tiếp.

2. Định lí về góc nội tiếp

Phát biểu định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

$$\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{AB}$$

(trong đó cung $AB$ là cung không chứa $C$)

Chứng minh (tóm tắt)

Chứng minh được chia thành 3 trường hợp tùy vào vị trí của tâm $O$ so với góc $\widehat{ACB}$:

Trường hợp 1: Tâm $O$ nằm trên một cạnh của góc $\widehat{ACB}$ (ví dụ $O \in CB$).

Tam giác $OAC$ cân tại $O$ (vì $OA = OC = R$), nên:

$$2\widehat{ACB} = \widehat{ACO} + \widehat{CAO} = 180° – \widehat{AOC} = \widehat{AOB}$$

Vì $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm nên $\widehat{AOB} = \text{sđ}, \overset{\frown}{AB}$. Suy ra $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{AB}$.

Trường hợp 2: Tâm $O$ nằm bên trong góc $\widehat{ACB}$.

Vẽ đường kính $CD$. Áp dụng Trường hợp 1 cho hai góc nội tiếp $\widehat{ACD}$ và $\widehat{DCB}$:

$$\widehat{ACB} = \widehat{ACD} + \widehat{DCB} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{AD} + \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{DB} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{AB}$$

Trường hợp 3: Tâm $O$ nằm bên ngoài góc $\widehat{ACB}$.

Tương tự, vẽ đường kính $CD$ và lấy hiệu:

$$\widehat{ACB} = \widehat{ACD} – \widehat{BCD} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{AD} – \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{BD} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{AB}$$

3. Các hệ quả quan trọng

Từ định lí trên, ta có các khẳng định sau đối với các góc nội tiếp trong cùng một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau:

Hệ quả 1: Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau.

Hệ quả 2: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Hệ quả 3: Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

Hệ quả 4: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (cung có số đo $180°$) là góc vuông ($90°$).

Mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm

Nếu góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ và góc ở tâm $\widehat{AOB}$ cùng chắn một cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$, thì:

$$\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}, \widehat{AOB}$$

hay tương đương:

$$\widehat{AOB} = 2, \widehat{ACB}$$

Ví dụ minh họa

Cho đường tròn $(O)$ và các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trên $(O)$. Biết $\widehat{BAC} = 50°$, tính số đo các góc $\widehat{BOC}$ và $\widehat{BDC}$.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$:

• Hai góc nội tiếp $\widehat{BDC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{BC}$ nên (theo Hệ quả 2):

$$\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 50°$$

• Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{BC}$ nên (theo Hệ quả 3):

$$\widehat{BOC} = 2 \cdot \widehat{BAC} = 2 \cdot 50° = 100°$$

4. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết góc nội tiếp – Xét tính đúng/sai

Phương pháp giải:

• Kiểm tra hai điều kiện của góc nội tiếp: (1) đỉnh nằm trên đường tròn; (2) hai cạnh chứa hai dây cung.
• Phân biệt rõ giữa: góc nội tiếp bằng nhau → cung bằng nhau (đúng), nhưng hai góc nội tiếp bằng nhau chưa chắc chắn cùng một cung (có thể chắn hai cung khác nhau nhưng có số đo bằng nhau).
• Nhớ: góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2}$ cung bị chắn = $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm (khi chắn cùng cung nhỏ).

Ví dụ: (Bài 9.1 SGK)

Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn cùng một cung.

b) Góc nội tiếp nhỏ hơn $90°$ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) SAI. Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau, nhưng đó có thể là hai cung khác nhau (ở vị trí khác nhau) mà có cùng số đo, không nhất thiết phải là cùng một cung.

b) ĐÚNG. Khi góc nội tiếp nhỏ hơn $90°$, cung bị chắn nhỏ hơn $180°$ (cung nhỏ). Góc ở tâm chắn cung nhỏ bằng số đo cung đó. Vậy góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2}$ số đo cung = $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm.

c) SAI. Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng nửa (không phải bằng) số đo góc ở tâm chắn cùng cung.

d) ĐÚNG. Nếu hai góc nội tiếp bằng nhau thì số đo cung bị chắn = $2 \times$ số đo góc nội tiếp, do đó hai cung bị chắn có cùng số đo, tức là bằng nhau.

