Menu Học Tập

Bài tập Toán 9 Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (22 bài tập)

Lớp 9 · Toán Bài 21

Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

Phương pháp 3 bước và các dạng bài: hình học, chuyển động, tăng trưởng, năng suất

1
Phương pháp 3 bước & Bài toán hình học
▼

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, ta thực hiện theo 3 bước:

1
Lập phương trình
• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
2
Giải phương trình
Áp dụng các phương pháp đã học (công thức $\Delta$, $\Delta'$, định lí Viète, nhẩm nghiệm,...) để tìm nghiệm của phương trình bậc hai vừa lập.
3
Trả lời (kiểm tra & kết luận)
Đối chiếu các nghiệm với điều kiện ban đầu của ẩn → loại nghiệm không thoả mãn → kết luận đáp số bài toán.

🔵 Dạng 1 — Bài toán hình học (kích thước, diện tích, thể tích):

1
Gọi ẩn là một kích thước (chiều rộng, cạnh,...), đặt điều kiện dương.
2
Biểu diễn các kích thước còn lại theo ẩn (dựa vào quan hệ đề bài cho).
3
Lập PT từ diện tích hoặc thể tích đã cho.
Ví dụ 1 — Sân bóng đá

Một sân bóng đá có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài $20$ m và diện tích bằng $1\,500$ m². Tính chiều dài và chiều rộng của sân bóng.

Chiều dài $= x + 20$ (m) $x$ (m) Diện tích $= 1\,500$ m²

Bước 1 — Lập PT:

• Gọi $x$ (m) là chiều rộng sân bóng. ĐK: $x > 0$.
• Chiều dài: $x + 20$ (m).
• Diện tích: $x(x + 20) = 1\,500 \Rightarrow x^2 + 20x - 1\,500 = 0$.

Bước 2 — Giải PT:

→$\Delta' = 10^2 + 1\,500 = 1\,600 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = 40$.
→$x_1 = -10 + 40 = 30$ ✓; $x_2 = -10 - 40 = -50$ (loại vì $x > 0$).

Bước 3 — Kết luận: Sân bóng có chiều rộng $30$ m, chiều dài $50$ m.

💡Mẹo cho bài toán hình học:
• Khi đề cho mối quan hệ giữa hai kích thước (hơn/kém, gấp,...), gọi ẩn là kích thước nhỏ hơn để biểu thức không có dấu trừ.
• Nếu cho chu vi và diện tích: gọi $d, r$ rồi dùng định lí Viète đảo (PT $x^2 - Sx + P = 0$).
2
Dạng 2 — Bài toán chuyển động
▼
Công thức cơ bản
Quãng đường $= $ Vận tốc $\times$ Thời gian
$s = v \cdot t \;\Rightarrow\; v = \dfrac{s}{t}, \; t = \dfrac{s}{v}$

🔵 Phương pháp giải:

1
Gọi ẩn là vận tốc hoặc thời gian, đặt ĐK phù hợp.
2
Lập bảng tóm tắt các đại lượng (vận tốc, thời gian, quãng đường) theo ẩn.
3
Lập PT từ mối quan hệ thời gian hoặc quãng đường.
⚠️Lưu ý quan trọng:
• Đổi đơn vị thời gian: Khi vận tốc tính theo km/h thì thời gian phải đổi ra giờ: $30$ phút $= 0{,}5$ h, $96$ phút $= 1{,}6$ h.
• Bài toán dòng nước: Vận tốc xuôi dòng $= v_{thực} + v_{nước}$; vận tốc ngược dòng $= v_{thực} - v_{nước}$.
Ví dụ 2 — Bài toán dòng nước

Khoảng cách giữa hai bến sông $A$ và $B$ là $35$ km. Một tàu du lịch đi từ $A$ đến $B$, nghỉ $30$ phút ở $B$ rồi quay về $A$. Tổng thời gian là $6{,}5$ giờ. Tìm vận tốc thực của tàu, biết vận tốc dòng nước là $2$ km/h.

