Bài toán mở đầu

Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ giới được phép đi. Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.3 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, trên từng làn đường) không?

Những biển báo này thể hiện các mối quan hệ không bằng nhau giữa tốc độ thực tế của xe và tốc độ giới hạn. Đó chính là ý tưởng của bất đẳng thức — chủ đề bài học hôm nay.

Bất đẳng thức

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực

Trên tập số thực, với hai số $a$ và $b$ có ba trường hợp:

• Số $a$ bằng số $b$, kí hiệu $a = b$.
• Số $a$ lớn hơn số $b$, kí hiệu $a > b$.
• Số $a$ nhỏ hơn số $b$, kí hiệu $a < b$.

Ngoài ra, ta còn dùng:

• Số $a$ lớn hơn hoặc bằng số $b$, tức là $a > b$ hoặc $a = b$, kí hiệu $a \geq b$.
• Số $a$ nhỏ hơn hoặc bằng số $b$, tức là $a < b$ hoặc $a = b$, kí hiệu $a \leq b$.

Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm nằm bên trái biểu diễn số nhỏ hơn, điểm nằm bên phải biểu diễn số lớn hơn.

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$, $a \geq b$, $a \leq b$) là bất đẳng thức. Trong đó $a$ gọi là vế trái, $b$ gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý: Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $-3 < -2$ (hay $6 > 3$ và $8 > 5$) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $-2 > -3$ (hay $6 > 3$ và $5 < 8$) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất bắc cầu

Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

Đây gọi là tính chất bắc cầu của bất đẳng thức. Tương tự, các thứ tự $>$, $\geq$, $\leq$ cũng có tính chất bắc cầu.

Nói cách khác: nếu $a$ nhỏ hơn $b$, mà $b$ lại nhỏ hơn $c$, thì chắc chắn $a$ nhỏ hơn $c$. Tính chất này rất hữu ích khi so sánh gián tiếp hai biểu thức thông qua một giá trị trung gian.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Xác định vế trái và vế phải của mỗi bất đẳng thức sau:

a) $-5 > -9$ $\qquad$ b) $b^2 + 4 > 0$

Giải:

a) Vế trái là $-5$, vế phải là $-9$.

b) Vế trái là $b^2 + 4$, vế phải là $0$.

Ví dụ 2. Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau:

a) Tuần tới, nhiệt độ $t$ (°C) tại Hà Nội là trên $10$ °C.

b) Nhiệt độ $t$ (°C) bảo quản một loại thuốc là dưới $25$ °C.

c) Để được thi bằng lái xe máy, số tuổi $x$ của một người phải ít nhất là $16$ tuổi.

Giải:

a) $t > 10$ $\qquad$ b) $t < 25$ $\qquad$ c) $x \geq 16$

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số $c$ vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cụ thể, với ba số $a$, $b$, $c$:

$$\text{Nếu } a < b \text{ thì } a + c < b + c$$

$$\text{Nếu } a \leq b \text{ thì } a + c \leq b + c$$

$$\text{Nếu } a > b \text{ thì } a + c > b + c$$

$$\text{Nếu } a \geq b \text{ thì } a + c \geq b + c$$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh $2025 + (-17)$ và $2026 + (-17)$.

Giải:

Vì $2025 < 2026$ nên $2025 + (-17) < 2026 + (-17)$ (cộng cùng số $-17$ vào hai vế).

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Nhân với số dương

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với $a$, $b$, $c$ và $c > 0$:

$$\text{Nếu } a < b \text{ thì } ac < bc$$

Nhân với số âm

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với $a$, $b$, $c$ và $c < 0$:

$$\text{Nếu } a < b \text{ thì } ac > bc \quad \text{(đổi chiều!)}$$

Tương tự cho các dấu $\leq$, $>$, $\geq$.

Lưu ý quan trọng: Nhân (hoặc chia) hai vế BĐT với số âm thì phải đổi chiều dấu bất đẳng thức. Đây là điểm mà học sinh hay quên!