Dạng 2: Tính số đo góc dựa vào góc nội tiếp và góc ở tâm

Phương pháp giải:

• Sử dụng công thức: $\widehat{\text{góc nội tiếp}} = \dfrac{1}{2} , \text{sđ cung bị chắn}$ và $\widehat{\text{góc ở tâm}} = \text{sđ cung bị chắn}$.
• Suy ra: $\widehat{\text{góc nội tiếp}} = \dfrac{1}{2} , \widehat{\text{góc ở tâm}}$ (khi chắn cùng cung nhỏ).
• Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
• Tính số đo cung từ góc ở tâm, rồi suy ra góc nội tiếp (hoặc ngược lại).
• Kết hợp tổng ba góc trong tam giác = $180°$.

Ví dụ 1: (Bài 9.2 SGK)

Cho các điểm $A$, $B$, $C$ trên đường tròn $(O)$ như Hình 9.7. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$, biết $\widehat{AOB} = 120°$, $\widehat{BOC} = 80°$.

Lời giải chi tiết:

Xét đường tròn $(O)$:

• $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp, $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm, cùng chắn cung $\overset{\frown}{BC}$:

$$\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2} , \widehat{BOC} = \dfrac{1}{2} \cdot 80° = 40°$$

• $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp, $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm, cùng chắn cung $\overset{\frown}{AB}$:

$$\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2} , \widehat{AOB} = \dfrac{1}{2} \cdot 120° = 60°$$

• Tổng ba góc trong tam giác $ABC$ bằng $180°$:

$$\widehat{ABC} = 180° – \widehat{BAC} – \widehat{ACB} = 180° – 40° – 60° = 80°$$

Vậy $\widehat{BAC} = 40°$, $\widehat{ACB} = 60°$, $\widehat{ABC} = 80°$.

Ví dụ 2: (Bài 9.3 SGK)

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AC$, $BD$ cắt nhau tại $X$. Tính $\widehat{AXB}$ biết $\widehat{ADB} = 30°$ và $\widehat{DBC} = 50°$.

Lời giải chi tiết:

Xét đường tròn $(O)$:

• $\widehat{DAC}$ và $\widehat{DBC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{DC}$ nên:

$$\widehat{DAC} = \widehat{DBC} = 50°$$

• Xét tam giác $AXD$ có $\widehat{AXD}$ là một góc trong tam giác. Mà $\widehat{AXB}$ kề bù với $\widehat{AXD}$ nên:

$$\widehat{AXB} = 180° – \widehat{AXD}$$

• Trong tam giác $AXD$: $\widehat{AXD} = 180° – \widehat{XDA} – \widehat{DAX} = 180° – 30° – 50° = 100°$.

Do đó: $\widehat{AXB} = 180° – 100° = 80°$.

Cách khác: $\widehat{AXB}$ là góc ngoài tại $X$ của tam giác $AXD$, nên $\widehat{AXB} = \widehat{XDA} + \widehat{DAX} = 30° + 50° = 80°$.

Ví dụ 3: (Bài 9.4a SGK)

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cắt nhau tại điểm $I$ nằm trong $(O)$. Biết $\widehat{AOC} = 60°$, $\widehat{BOD} = 80°$. Tính $\widehat{AID}$.