Bước 1 — Phân tích & lập PT:

• Gọi $x$ (km/h) là vận tốc thực của tàu, ĐK: $x > 2$.
• Vận tốc xuôi dòng: $x + 2$ → thời gian đi: $\dfrac{35}{x + 2}$ (h).
• Vận tốc ngược dòng: $x - 2$ → thời gian về: $\dfrac{35}{x - 2}$ (h).
• Thời gian nghỉ: $30$ phút $= 0{,}5$ h.
→$\dfrac{35}{x + 2} + 0{,}5 + \dfrac{35}{x - 2} = 6{,}5 \Rightarrow \dfrac{35}{x + 2} + \dfrac{35}{x - 2} = 6$

Bước 2 — Giải PT: Quy đồng và nhân chéo:

→$\dfrac{35(x - 2) + 35(x + 2)}{x^2 - 4} = 6 \Rightarrow \dfrac{70x}{x^2 - 4} = 6$
→$70x = 6(x^2 - 4) \Rightarrow 6x^2 - 70x - 24 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 35x - 12 = 0$
→$\Delta = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$.
→$x_1 = \dfrac{35 + 37}{6} = 12$ ✓; $x_2 = \dfrac{35 - 37}{6} = -\dfrac{1}{3}$ (loại vì $x > 2$).

Bước 3 — Kết luận: Vận tốc thực của tàu là $12$ km/h.

📊Mẹo lập bảng: Với bài toán chuyển động, lập bảng 3 cột (vận tốc, thời gian, quãng đường) giúp thấy rõ mối quan hệ:
Vận tốcThời gianQuãng đường
Đi xuôi$x + 2$$\dfrac{35}{x+2}$$35$
Đi ngược$x - 2$$\dfrac{35}{x-2}$$35$
3
Dạng 3 — Bài toán tăng trưởng (lãi kép, dân số)
▼

🔵 Công thức tăng trưởng kép: Sau $n$ kì với tỉ lệ tăng $x$ mỗi kì, giá trị cuối được tính:

Công thức lãi kép / tăng trưởng
$A_n = A_0 \cdot (1 + x)^n$
Với: $A_0$: giá trị đầu — $A_n$: giá trị sau $n$ kì — $x$: tỉ lệ tăng mỗi kì

🔵 Phương pháp giải:

1
Gọi $x$ là tỉ lệ tăng mỗi kì ($x > 0$, $x$ ở dạng số thập phân).
2
Lập PT $A_0 (1 + x)^n = A_n$.
3
Với $n = 2$: $(1 + x)^2 = \dfrac{A_n}{A_0} \Rightarrow 1 + x = \sqrt{\dfrac{A_n}{A_0}}$ (lấy nghiệm dương) $\Rightarrow x$.
📌Lưu ý: Kết quả $x$ thường ở dạng số thập phân — phải đổi sang phần trăm. Ví dụ $x = 0{,}1 = 10\%$, $x = 0{,}05 = 5\%$.
Ví dụ 3 — Bài toán mở đầu (lãi kép)

Bác Lan gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng với kì hạn $12$ tháng theo thể thức lãi kép. Sau $2$ năm, bác nhận được $118{,}81$ triệu đồng. Tìm lãi suất hằng năm.

$100$ tr Năm 0 → $100(1+x)$ Năm 1 → $118{,}81$ tr Năm 2 Tăng trưởng theo lãi kép

Bước 1 — Lập PT:

• Gọi $x$ là lãi suất mỗi năm ($x > 0$, dạng thập phân).
• Sau năm $1$: $100(1 + x)$ (triệu).
• Sau năm $2$: $100(1 + x)^2$ (triệu).
→$100(1 + x)^2 = 118{,}81$

Bước 2 — Giải PT:

→$(1 + x)^2 = \dfrac{118{,}81}{100} = 1{,}1881$
→$1 + x = \sqrt{1{,}1881} = 1{,}09$ (vì $x > 0 \Rightarrow 1 + x > 0$).
→$x = 0{,}09 = 9\%$.

Bước 3 — Kết luận: Lãi suất gửi tiết kiệm là $9\%$ một năm.

