Bài toán mở đầu

Nguyệt thực là hiện tượng Mặt Trăng bị bóng của Trái Đất che khuất toàn bộ (nguyệt thực toàn phần) hay một phần. Do Mặt Trăng và bóng Trái Đất được xem là có dạng hình tròn nên nguyệt thực cho ta một hình ảnh thực tế về vị trí tương đối của hai đường tròn.

Chú ý: Sau đây, khi nói hai đường tròn mà không giải thích gì thêm, ta hiểu đó là hai đường tròn phân biệt (không trùng nhau).

1. Hai đường tròn cắt nhau

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O’; R’)$ với $R \geq R’$.

Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm.

Nhận xét. Hai đường tròn $(O; R)$ và $(O’; R’)$ cắt nhau khi:

$$R – R’ < OO’ < R + R’ \quad (\text{với } R \geq R’)$$

Ví dụ minh hoạ

Cho hai điểm $O$ và $O’$ sao cho $OO’ = 6$ cm. Hãy giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(O’; 4\text{ cm})$ cắt nhau.

Giải: Đặt $R = 5$, $R’ = 4$. Ta có: $R – R’ = 1 < 6 = OO’$ và $OO’ = 6 < 9 = R + R’$.

Vì $R – R’ < OO’ < R + R’$ nên hai đường tròn cắt nhau.

2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn có đúng một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm.

Có hai trường hợp:

• Tiếp xúc ngoài: Mỗi đường tròn nằm phía ngoài đường tròn kia (hai tâm nằm khác phía so với tiếp điểm).
• Tiếp xúc trong: Một đường tròn nằm bên trong đường tròn kia (hai tâm nằm cùng phía so với tiếp điểm).

Nhận xét:

Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

Ví dụ minh hoạ

Cho hai điểm $O$ và $O’$ sao cho $OO’ = 6$ cm. Giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và $(O’; 2\text{ cm})$ tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Giải: $R = 4$, $R’ = 2$. Ta có $OO’ = 6 = 4 + 2 = R + R’$.

Vì $OO’ = R + R’$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau.

3. Hai đường tròn không giao nhau

Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.

Có hai trường hợp:

• Ngoài nhau: Mỗi đường tròn nằm hoàn toàn bên ngoài đường tròn kia.
• Đựng nhau: Đường tròn này nằm hoàn toàn bên trong đường tròn kia.

Nhận xét:

Đặc biệt: Khi $O$ trùng $O’$ và $R \neq R’$ thì ta có hai đường tròn đồng tâm.

Bảng tổng kết vị trí tương đối

Tranh luận: Nói “hai đường tròn không cắt nhau” có đồng nghĩa với “hai đường tròn không giao nhau” không?

Trả lời: Sai. “Không cắt nhau” nghĩa là không có đúng 2 điểm chung, nhưng vẫn có thể có 1 điểm chung (tiếp xúc). “Không giao nhau” mới có nghĩa là 0 điểm chung.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề cho $R$, $R’$ và $OO’$ (hoặc mối quan hệ giữa chúng), yêu cầu xác định vị trí tương đối.

Phương pháp giải:

• Tính $R + R’$ và $|R – R’|$.
• So sánh $OO’$ với $R + R’$ và $|R – R’|$ theo bảng tổng kết.

Ví dụ 1. Cho hai điểm $O$ và $O’$ cách nhau 5 cm. Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn $(O; 3\text{ cm})$?

a) $(O’; 3\text{ cm})$ $\quad$ b) $(O’; 1\text{ cm})$ $\quad$ c) $(O’; 8\text{ cm})$

Lời giải chi tiết:

Đặt $R = 3$, $OO’ = 5$.

a) $R’ = 3$: $R + R’ = 6$, $|R – R’| = 0$. Vì $0 < 5 < 6$ nên hai đường tròn cắt nhau.

b) $R’ = 1$: $R + R’ = 4$, $|R – R’| = 2$. Vì $OO’ = 5 > 4 = R + R’$ nên hai đường tròn ngoài nhau (không giao nhau).

c) $R’ = 8$: $R + R’ = 11$, $|R – R’| = 5$. Vì $OO’ = 5 = |R – R’|$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và điểm $I$ cách $O$ một khoảng 2 cm. Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn $(I; r)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $r = 4$ cm $\quad$ b) $r = 6$ cm

Lời giải chi tiết:

$R = 5$, $OI = 2$.

a) $r = 4$: $R + r = 9$, $|R – r| = 1$. Vì $1 < 2 < 9$ nên hai đường tròn cắt nhau.

b) $r = 6$: $R + r = 11$, $|R – r| = 1$. Vì $1 < 2 < 11$ nên hai đường tròn cắt nhau.

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối khi ba điểm thẳng hàng (tiếp xúc)

Đặc điểm nhận dạng: Đề cho ba điểm $O$, $A$, $O’$ thẳng hàng, yêu cầu xác định tiếp xúc trong hay ngoài.

Phương pháp giải:

• Viết hệ thức $OO’ = OA + O’A$ hoặc $OO’ = OA – O’A$ tuỳ vị trí $A$.
• Nếu $OO’ = R + R’$ → tiếp xúc ngoài; nếu $OO’ = |R – R’|$ → tiếp xúc trong.

Ví dụ 3. Cho ba điểm thẳng hàng $O$, $A$ và $O’$. Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa $OO’$, $OA$ và $O’A$ rồi xét xem hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O’; O’A)$ tiếp xúc với nhau hay không, nếu có thì tiếp xúc trong hay ngoài. Vẽ hình minh hoạ.

a) Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $O$ và $O’$.

b) Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O’$.

c) Điểm $O’$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $R = OA$, $R’ = O’A$.

a) $A$ nằm giữa $O$ và $O’$: $OO’ = OA + O’A = R + R’$.