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4. Thay “?” bằng dấu thích hợp ($<$, $>$):

a) $5 \cdot (-3)$ ? $5 \cdot (-1)$ $\qquad$ b) $(-4) \cdot (-3)$ ? $(-4) \cdot (-1)$

Giải:

a) Vì $-3 < -1$ và $5 > 0$ nên $5 \cdot (-3) < 5 \cdot (-1)$ (nhân với số dương, giữ nguyên chiều).

b) Vì $-3 < -1$ và $-4 < 0$ nên $(-4) \cdot (-3) > (-4) \cdot (-1)$ (nhân với số âm, đổi chiều).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết bất đẳng thức và viết bất đẳng thức từ lời văn

Phương pháp giải:

• Xác định đại lượng cần mô tả (nhiệt độ, tuổi, tốc độ, số lượng…).
• Dịch các cụm từ sang kí hiệu toán học:
  • “lớn hơn” → $>$ $\quad$ “nhỏ hơn” → $<$
  • “ít nhất”, “không nhỏ hơn”, “từ … trở lên” → $\geq$
  • “nhiều nhất”, “không lớn hơn”, “không vượt quá”, “tối đa” → $\leq$
  • “là số dương” → $> 0$ $\quad$ “là số âm” → $< 0$

Ví dụ 1. Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:

a) $x$ nhỏ hơn hoặc bằng $-2$.

b) $m$ là số âm.

c) $y$ là số dương.

d) $p$ lớn hơn hoặc bằng 2024.

Lời giải chi tiết:

a) $x \leq -2$.

b) $m < 0$.

c) $y > 0$.

d) $p \geq 2024$.

Ví dụ 2. Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô.

b) Xe buýt chở được tối đa 45 người.

c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ là số tuổi, $n$ là số người trên xe buýt, $L$ là mức lương (đồng/giờ).

a) “Ít nhất 18 tuổi” nghĩa là tuổi không nhỏ hơn 18: $x \geq 18$.

b) “Tối đa 45 người” nghĩa là số người không vượt quá 45: $n \leq 45$.

c) “Tối thiểu 20 000 đồng” nghĩa là lương không nhỏ hơn 20 000: $L \geq 20\,000$.

Ví dụ 3. Biển báo giao thông R.306 báo tốc độ tối thiểu cho các xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ $a$ (km/h) thì $a$ phải thoả mãn điều kiện nào?

A. $a < 60$ $\qquad$ B. $a > 60$ $\qquad$ C. $a \geq 60$ $\qquad$ D. $a \leq 60$

Lời giải: “Tốc độ không nhỏ hơn 60” tức là $a \geq 60$. Đáp án: C.

Ví dụ 4. Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu (biển báo H.2.3):

a) Ô tô ở làn giữa. $\qquad$ b) Xe máy ở làn bên phải.

Lời giải chi tiết:

Gọi $v$ (km/h) là tốc độ của xe. Biển báo H.2.3 cho biết tốc độ tối đa (giới hạn trên).

a) Ô tô ở làn giữa: tốc độ tối đa 60 km/h → $v \leq 60$.

b) Xe máy ở làn bên phải: tốc độ tối đa 50 km/h → $v \leq 50$.

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải:

Tuỳ theo bài toán, có thể dùng một trong các cách sau:

• Cách 1 — Tính chất bắc cầu: Nếu cần chứng minh $A > B$, ta tìm giá trị trung gian $C$ sao cho $A > C$ và $C > B$, suy ra $A > B$.
• Cách 2 — Viết phân số dưới dạng tổng/hiệu: Biến đổi $\dfrac{a}{b}$ thành $1 + \dfrac{r}{b}$ hoặc $1 – \dfrac{r}{b}$ để dễ so sánh với 1.
• Cách 3 — So sánh hiệu: Tính $A – B$ rồi xét dấu. Nếu $A – B > 0$ thì $A > B$.
• Cách 4 — Quy đồng mẫu: Quy đồng mẫu hai phân số rồi so sánh tử.

Ví dụ 5. Chứng minh $\dfrac{2026}{2025} > \dfrac{2023}{2024}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$$\dfrac{2026}{2025} = 1 + \dfrac{1}{2025} > 1$$

$$\dfrac{2023}{2024} = 1 – \dfrac{1}{2024} < 1$$

Vì $\dfrac{2026}{2025} > 1$ và $\dfrac{2023}{2024} < 1$ nên theo tính chất bắc cầu:

$$\dfrac{2026}{2025} > 1 > \dfrac{2023}{2024}$$

Vậy $\dfrac{2026}{2025} > \dfrac{2023}{2024}$ (đpcm).

