Phép Thử Ngẫu Nhiên Và Không Gian Mẫu
Khái niệm phép thử, không gian mẫu $\Omega$ và cách liệt kê các kết quả có thể
Ở lớp 8 các em đã quen với những hành động đơn giản mà kết quả không thể biết trước khi thực hiện — như tung một đồng xu hay gieo một con xúc xắc. Trong bài này, ta sẽ gặp những phép thử phức tạp hơn được tiến hành liên tiếp hoặc đồng thời.
🔵 Một số ví dụ về phép thử ngẫu nhiên:
Khi tung 1 đồng xu, ta không biết trước mặt nào sẽ xuất hiện. Nhưng có thể liệt kê $2$ kết quả có thể: mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N).
Khi gieo 1 xúc xắc, có $6$ kết quả có thể: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ chấm.
Đây là phép thử phức tạp hơn vì gồm hai hành động đồng thời. Ta vẫn không biết trước kết quả, nhưng có thể liệt kê được tất cả các cặp kết quả có thể (sẽ làm chi tiết ở Card 2).
🔵 Ví dụ ngắn:
🔵 Khi phép thử có $2$ bước (đồng thời hoặc liên tiếp), ta dùng BẢNG KÊ HAI CHIỀU để liệt kê đầy đủ:
Bước 1 — Xác định kết quả mỗi hành động:
Bước 2 — Lập bảng kê (hàng = xúc xắc, cột = đồng xu):
| Xúc xắc \ Đồng xu | S | N |
|---|---|---|
| 1 | (1; S) | (1; N) |
| 2 | (2; S) | (2; N) |
| 3 | (3; S) | (3; N) |
| 4 | (4; S) | (4; N) |
| 5 | (5; S) | (5; N) |
| 6 | (6; S) | (6; N) |
Bước 3 — Liệt kê không gian mẫu:
$(1;N); (2;N); (3;N); (4;N); (5;N); (6;N)\}$
→ Bảng có $6 \times 2 = \mathbf{12}$ ô → không gian mẫu có $12$ phần tử.
🔵 Đặc điểm: Phần tử lấy ra ở lần đầu không được bỏ vào lại trong hộp/túi → không thể xuất hiện ở lần tiếp theo. Vì vậy, hai lần lấy phải cho kết quả khác nhau ($a \neq b$).
(các ô có 2 giá trị trùng nhau như $(1;1), (2;2),\ldots$).
Một hộp đựng $3$ quả bóng cùng kích thước, đánh số $1, 2, 3$. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng, quả lấy ra lần đầu không trả lại. Mô tả $\Omega$.
Bước 1 — Lập bảng kê (hàng = lần 1, cột = lần 2):
| Lần 1 \ Lần 2 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | (1;1) | (1;2) | (1;3) |
| 2 | (2;1) | (2;2) | (2;3) |
| 3 | (3;1) | (3;2) | (3;3) |
Bước 2 — Gạch các ô trên đường chéo (vì lấy không trả lại, hai quả phải khác nhau): $(1;1), (2;2), (3;3)$.
Bước 3 — Liệt kê không gian mẫu:
→ Bảng có $3 \times 3 = 9$ ô, gạch bỏ $3$ ô → không gian mẫu có $9 - 3 = \mathbf{6}$ phần tử.
Số phần tử $\Omega = n \times (n - 1)$.
Ví dụ trên: $n = 3 \Rightarrow 3 \times 2 = 6$ ✓.
Lấy $1$ phần tử từ mỗi nhóm. Vì các nhóm khác nhau nên không có trùng lặp → tất cả ô trong bảng đều hợp lệ.
Công thức: $n(\Omega) = n_1 \times n_2$ (tích số phần tử mỗi nhóm).
Bạn Nam có $2$ áo (kí hiệu $A_1, A_2$) và $3$ quần ($Q_1, Q_2, Q_3$). Chọn ngẫu nhiên $1$ áo và $1$ quần.
| Áo \ Quần | $Q_1$ | $Q_2$ | $Q_3$ |
|---|---|---|---|
| $A_1$ | ($A_1, Q_1$) | ($A_1, Q_2$) | ($A_1, Q_3$) |
| $A_2$ | ($A_2, Q_1$) | ($A_2, Q_2$) | ($A_2, Q_3$) |
→ $n(\Omega) = 2 \times 3 = \mathbf{6}$ phần tử.
Sắp xếp $n$ phần tử theo thứ tự — số cách sắp xếp được tính bằng cách nhân số cách chọn cho từng vị trí:
Giải thích: Vị trí thứ nhất có $n$ cách chọn (chọn $1$ trong $n$ phần tử). Vị trí thứ hai còn $n-1$ cách chọn. Vị trí thứ ba còn $n-2$ cách chọn. Cứ thế đến vị trí cuối cùng chỉ còn $1$ cách chọn.
Xếp ngẫu nhiên $3$ bạn An (A), Bình (B), Cường (C) trên một ghế dài. Liệt kê tất cả cách xếp:
→ $n(\Omega) = 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{6}$ phần tử.
Khi $2$ phần tử lấy ra nhận kết quả như nhau (ví dụ cùng nhận quà giống nhau) — thì $(A, B)$ và $(B, A)$ là cùng một kết quả → chỉ tính $1$ lần.
Công thức: Lấy $2$ phần tử từ $n$ phần tử, không trả lại, không thứ tự: $n(\Omega) = \dfrac{n \times (n-1)}{2}$.
Cửa hàng tặng quà cho $2$ trong $4$ khách hàng A, B, C, D (quà giống nhau). Liệt kê:
Vì quà giống nhau, $\{A, B\} \equiv \{B, A\}$ → chỉ tính $1$ lần. Liệt kê các cặp khác nhau:
→ $n(\Omega) = \dfrac{4 \times 3}{2} = \mathbf{6}$ phần tử.
Hỏi: "Đổi vị trí hai kết quả thì có ý nghĩa khác nhau không?"
• Có ý nghĩa khác → có thứ tự (ví dụ: lần 1 lần 2, vị trí ngồi).
• Không khác → không thứ tự (ví dụ: cùng nhận quà giống nhau).
📋 Bảng tổng kết các loại phép thử:
| Loại phép thử | Số phần tử $\Omega$ |
|---|---|
| Đồng thời $2$ phép thử (hoặc lấy có trả lại) | $n_1 \times n_2$ |
| Chọn $1$ từ mỗi nhóm trong $2$ nhóm | $n_1 \times n_2$ |
| Lấy lần lượt $2$ từ $n$, KHÔNG trả lại, có thứ tự | $n \times (n - 1)$ |
| Lấy $2$ từ $n$, KHÔNG trả lại, không thứ tự (rút thăm) | $\dfrac{n \times (n-1)}{2}$ |
| Sắp xếp $n$ phần tử theo thứ tự | $n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1$ |
Cùng luyện tập về phép thử ngẫu nhiên!
22 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du