Lời giải chi tiết:

Xét đường tròn $(O)$:

• $\widehat{ADC}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{\frown}{AC}$, $\widehat{AOC}$ là góc ở tâm chắn cùng cung:

$$\widehat{ADC} = \dfrac{1}{2} , \widehat{AOC} = \dfrac{1}{2} \cdot 60° = 30°$$

• $\widehat{BAD}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{\frown}{BD}$, $\widehat{BOD}$ là góc ở tâm chắn cùng cung:

$$\widehat{BAD} = \dfrac{1}{2} , \widehat{BOD} = \dfrac{1}{2} \cdot 80° = 40°$$

• Vì $I$ nằm trên đoạn $AB$ (giữa $A$ và $B$) nên $\widehat{IAD} = \widehat{BAD} = 40°$. Tương tự $I$ nằm trên đoạn $CD$ nên $\widehat{ADI} = \widehat{ADC} = 30°$.
• Trong tam giác $AID$:

$$\widehat{AID} = 180° – \widehat{ADI} – \widehat{IAD} = 180° – 30° – 40° = 110°$$

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và đẳng thức tích

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau để tìm các cặp góc bằng nhau.
• Kết hợp góc đối đỉnh (khi hai dây cung cắt nhau) để suy ra hai tam giác đồng dạng (g.g).
• Từ tỉ lệ đồng dạng suy ra đẳng thức tích (ví dụ: $IA \cdot IB = IC \cdot ID$).

Ví dụ 1: (Luyện tập SGK)

Cho đường tròn tâm $O$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cắt nhau tại điểm $X$ nằm trong đường tròn. Chứng minh $\triangle AXC \sim \triangle DXB$.

Lời giải chi tiết:

Xét $\triangle AXC$ và $\triangle DXB$:

• $\widehat{AXC} = \widehat{DXB}$ (hai góc đối đỉnh tại $X$).
• $\widehat{CAX} = \widehat{BDX}$: Thật vậy, $\widehat{CAX}$ (tức $\widehat{CAB}$) và $\widehat{BDX}$ (tức $\widehat{BDC}$) là hai góc nội tiếp của đường tròn $(O)$ cùng chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{BC}$, nên chúng bằng nhau.

Vậy $\triangle AXC \sim \triangle DXB$ (g.g). $\square$

Ví dụ 2: (Bài 9.4b SGK)

(Tiếp theo Bài 9.4a) Chứng minh $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Lời giải chi tiết:

Xét $\triangle AIC$ và $\triangle DIB$:

• $\widehat{AIC} = \widehat{DIB}$ (hai góc đối đỉnh tại $I$).
• $\widehat{CAI}$ (tức $\widehat{CAB}$) và $\widehat{IDB}$ (tức $\widehat{CDB}$) là hai góc nội tiếp của $(O)$ cùng chắn cung $\overset{\frown}{CB}$, nên $\widehat{CAI} = \widehat{IDB}$.

Suy ra $\triangle AIC \sim \triangle DIB$ (g.g).

Từ tỉ lệ đồng dạng:

$$\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{IC}{IB}$$

Nhân chéo:

$$IA \cdot IB = IC \cdot ID \quad \square$$

Ví dụ 3: (Bài 9.5 SGK)

Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Hai đường thẳng $SA$, $SB$ lần lượt cắt $(O)$ tại $M$ (khác $A$) và $N$ (khác $B$). Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$. Chứng minh $SP \perp AB$.

Lời giải chi tiết:

Vì $AB$ là đường kính của $(O)$ nên:

• $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{AMB} = 90°$.Suy ra $BM \perp SA$ (vì $M$ nằm trên đường thẳng $SA$).
• $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{ANB} = 90°$.Suy ra $AN \perp SB$ (vì $N$ nằm trên đường thẳng $SB$).

Trong tam giác $SAB$:

• $BM \perp SA$: $BM$ là đường cao từ $B$ hạ xuống cạnh $SA$.
• $AN \perp SB$: $AN$ là đường cao từ $A$ hạ xuống cạnh $SB$.

$P$ là giao điểm của hai đường cao $BM$ và $AN$, nên $P$ là trực tâm của tam giác $SAB$.

