1. Tần số là gì? Bảng tần số là gì?

Mẫu dữ liệu và cỡ mẫu

Khi tiến hành thu thập dữ liệu (khảo sát, đo đạc, thống kê,…), ta thường chỉ lấy được một phần của toàn bộ dữ liệu cần nghiên cứu. Phần dữ liệu thu được đó gọi là mẫu dữ liệu. Tổng số giá trị có trong mẫu dữ liệu được gọi là cỡ mẫu.

Ví dụ: Bạn Minh muốn biết dự định sau tốt nghiệp lớp 9 của toàn bộ học sinh khối 9 trong trường. Nếu chỉ khảo sát được lớp mình (45 bạn) thì dãy 45 câu trả lời đó chính là mẫu dữ liệu, và cỡ mẫu bằng 45.

Tần số

Trong một mẫu dữ liệu, nhiều giá trị có thể lặp lại. Tần số của một giá trị chính là số lần mà giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.

Bảng tần số

Bảng tần số là bảng thống kê liệt kê tất cả các giá trị khác nhau trong mẫu dữ liệu, kèm theo tần số tương ứng của mỗi giá trị. Bảng tần số có dạng tổng quát:

Trong đó:

• $x_1, x_2, \ldots, x_k$ là các giá trị khác nhau trong mẫu dữ liệu.
• $m_1, m_2, \ldots, m_k$ lần lượt là tần số (số lần xuất hiện) của $x_1, x_2, \ldots, x_k$.

Lưu ý quan trọng:

• Mỗi giá trị chỉ được liệt kê đúng một lần trong bảng tần số.
• Các giá trị không nhất thiết phải là số. Chúng có thể là tên người, mức đánh giá (Tốt, Khá, Trung bình, Kém), tên đội bóng, loại phương tiện,…
• Tổng tất cả các tần số luôn bằng cỡ mẫu: $m_1 + m_2 + \cdots + m_k = n$.
• Nhờ bảng tần số, ta dễ dàng nhận ra giá trị nào xuất hiện nhiều nhất và giá trị nào xuất hiện ít nhất.

Ví dụ minh họa

Huy thu thập cỡ giày của các bạn nam trong lớp và thu được dãy dữ liệu:

$$40,; 36,; 37,; 36,; 40,; 38,; 39,; 38,; 37,; 36,; 40,; 39,; 36,; 38,; 37,; 38,; 38,; 37,; 38,; 38,; 38,; 36.$$

a) Bạn Huy cần mua giày các cỡ nào? Mỗi loại bao nhiêu đôi?

Các giá trị khác nhau trong dãy là: 36, 37, 38, 39, 40. Đếm số lần xuất hiện:

• Cỡ 36 xuất hiện 5 lần → cần 5 đôi.
• Cỡ 37 xuất hiện 4 lần → cần 4 đôi.
• Cỡ 38 xuất hiện 8 lần → cần 8 đôi.
• Cỡ 39 xuất hiện 2 lần → cần 2 đôi.
• Cỡ 40 xuất hiện 3 lần → cần 3 đôi.

b) Bảng tần số:

Kiểm tra: $5 + 4 + 8 + 2 + 3 = 22$ (đúng bằng cỡ mẫu). Nhìn vào bảng, cỡ giày 38 có tần số lớn nhất (8), do đó giày cỡ 38 phù hợp với nhiều bạn nam trong lớp nhất.

2. Biểu đồ tần số

Biểu đồ tần số là gì?

Khi đã có bảng tần số, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng trực quan bằng biểu đồ tần số. Biểu đồ tần số giúp ta quan sát và so sánh tần số các giá trị một cách nhanh chóng, sinh động hơn so với việc chỉ đọc bảng số liệu.

Có hai dạng biểu đồ tần số thường gặp:

Biểu đồ tần số dạng cột

Đây chính là biểu đồ cột mà trục đứng biểu diễn tần số, trục ngang biểu diễn các giá trị trong mẫu dữ liệu. Mỗi giá trị tương ứng với một cột có chiều cao bằng tần số của nó.

Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng (đa giác tần số)

Thay vì vẽ cột, ta đánh dấu các điểm tương ứng với mỗi cặp (giá trị, tần số) rồi nối các điểm liên tiếp với nhau bằng các đoạn thẳng. Dạng này còn gọi là đa giác tần số (frequency polygon).

Cách vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng:

• Bước 1: Vẽ trục ngang biểu diễn các giá trị, trục đứng biểu diễn tần số.
• Bước 2: Ứng với mỗi giá trị và tần số tương ứng, xác định một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Nối các điểm liên tiếp với nhau.
• Bước 3: Ghi tiêu đề biểu đồ, chú giải cho các trục và giá trị tần số tại mỗi điểm.

Ví dụ minh họa

Bạn Bình thống kê số anh, chị, em ruột của các bạn trong lớp và thu được kết quả:

Ta vẽ biểu đồ tần số dạng cột với trục ngang là “Số anh, chị, em ruột” (giá trị 0, 1, 2, 3), trục đứng là “Số học sinh” (tần số). Mỗi giá trị tương ứng với một cột có chiều cao tương ứng.

Với biểu đồ dạng đoạn thẳng, ta xác định bốn điểm: $(0;, 8)$, $(1;, 19)$, $(2;, 6)$, $(3;, 4)$, rồi nối các điểm liên tiếp.

Phân biệt biểu đồ tần số với biểu đồ cột thông thường

Không phải mọi biểu đồ cột đều là biểu đồ tần số. Điều kiện quan trọng là trục đứng phải biểu diễn tần số (số lần xuất hiện).

Ví dụ: Biểu đồ cột biểu diễn nhiệt độ trung bình tháng Sáu năm 2021 tại Hà Nội (31,6 °C), Đà Nẵng (31,1 °C), Đà Lạt (19,6 °C) không phải là biểu đồ tần số, vì trục đứng biểu diễn nhiệt độ chứ không phải số lần xuất hiện.

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Lập bảng tần số từ dãy dữ liệu cho trước

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đọc kỹ dãy dữ liệu, liệt kê ra tất cả các giá trị khác nhau.
• Bước 2: Đếm số lần xuất hiện của từng giá trị. Khi dãy dữ liệu dài, nên dùng phương pháp gạch đếm (mỗi lần gặp giá trị thì gạch một vạch, cứ 5 vạch nhóm lại) để tránh đếm sót.
• Bước 3: Điền vào bảng tần số.
• Bước 4 (kiểm tra): Cộng tổng tần số, nếu bằng cỡ mẫu thì đúng.

Ví dụ: (Bài 7.1 SGK)

Một nhóm học sinh khảo sát ý kiến về ý thức giữ gìn vệ sinh công cộng với các mức đánh giá Tốt, Khá, Trung bình, Kém. Kết quả thu được:

Tốt, Trung bình, Tốt, Trung bình, Khá, Tốt, Khá, Tốt, Tốt, Khá, Trung bình, Kém, Khá, Tốt, Khá, Tốt, Trung bình, Khá, Tốt, Tốt, Tốt, Khá, Kém, Trung bình, Tốt, Khá, Tốt, Khá, Tốt, Khá, Khá.

a) Lập bảng tần số.

b) Mức đánh giá nào chiếm ưu thế nhất?

Lời giải chi tiết:

a) Dãy dữ liệu có 31 giá trị (cỡ mẫu $n = 31$). Các giá trị khác nhau gồm: Tốt, Khá, Trung bình, Kém.