Ví dụ 6. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{2024}{1000} > 1{,}9$ $\qquad$ b) $-\dfrac{2022}{2023} > -1{,}1$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$$\dfrac{2024}{1000} – 1{,}9 = \dfrac{2024}{1000} – \dfrac{1900}{1000} = \dfrac{124}{1000} > 0$$

Vậy $\dfrac{2024}{1000} > 1{,}9$ (đpcm).

b) Ta có: $\dfrac{2022}{2023} < 1$ (vì $2022 < 2023$) và $1 < 1{,}1$.

Theo tính chất bắc cầu: $\dfrac{2022}{2023} < 1{,}1$.

Nhân hai vế với $-1$ (đổi chiều): $-\dfrac{2022}{2023} > -1{,}1$ (đpcm).

Ví dụ 7. Chứng minh rằng:

a) $-\dfrac{2023}{2024} > -\dfrac{2024}{2023}$ $\qquad$ b) $\dfrac{34}{11} > \dfrac{26}{9}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$$\dfrac{2023}{2024} = 1 – \dfrac{1}{2024} < 1 \quad \text{và} \quad \dfrac{2024}{2023} = 1 + \dfrac{1}{2023} > 1$$

Suy ra: $\dfrac{2023}{2024} < \dfrac{2024}{2023}$.

Nhân hai vế với $-1$ (đổi chiều): $-\dfrac{2023}{2024} > -\dfrac{2024}{2023}$ (đpcm).

b) Quy đồng mẫu ($11 \times 9 = 99$):

$$\dfrac{34}{11} = \dfrac{34 \times 9}{99} = \dfrac{306}{99} \qquad \dfrac{26}{9} = \dfrac{26 \times 11}{99} = \dfrac{286}{99}$$

Vì $306 > 286$ nên $\dfrac{306}{99} > \dfrac{286}{99}$, tức $\dfrac{34}{11} > \dfrac{26}{9}$ (đpcm).

Dạng 3: So sánh không thực hiện phép tính (dùng tính chất phép cộng và phép nhân)

Phương pháp giải:

• Tính chất phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế → BĐT cùng chiều.
  • Nhìn ngược: nếu hai biểu thức có cùng phần cộng, ta “bỏ” phần đó đi rồi so sánh phần còn lại.
• Tính chất phép nhân:
  • Nhân cùng số dương → BĐT cùng chiều.
  • Nhân cùng số âm → BĐT ngược chiều (đổi dấu!).
• Kết hợp cả hai: Nhiều bài cần dùng phép nhân trước, rồi phép cộng sau (hoặc ngược lại).

Ví dụ 8. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) $19 + 2023$ và $-31 + 2023$ $\qquad$ b) $\sqrt{2} + 2$ và $4$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $19 > -31$ nên cộng cùng $2023$ vào hai vế:

$$19 + 2023 > -31 + 2023$$

b) Ta có $\sqrt{2} < 2$ (vì $(\sqrt{2})^2 = 2 < 4 = 2^2$).

Cộng $2$ vào hai vế: $\sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = 4$.

Vậy $\sqrt{2} + 2 < 4$.

Ví dụ 9. Thay “?” bằng dấu $<$ hoặc $>$ để khẳng định đúng:

a) $13 \cdot (-10{,}5)$ ? $13 \cdot 11{,}2$ $\qquad$ b) $(-13) \cdot (-10{,}5)$ ? $(-13) \cdot 11{,}2$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $-10{,}5 < 11{,}2$ và $13 > 0$ (nhân với số dương, giữ chiều):

$$13 \cdot (-10{,}5) < 13 \cdot 11{,}2$$

b) Vì $-10{,}5 < 11{,}2$ và $-13 < 0$ (nhân với số âm, đổi chiều):

$$(-13) \cdot (-10{,}5) > (-13) \cdot 11{,}2$$

Ví dụ 10. Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:

a) $2 \cdot (-7) + 2023 < 2 \cdot (-1) + 2023$

b) $(-3) \cdot (-8) + 1975 > (-3) \cdot (-7) + 1975$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $-7 < -1$ và $2 > 0$, nhân với số dương giữ chiều: $2 \cdot (-7) < 2 \cdot (-1)$.

