Ý tưởng chứng minh (tóm tắt): Hai điểm $B, D$ chia đường tròn thành hai cung, có tổng số đo $360°$. Vì $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$ là hai góc nội tiếp chắn hai cung đó, nên $\widehat{A} + \widehat{C} = \dfrac{1}{2} \cdot 360° = 180°$. Tương tự với $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$.

🔵 Hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường:

Vì $M$ cách đều bốn đỉnh nên hình chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn tâm $M$.

Hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $M$

🔵 Hình vuông: Là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật nên cũng nội tiếp được đường tròn. Với hình vuông cạnh $a$, đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ nên $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

🔵 Dạng 1 — Hình bình hành nội tiếp đường tròn:

🔵 Dạng 2 — Hình thang nội tiếp đường tròn:

🔵 Dạng 3 — Đẳng thức tích từ hai cát tuyến qua điểm ngoài đường tròn:

Khi từ một điểm $I$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai đường thẳng cắt $(O)$ tại $A, B$ và $C, D$ (với $A$ giữa $I$ và $B$; $C$ giữa $I$ và $D$), ta luôn có:

Cách chứng minh: Tứ giác $ABDC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ → tổng hai góc đối $= 180°$ → suy ra cặp góc bằng nhau (do kề bù). Từ đó $\triangle IBD \sim \triangle ICA$ (g.g) → $\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{ID}{IA}$ → $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

🔵 Dạng 4 — Tính diện tích HCN từ bán kính ngoại tiếp: