Xác Suất Của Biến Cố Liên Quan Tới Phép Thử
Biến cố, kết quả thuận lợi và công thức tính xác suất $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$
Khi thực hiện một phép thử, ta thường quan tâm đến những sự kiện nhất định có xảy ra hay không. Những sự kiện đó gọi là biến cố.
tùy thuộc vào kết quả của phép thử.
🔵 Kết quả thuận lợi cho biến cố:
Kết quả của $T$ làm cho biến cố $E$ xảy ra
được gọi là kết quả thuận lợi cho $E$.
Nói cách khác: trong tất cả các kết quả của không gian mẫu $\Omega$, những kết quả nào thoả mãn điều kiện của biến cố $E$ thì là kết quả thuận lợi cho $E$.
Một tấm bìa hình tròn được chia thành $4$ hình quạt bằng nhau, đánh số $1, 2, 3, 4$. Bạn Nam quay tấm bìa $2$ lần, ghi lại số mà mũi tên chỉ vào.
Bước 1 — Mô tả không gian mẫu: Lập bảng kê (hàng = lần 1, cột = lần 2), $n(\Omega) = 4 \times 4 = 16$.
Bước 2 — Tìm kết quả thuận lợi cho biến cố $E$: "Tổng hai số bằng $5$":
| Lần 1 \ Lần 2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (1;1) | (1;2) | (1;3) | (1;4) |
| 2 | (2;1) | (2;2) | (2;3) | (2;4) |
| 3 | (3;1) | (3;2) | (3;3) | (3;4) |
| 4 | (4;1) | (4;2) | (4;3) | (4;4) |
→ Có $4$ kết quả thuận lợi cho $E$: $(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)$.
🔵 Đồng khả năng là gì? Các kết quả của phép thử được gọi là đồng khả năng nếu khả năng xảy ra của mỗi kết quả là như nhau. Ví dụ: xúc xắc cân đối, đồng xu cân đối, rút ngẫu nhiên...
🔵 Trong đó:
• $P(E) = 0$ → biến cố $E$ không thể xảy ra.
• $P(E) = 1$ → biến cố $E$ chắc chắn xảy ra.
• $P(E)$ càng gần $1$ → $E$ càng dễ xảy ra.
🔵 Bốn bước tính xác suất của biến cố:
Xếp ngẫu nhiên $3$ bạn An (A), Bình (B), Cường (C) trên một ghế dài có $3$ chỗ. Tính xác suất:
a) $E$: "An ngồi ở vị trí đầu tiên".
b) $F$: "Bình và Cường ngồi cạnh nhau".
Bước 1 — Liệt kê $\Omega$:
Bước 2 — Đồng khả năng: Vì xếp ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng.
Bước 3 — Kết quả thuận lợi:
Bước 4 — Tính xác suất:
Khi gieo $2$ con xúc xắc, hoặc gieo $1$ đồng xu + rút $1$ thẻ, ta dùng bảng kê $2$ chiều để liệt kê đầy đủ kết quả. Sau đó, tuỳ vào yêu cầu của biến cố, ta đếm số ô thoả mãn.
🔵 Phân biệt "đúng MỘT" và "ÍT NHẤT một":
Ví dụ: đúng $1$ xúc xắc xuất hiện $5$ chấm → loại trường hợp cả $2$ đều $5$ chấm.
Ví dụ: ít nhất $1$ xúc xắc xuất hiện $5$ chấm → bao gồm cả trường hợp cả $2$ đều $5$ chấm.
🔵 Phân biệt "VÀ" và "HOẶC":
Ví dụ: thẻ chẵn VÀ xu sấp → ô phải thoả cả "thẻ chẵn" và "xu sấp".
Lưu ý: không đếm trùng những ô thoả cả hai!
Gieo đồng thời $2$ con xúc xắc I và II. Tính xác suất:
a) $E$: "Đúng $1$ xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm".
b) $F$: "Ít nhất $1$ xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm".
Bước 1 + 2: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Vì xúc xắc cân đối, các kết quả đồng khả năng.
Bước 3 — Đếm kết quả thuận lợi:
Bước 4 — Tính xác suất:
$P(F) = 1 - P(\bar{F})$
Ví dụ: $\bar{F}$ = "không xúc xắc nào ra mặt $5$" → $n(\bar{F}) = 5 \times 5 = 25$ → $P(F) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$ ✓
Lập bảng kê $2$ chiều: hàng = thẻ túi I, cột = thẻ túi II. Mỗi ô là cặp hoặc kết quả ghép (tích, tổng, số tạo thành,...).
Hai túi I và II, mỗi túi chứa $4$ thẻ ghi $1, 2, 3, 4$. Rút từ mỗi túi $1$ thẻ và nhân hai số. Tính xác suất biến cố $A$: "Tích là số lẻ".
Bước 1 — Lập bảng tích:
| Túi I \ Túi II | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| 2 | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ |
| 3 | $3$ | $6$ | $9$ | $12$ |
| 4 | $4$ | $8$ | $12$ | $16$ |
$n(\Omega) = 4 \times 4 = 16$.
Bước 2 — Tích lẻ ⇔ cả $2$ thừa số đều lẻ: số lẻ trong $\{1,2,3,4\}$ là $1, 3$. Các cặp: $(1;1), (1;3), (3;1), (3;3)$ → $n(A) = 4$.
Bước 3: $P(A) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$.
Mỗi cây có $2$ allele cho một gene. Khi lai, cây con nhận $1$ allele từ cây bố và $1$ allele từ cây mẹ.
Lai $2$ cây đậu Hà Lan, biết:
• Allele trội $A$ → hạt vàng; lặn $a$ → hạt xanh.
• Cây bố kiểu gene $Aa$, cây mẹ kiểu gene $Aa$.
Tính xác suất cây con có hạt xanh.
Bước 1 — Lập bảng tổ hợp gene cây con:
| Bố \ Mẹ | $A$ | $a$ |
|---|---|---|
| $A$ | $AA$ | $Aa$ |
| $a$ | $aA$ | $aa$ |
$\Omega = \{AA; Aa; aA; aa\}$, $n(\Omega) = 4$. Các kết quả đồng khả năng.
Bước 2 — Hạt xanh = kiểu hình lặn: cần cả $2$ allele đều lặn → kiểu gene $aa$ → chỉ $1$ kết quả thuận lợi.
Bước 3: $P(\text{hạt xanh}) = \dfrac{1}{4}$.
Ngược lại, $P(\text{hạt vàng}) = \dfrac{3}{4}$ (ô màu vàng).
📋 Bảng tổng kết các loại phép thử và $n(\Omega)$:
| Phép thử | $n(\Omega)$ |
|---|---|
| Gieo $1$ xúc xắc + tung $1$ đồng xu | $6 \times 2 = 12$ |
| Gieo $2$ con xúc xắc | $6 \times 6 = 36$ |
| Tung $1$ đồng xu + rút $1$ thẻ từ $k$ thẻ | $2 \times k$ |
| Rút $1$ thẻ từ mỗi túi ($m$ và $n$ thẻ) | $m \times n$ |
| Xếp $n$ người trên ghế dài | $n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1$ |
Cùng luyện tập về xác suất nào!
22 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du