Cộng $2023$ vào hai vế (giữ chiều): $2 \cdot (-7) + 2023 < 2 \cdot (-1) + 2023$ (đpcm).

b) Ta có $-8 < -7$ và $-3 < 0$, nhân với số âm đổi chiều: $(-3) \cdot (-8) > (-3) \cdot (-7)$.

Cộng $1975$ vào hai vế (giữ chiều): $(-3) \cdot (-8) + 1975 > (-3) \cdot (-7) + 1975$ (đpcm).

Ví dụ 11. Cho $a < b$, hãy so sánh:

a) $5a + 7$ và $5b + 7$ $\qquad$ b) $-3a – 9$ và $-3b – 9$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $a < b$ và $5 > 0$, nhân hai vế với $5$ (giữ chiều): $5a < 5b$.

Cộng $7$ vào hai vế (giữ chiều): $5a + 7 < 5b + 7$.

b) Vì $a < b$ và $-3 < 0$, nhân hai vế với $-3$ (đổi chiều): $-3a > -3b$.

Cộng $(-9)$ vào hai vế (giữ chiều): $-3a – 9 > -3b – 9$.

Ví dụ 12. So sánh hai số $a$ và $b$, nếu:

a) $a + 1954 < b + 1954$ $\qquad$ b) $-2a > -2b$

Lời giải chi tiết:

a) Từ $a + 1954 < b + 1954$, cộng $(-1954)$ vào hai vế (giữ chiều):

$$a + 1954 + (-1954) < b + 1954 + (-1954)$$

$$a < b$$

b) Từ $-2a > -2b$, nhân hai vế với $-\dfrac{1}{2} < 0$ (đổi chiều):

$$a < b$$

Nhận xét: Ở hai trường hợp trên, ta “đảo ngược” phép biến đổi — từ kết quả suy ra mối quan hệ giữa $a$ và $b$. Đây là kỹ thuật quan trọng sẽ được dùng nhiều khi giải bất phương trình.

Dạng 4: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

• Đọc kỹ đề, xác định đại lượng cần tìm.
• Viết bất đẳng thức mô tả ràng buộc (ngân sách, sức chứa, thời gian…).
• Giải bất đẳng thức (hoặc suy luận trực tiếp) để tìm đáp án.

Ví dụ 13. Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60 000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30 000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Lời giải chi tiết:

Gọi $n$ là số học sinh tham gia ($n \in \mathbb{N}^*$).

Chi phí cố định: thuê dịch vụ và phòng nghỉ = 17 000 000 đồng.

Chi phí ăn uống mỗi người (từ 14h hôm trước đến 12h hôm sau):

• Ăn tối: 60 000 đồng
• Ăn sáng: 30 000 đồng
• Ăn trưa (hôm sau): 60 000 đồng

Tổng chi phí ăn mỗi người: $60\,000 + 30\,000 + 60\,000 = 150\,000$ đồng.

Tổng chi phí không vượt quá 30 triệu:

$$17\,000\,000 + 150\,000 \cdot n \leq 30\,000\,000$$

$$150\,000 \cdot n \leq 13\,000\,000$$

$$n \leq \dfrac{13\,000\,000}{150\,000} = 86{,}67…$$

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n \leq 86$.

Kết luận: Có thể tổ chức cho nhiều nhất 86 bạn tham gia.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Bắc cầu qua số 1: Khi so sánh hai phân số, thử xem một phân số lớn hơn 1 ($\text{tử} > \text{mẫu}$) và phân số kia nhỏ hơn 1 ($\text{tử} < \text{mẫu}$). Nếu đúng, ta không cần quy đồng — chỉ cần so sánh qua giá trị trung gian $1$.

Mẹo 2 — Viết phân số dưới dạng $1 \pm \dfrac{r}{m}$: Kỹ thuật này giúp so sánh nhanh. Ví dụ: $\dfrac{2026}{2025} = 1 + \dfrac{1}{2025}$ → thấy ngay lớn hơn 1.

Mẹo 3 — “Bỏ” phần chung: Khi hai biểu thức có cùng phần cộng (hoặc cùng hệ số nhân dương), ta chỉ cần so sánh phần khác nhau. Ví dụ: so sánh $19 + 2023$ và $-31 + 2023$ → chỉ cần so sánh $19$ và $-31$.

Mẹo 4 — Dịch nhanh từ khoá sang kí hiệu:

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du