Do đó đường thẳng qua $S$ và $P$ (tức $SP$) chính là đường cao thứ ba từ đỉnh $S$ xuống cạnh $AB$, hay $SP \perp AB$. $\square$

Dạng 4: Bài toán thực tế về góc nội tiếp

Phương pháp giải:

• Nhận dạng đường tròn trong bài toán thực tế (thường là đường tròn đi qua các điểm cách đều một điểm cố định).
• Xác định góc ở tâm và góc nội tiếp, áp dụng quan hệ $\widehat{\text{nội tiếp}} = \dfrac{1}{2}, \widehat{\text{ở tâm}}$.
• Chú ý: điểm phạt đền / tâm → góc ở tâm; điểm trên đường tròn → góc nội tiếp.

Ví dụ: (Bài 9.6 SGK)

Trên sân bóng, khi quả bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng $36°$ và quả bóng cách mỗi cọc gôn $11{,}6$ m. Hỏi khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11{,}6$ m thì góc sút bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là vị trí điểm phạt đền, $A$ và $B$ là vị trí hai cọc gôn, $C$ là vị trí mới của quả bóng.

Theo đề bài: $OA = OB = 11{,}6$ m (khoảng cách từ điểm phạt đền đến mỗi cọc gôn) và $OC = 11{,}6$ m.

Vì $OA = OB = OC = 11{,}6$ m nên $A$, $B$, $C$ đều nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 11{,}6$ m.

Khi đó:

• Góc sút tại điểm phạt đền $\widehat{AOB} = 36°$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$.
• Góc sút tại vị trí $C$ là $\widehat{ACB}$, đây là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ (vì $C$ nằm trên cung lớn $AB$).

Áp dụng định lí:

$$\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}, \widehat{AOB} = \dfrac{1}{2} \cdot 36° = 18°$$

Vậy khi quả bóng đặt ở vị trí $C$ cách điểm phạt đền $11{,}6$ m, góc sút bằng $18°$.

Dạng 5: Tính góc nội tiếp kết hợp định lí Pythagore (Vận dụng)

Phương pháp giải:

• Xác định tam giác tạo bởi tâm và hai đầu mút dây cung.
• Sử dụng định lí Pythagore (hoặc đảo) để tìm góc ở tâm.
• Từ đó suy ra góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm.

Ví dụ: (Vận dụng SGK – đổi số)

Cho đường tròn $(O)$ bán kính $3$ cm và dây cung $BC = 3\sqrt{2}$ cm. Điểm $A$ nằm trên đường tròn (khác $B$, $C$). Tính $\widehat{BAC}$.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $BOC$ có $OB = OC = 3$ cm (bán kính) và $BC = 3\sqrt{2}$ cm.

Kiểm tra: $OB^2 + OC^2 = 9 + 9 = 18 = (3\sqrt{2})^2 = BC^2$.

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác $BOC$ vuông tại $O$.

Do đó $\widehat{BOC} = 90°$.

Vì $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp và $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{BC}$:

$$\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}, \widehat{BOC} = \dfrac{1}{2} \cdot 90° = 45°$$

Dạng 6: Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng $90°$ có số đo:

A. Bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

B. Bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

C. Bằng số đo cung bị chắn

D. Bằng nửa số đo cung lớn

Đáp án: A.

Giải thích: Khi góc nội tiếp $\leq 90°$, cung bị chắn $\leq 180°$ (cung nhỏ hoặc nửa đường tròn). Góc ở tâm chắn cùng cung đó bằng số đo cung, mà góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2}$ số đo cung = $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm.

Câu 2. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $I$ nằm ngoài $(O)$. Từ $I$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$ ($A$ nằm giữa $I$ và $B$, $C$ nằm giữa $I$ và $D$) sao cho $\widehat{CAB} = 120°$. Hai tam giác nào sau đây đồng dạng?