⚠️Sai lầm thường gặp: Viết "$100 + 100 \cdot 2x$" hoặc "$100 \cdot 2x$" thay vì $100(1+x)^2$. Lãi kép tính theo công thức $(1+x)^n$, KHÔNG phải lãi đơn cộng dồn.
4
Dạng 4 — Bài toán năng suất / công việc
▼
Công thức cơ bản
Tổng sản phẩm $= $ Năng suất $\times$ Thời gian
$T = N \cdot t \;\Rightarrow\; N = \dfrac{T}{t}, \; t = \dfrac{T}{N}$

🔵 Phương pháp giải:

1
Gọi ẩn là năng suất (số sản phẩm/ngày) hoặc thời gian theo kế hoạch.
2
Lập PT dựa vào mối quan hệ giữa kế hoạch và thực tế (làm nhanh hơn, hoàn thành sớm hơn,...).
3
Đặt ĐK: nếu là số xe, số người, số sản phẩm → ẩn phải nguyên dương.
Ví dụ 4 — Đội xe tải

Một đội xe tải cần chở $120$ tấn hàng. Khi làm việc, có $2$ xe phải điều chuyển đi nơi khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm $3$ tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

Bước 1 — Lập bảng & PT:

Số xeHàng/xeTổng
Ban đầu$x$$\dfrac{120}{x}$$120$
Thực tế$x - 2$$\dfrac{120}{x} + 3$$120$
• Gọi $x$ là số xe ban đầu ($x > 2$, $x \in \mathbb{N}^*$).
→$(x - 2)\left(\dfrac{120}{x} + 3\right) = 120$

Bước 2 — Giải PT:

→$120 - \dfrac{240}{x} + 3x - 6 = 120 \Rightarrow 3x - \dfrac{240}{x} - 6 = 0$
→Nhân $x$: $3x^2 - 6x - 240 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 80 = 0$
→$\Delta' = 1 + 80 = 81 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = 9$.
→$x_1 = 1 + 9 = 10$ ✓; $x_2 = 1 - 9 = -8$ (loại vì $x > 2$).

Bước 3 — Kết luận: Đội xe ban đầu có $10$ xe tải.

Kiểm tra: Ban đầu $10$ xe × $12$ tấn $= 120$ ✓. Thực tế $8$ xe × $15$ tấn $= 120$ ✓.

⚡Mẹo quy đồng nhanh: Khi PT có dạng phân số $\dfrac{A}{f(x)} = B$ hoặc $\dfrac{A}{f(x)} + \dfrac{C}{g(x)} = D$, hãy nhân chéo / quy đồng để khử mẫu, sau đó được PT bậc hai chuẩn.
5
Tổng kết & ôn tập thêm
▼

📋 Tổng kết các dạng bài:

Dạng bàiẨn thường đặtChú ý
Hình họcMột cạnh (rộng/cạnh)ĐK: cạnh $> 0$
Chuyển độngVận tốcĐổi phút → giờ; xuôi/ngược dòng
Tăng trưởng (lãi, dân số)Tỉ lệ tăng $x$$x > 0$; kết quả đổi ra %
Năng suấtNăng suất hoặc số đơn vịĐK nguyên dương nếu cần

📋 3 bước giải bài toán bằng cách lập PT:

BướcNội dung
Bước 1Chọn ẩn, đặt ĐK, biểu diễn các đại lượng theo ẩn, lập PT
Bước 2Giải phương trình bậc hai (dùng $\Delta$, $\Delta'$ hoặc Viète)
Bước 3Kiểm tra nghiệm với ĐK, kết luận đáp số
📚 Để ôn lại đầy đủ kiến thức, công thức, mẹo giải và các thông tin chi tiết khác, các em xem bài lý thuyết tại:
🔗 Xem bài lý thuyết chi tiết
1
—
Điểm: 0/22
📝

Luyện tập giải bài toán bằng PT bậc hai!

22 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 9 Bài 32: Hình cầu (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 31: Hình trụ và hình nón (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 30: Đa giác đều (20 bài tập) ( 03/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 29: Tứ giác nội tiếp (20 bài tập) ( 02/05 )

Bài tập Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác (20 bài tập) ( 02/05 )