Ta đếm lần lượt:

• Tốt: Duyệt qua dãy, đánh dấu mỗi lần gặp “Tốt”: vị trí 1, 3, 6, 8, 9, 14, 16, 19, 20, 21, 25, 27, 29 → 13 lần.
• Khá: vị trí 5, 7, 10, 13, 15, 18, 22, 26, 28, 30, 31 → 11 lần.
• Trung bình: vị trí 2, 4, 11, 17, 24 → 5 lần.
• Kém: vị trí 12, 23 → 2 lần.

Bảng tần số:

Kiểm tra: $13 + 11 + 5 + 2 = 31$ ✓ (đúng bằng cỡ mẫu).

b) Mức đánh giá “Tốt” chiếm ưu thế nhất vì có tần số lớn nhất là 13, nghĩa là có 13 bạn được đánh giá ở mức Tốt – nhiều hơn bất kỳ mức nào khác.

Dạng 2: Đọc biểu đồ tần số và lập bảng tần số

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định trục ngang biểu diễn gì (các giá trị) và trục đứng biểu diễn gì (tần số).
• Bước 2: Đọc chiều cao mỗi cột (với biểu đồ cột) hoặc tọa độ mỗi điểm (với biểu đồ đoạn thẳng) để lấy tần số tương ứng.
• Bước 3: Ghi kết quả vào bảng tần số. Kiểm tra tổng tần số.

Ví dụ: (Bài 7.4 SGK)

Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng (Hình 7.8) thống kê các loại ô tô chạy qua một trạm thu phí trong 1 giờ.

a) Lập bảng tần số.

b) Loại xe nào đi qua trạm thu phí nhiều nhất?

Lời giải chi tiết:

a) Đọc biểu đồ:

• Trục ngang biểu diễn loại xe (Xe 4 chỗ, Xe 7 chỗ, Xe 9 chỗ, Xe 16 chỗ trở lên).
• Trục đứng biểu diễn số xe (tần số).

Từ biểu đồ, đọc tọa độ các điểm:

• Xe 4 chỗ: tần số = 9
• Xe 7 chỗ: tần số = 14
• Xe 9 chỗ: tần số = 5
• Xe 16 chỗ trở lên: tần số = 3

Bảng tần số:

Kiểm tra: $9 + 14 + 5 + 3 = 31$ xe.

b) Từ bảng tần số, loại xe 7 chỗ có tần số lớn nhất (14 xe), vậy xe 7 chỗ đi qua trạm thu phí nhiều nhất.

Dạng 3: Vẽ biểu đồ tần số từ bảng dữ liệu

Phương pháp giải:

Với biểu đồ dạng cột:

• Vẽ trục ngang ghi các giá trị, trục đứng ghi tần số (chia vạch đều, đủ lớn để chứa tần số cao nhất).
• Mỗi giá trị ứng với một cột có chiều cao bằng tần số. Các cột cách đều nhau.
• Ghi giá trị tần số lên đỉnh mỗi cột, ghi tiêu đề và chú giải trục.

Với biểu đồ dạng đoạn thẳng:

• Vẽ hai trục tương tự.
• Xác định các điểm $(x_i,, m_i)$, nối các điểm liên tiếp bằng đoạn thẳng.
• Ghi giá trị tần số tại mỗi điểm, ghi tiêu đề và chú giải trục.

Ví dụ: (Bài 7.5 SGK)

Bảng thống kê số lượng các thiên tai xảy ra tại Việt Nam giai đoạn 1990 – 2021:

Vẽ biểu đồ tần số dạng cột và biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Biểu đồ dạng cột:

• Trục ngang: ghi 5 loại thiên tai (Hạn hán, Bệnh dịch, Lũ lụt, Sạt lở đất, Bão).
• Trục đứng: ghi “Số lượng”, chia vạch từ 0 đến 100 (vì tần số lớn nhất là 94).
• Vẽ 5 cột với chiều cao tương ứng: 6, 9, 71, 6, 94.
• Ghi giá trị trên đỉnh mỗi cột, ghi tiêu đề: “Số lượng thiên tai tại Việt Nam giai đoạn 1990 – 2021”.

Biểu đồ dạng đoạn thẳng:

• Xác định 5 điểm: (Hạn hán, 6), (Bệnh dịch, 9), (Lũ lụt, 71), (Sạt lở đất, 6), (Bão, 94).
• Nối các điểm liên tiếp.
• Ghi giá trị tần số tại mỗi điểm, ghi tiêu đề và chú giải trục.

Dạng 4: Bài toán suy luận từ bảng tần số hoặc biểu đồ tần số

Phương pháp giải:

• Đọc đúng dữ liệu từ bảng hoặc biểu đồ.
• Xác định yêu cầu bài toán: tìm tổng, so sánh, tính số lượng thỏa điều kiện,…
• Sử dụng phép tính cộng, trừ trên các tần số để trả lời câu hỏi.

Ví dụ:

Một địa phương cho trẻ em từ 12 tháng tuổi trở lên tiêm vắc xin phòng viêm não Nhật Bản. Biểu đồ thống kê số mũi vắc xin mà 50 trẻ em từ 12 đến 24 tháng tuổi đã tiêm:

Từ biểu đồ, ta đọc được:

Trẻ em cần hoàn thành 3 mũi tiêm cơ bản. Vậy những trẻ chưa hoàn thành là những trẻ đã tiêm 0, 1 hoặc 2 mũi (tức là chưa đủ 3 mũi).

Số trẻ cần hoàn thành lộ trình:

$$4 + 12 + 26 = 42 \text{ (trẻ)}$$

Đáp án: C. 42

4. Sai lầm thường gặp

5. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Gạch đếm khi dãy dữ liệu dài: Viết các giá trị khác nhau ra nháp, sau đó duyệt dãy dữ liệu từ trái sang phải, mỗi lần gặp giá trị nào thì gạch một vạch bên cạnh giá trị đó. Cứ 5 vạch nhóm lại ($\cancel{||||}$) để dễ cộng. Cách này giúp tránh đếm sót hoặc đếm trùng.

Mẹo 2 – Kiểm tra bằng tổng tần số: Sau khi lập xong bảng, cộng tất cả các tần số lại. Nếu kết quả đúng bằng tổng số phần tử ban đầu thì bảng tần số đã đúng. Đây là cách kiểm tra nhanh và chắc chắn nhất.

Mẹo 3 – Đọc biểu đồ nhanh: Nhìn cột cao nhất (hoặc điểm cao nhất) → đó là giá trị có tần số lớn nhất (xuất hiện nhiều nhất). Nhìn cột thấp nhất → giá trị có tần số nhỏ nhất (xuất hiện ít nhất). Không cần đọc hết tất cả các cột nếu câu hỏi chỉ yêu cầu tìm giá trị phổ biến nhất.

Mẹo 4 – Xử lý dữ liệu không phải số: Khi giá trị là chữ (tên người, mức đánh giá,…), hãy gán ký hiệu ngắn cho mỗi giá trị trước khi đếm. Ví dụ: T = Tốt, K = Khá, TB = Trung bình, Km = Kém. Điều này giúp đếm nhanh hơn khi duyệt dãy dữ liệu dài.

6. Tổng kết

• Tần số của một giá trị là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.
• Bảng tần số liệt kê tất cả các giá trị khác nhau cùng tần số tương ứng. Giá trị có thể là số hoặc không phải số.
• Tổng các tần số luôn bằng cỡ mẫu: $m_1 + m_2 + \cdots + m_k = n$.
• Biểu đồ tần số là biểu đồ biểu diễn bảng tần số, gồm hai dạng phổ biến: dạng cột và dạng đoạn thẳng (đa giác tần số).
• Một biểu đồ cột chỉ là biểu đồ tần số khi trục đứng biểu diễn tần số.
• Khi vẽ biểu đồ, luôn nhớ ghi đầy đủ: tiêu đề, chú giải trục, giá trị tần số trên cột hoặc điểm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du