A. $\triangle IAC \sim \triangle IDB$

B. $\triangle IAC \sim \triangle IBD$

C. $\triangle CAI \sim \triangle ACD$

D. $\triangle BAC \sim \triangle BDI$

Đáp án: A.

Giải thích: $\triangle IAC$ và $\triangle IDB$ có: $\widehat{I}$ chung; $\widehat{ICA}$ và $\widehat{IBD}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{AD}$ nên bằng nhau. Vậy $\triangle IAC \sim \triangle IDB$ (g.g).

Câu 3. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng bao nhiêu độ?

A. $45°$   B. $90°$   C. $60°$   D. $120°$

Đáp án: B.

Giải thích: Nửa đường tròn có số đo $180°$. Góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.

Câu 4. Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB$, $AC$ bằng nhau. Qua $A$ vẽ một cát tuyến cắt dây $BC$ ở $D$ và cắt $(O)$ ở $E$. Khi đó $DA \cdot DE$ bằng:

A. $DC^2$   B. $DB^2$   C. $DB \cdot DC$   D. $AB \cdot AC$

Đáp án: C.

Giải thích: Điểm $D$ nằm bên trong đường tròn $(O)$ (trên dây $BC$). Hai dây cung qua $D$ là $BC$ (có $D$ nằm giữa $B$ và $C$) và $AE$ (cát tuyến qua $A$ và $E$). Theo tính chất hai dây cung cắt nhau bên trong đường tròn (hệ quả đẳng thức tích từ tam giác đồng dạng): $DA \cdot DE = DB \cdot DC$.

Câu 5. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $I$ nằm ngoài $(O)$. Từ $I$ kẻ hai cát tuyến $IAB$ và $ICD$ ($A$ nằm giữa $I$ và $B$, $C$ nằm giữa $I$ và $D$). Tích $IA \cdot IB$ bằng:

A. $ID \cdot CD$   B. $IC \cdot CB$   C. $IC \cdot CD$   D. $IC \cdot ID$

Đáp án: D.

Giải thích: Theo tính chất hai cát tuyến từ một điểm ngoài đường tròn (hệ quả từ tam giác đồng dạng): $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

5. Sai lầm thường gặp

6. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Quan hệ “gấp đôi – một nửa”: Luôn nhớ: góc ở tâm = $2 \times$ góc nội tiếp (cùng chắn một cung nhỏ). Ngược lại, góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm. Đây là công thức cốt lõi nhất.

Mẹo 2 – Thấy đường kính, nghĩ đến góc vuông: Nếu đề bài cho đường kính $AB$, thì mọi điểm $C$ nằm trên đường tròn (khác $A$, $B$) đều cho $\widehat{ACB} = 90°$. Đây là chìa khóa để tìm góc vuông trong nhiều bài hình.

Mẹo 3 – Tìm tam giác đồng dạng khi hai dây cung cắt nhau: Khi hai dây cung cắt nhau (bên trong hoặc ngoài đường tròn), luôn có hai tam giác đồng dạng nhờ góc nội tiếp cùng chắn một cung và góc đối đỉnh (hoặc góc chung). Từ đó suy ra đẳng thức tích.

Mẹo 4 – Trực tâm tam giác: Khi đề bài cho đường kính và hai đường thẳng cắt đường tròn, hãy nghĩ đến việc chứng minh hai đường cao (nhờ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = $90°$), từ đó giao điểm là trực tâm.

7. Tổng kết

• Góc nội tiếp: đỉnh trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung.
• Định lí cốt lõi: $\widehat{\text{góc nội tiếp}} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ cung bị chắn}$.
• Hệ quả quan trọng: Góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90°$; góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm (chắn cùng cung nhỏ).
• Ứng dụng: Tính góc trong tam giác nội tiếp, chứng minh đồng dạng khi hai dây cung cắt nhau, suy ra đẳng thức tích, chứng minh vuông góc qua trực tâm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du