Vì $OO’ = R + R’$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$.

b) $O$ nằm giữa $A$ và $O’$: $O’A = OA + OO’$, tức $R’ = R + OO’$, suy ra $OO’ = R’ – R$.

Vì $R’ > R$ (do $O$ nằm giữa $A$ và $O’$) và $OO’ = R’ – R = |R – R’|$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại $A$ ($(O)$ nằm trong $(O’)$).

c) $O’$ nằm giữa $A$ và $O$: $OA = OO’ + O’A$, tức $R = OO’ + R’$, suy ra $OO’ = R – R’$.

Vì $R > R’$ và $OO’ = R – R’ = |R – R’|$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại $A$ ($(O’)$ nằm trong $(O)$).

Dạng 3: Bài toán tổng hợp (chứng minh song song, tiếp xúc)

Đặc điểm nhận dạng: Bài cho hai đường tròn tiếp xúc, kết hợp thêm đường thẳng cắt, yêu cầu chứng minh tính chất hình học.

Phương pháp giải:

• Sử dụng: tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm khi hai đường tròn tiếp xúc.
• Kết hợp tam giác cân (bán kính bằng nhau), tính chất góc, đường thẳng song song.

Ví dụ 4. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $B$ và cắt $(O’)$ tại $C$. Chứng minh rằng $OB \parallel O’C$.

Lời giải chi tiết:

Vì $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $O$, $A$, $O’$ thẳng hàng.

$\triangle OAB$ cân tại $O$ ($OA = OB = R$) nên $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$.

$\triangle O’AC$ cân tại $O’$ ($O’A = O’C = R’$) nên $\widehat{O’AC} = \widehat{O’CA}$.

Vì $B$, $A$, $C$ thẳng hàng (cùng thuộc đường thẳng qua $A$), và $O$, $A$, $O’$ thẳng hàng, ta có:

$$\widehat{OAB} = \widehat{O’AC} \quad \text{(đối đỉnh)}$$

Suy ra $\widehat{OBA} = \widehat{O’CA}$.

Vì $\widehat{OBA}$ và $\widehat{O’CA}$ là hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong (đối với hai đường thẳng $OB$, $O’C$ và cát tuyến $BC$) nên:

$$OB \parallel O’C \quad \square$$

Ví dụ 5. Cho hai điểm $O$ và $O’$ sao cho $OO’ = 2$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(O’; r)$, biết rằng $r < 3$ cm.

Lời giải chi tiết:

$R = 5$, $OO’ = 2$, $r < 3$.

$R + r = 5 + r$. Vì $r > 0$ nên $R + r > 5 > 2 = OO’$, tức $OO’ < R + r$.

$R – r = 5 – r$. Vì $r < 3$ nên $R – r > 2$, tức $OO’ < R – r$.

Khi $OO’ < R – r$ (với $R > r$), hai đường tròn ở vị trí đựng nhau ($(O’)$ nằm trong $(O)$).

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1. Hai đường tròn $(O; 3)$ và $(O’; 5)$ cắt nhau khi:

A. $OO’ = 8$ B. $OO’ = 2$ C. $OO’ = 5$ D. $OO’ = 9$

Đáp án: C. Điều kiện cắt nhau: $|R – R’| < OO’ < R + R’$, tức $2 < OO’ < 8$. Chỉ $OO’ = 5$ thoả mãn.

Câu 2. Hai đường tròn $(O; 4)$ và $(O’; 6)$ tiếp xúc ngoài khi:

A. $OO’ = 2$ B. $OO’ = 10$ C. $OO’ = 8$ D. $OO’ = 6$

Đáp án: B. Tiếp xúc ngoài: $OO’ = R + R’ = 4 + 6 = 10$.

Câu 3. Hai đường tròn $(O; 7)$ và $(O’; 3)$ tiếp xúc trong khi:

A. $OO’ = 10$ B. $OO’ = 4$ C. $OO’ = 3$ D. $OO’ = 7$

Đáp án: B. Tiếp xúc trong: $OO’ = R – R’ = 7 – 3 = 4$.

Câu 4. Nói “hai đường tròn không cắt nhau” cũng có nghĩa là “hai đường tròn không giao nhau”. Đúng hay sai?

A. Đúng B. Sai

Đáp án: B. “Không cắt nhau” có thể bao gồm tiếp xúc (1 điểm chung) hoặc không giao nhau (0 điểm chung).

Câu 5. Hai đường tròn $(O; 2)$ và $(O’; 5)$ với $OO’ = 1$. Vị trí tương đối của chúng là:

A. Cắt nhau B. Tiếp xúc trong C. Đựng nhau D. Ngoài nhau

Đáp án: C. $|R – R’| = 3 > 1 = OO’$ nên $(O)$ đựng trong $(O’)$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Trục số: Đặt $OO’$ trên trục số, so sánh với $R + R’$ và $|R – R’|$ theo thứ tự: đựng → tiếp xúc trong → cắt nhau → tiếp xúc ngoài → ngoài nhau.

Mẹo 2 — Nhớ nhanh 5 trường hợp: $OO’$ tăng dần từ 0 → vị trí lần lượt: đựng nhau, tiếp xúc trong, cắt nhau, tiếp xúc ngoài, ngoài nhau.

Mẹo 3 — Tiếp xúc = thẳng hàng: Khi hai đường tròn tiếp xúc, ba điểm (hai tâm + tiếp điểm) luôn thẳng hàng. Tính chất này dùng rất nhiều trong chứng minh.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh: Tính $R + R’$ và $|R – R’|$, kiểm tra $OO’$ rơi vào khoảng nào là biết ngay vị trí tương đối.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du