Mở đầu trang 55

Đề bài: Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một thanh đòn $AB$, luôn có duy nhất một điểm $M$ thuộc $AB$ để nếu đặt trụ đỡ tại $M$ thì thanh đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong những trường hợp tổng quát hơn,… Trong Vật lí, điểm $M$ như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm.

Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí điểm khối tâm của một hệ chất điểm.

Lời giải:

Bài học giới thiệu khái niệm tích của một vectơ với một số, từ đó cho phép xác định điểm khối tâm $M$ của hệ chất điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n$ với khối lượng tương ứng $m_1, m_2, \ldots, m_n$ thông qua đẳng thức vectơ:

$$m_1 \vec{MA_1} + m_2 \vec{MA_2} + \cdots + m_n \vec{MA_n} = \vec{0}.$$

Việc xác định điểm khối tâm được quy về bài toán hình học: tìm điểm $M$ thoả mãn đẳng thức vectơ trên.

1. Tích của một vectơ với một số

HĐ1 (trang 55)

Đề bài: Cho vectơ $\vec{AB} = \vec{a}$. Hãy xác định điểm $C$ sao cho $\vec{BC} = \vec{a}$.

a) Tìm mối quan hệ giữa $\vec{AC}$ và $\vec{a} + \vec{a}$.

b) Vectơ $\vec{a} + \vec{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ $\vec{a}$?

Lời giải:

Vì $\vec{BC} = \vec{a} = \vec{AB}$, hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng và cùng độ dài → ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng, $B$ nằm giữa $A$ và $C$, và $AB = BC$.

a) Áp dụng quy tắc ba điểm:

$$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{a}.$$

Vậy $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{a}$.

b) Vì $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$ cùng hướng, nên $\vec{a} + \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$.

Độ dài: $AC = AB + BC = 2 \cdot AB$, nên $|\vec{a} + \vec{a}| = 2|\vec{a}|$.

Kết luận: $\vec{a} + \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài gấp đôi $\vec{a}$. Ta kí hiệu $\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$.

Câu hỏi trang 55

Đề bài: $1 \cdot \vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau hay không?

Lời giải:

Theo định nghĩa: tích $k\vec{a}$ (với $k > 0$, $\vec{a} \neq \vec{0}$) là vectơ cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $k|\vec{a}|$.

Với $k = 1$:

• $1 \cdot \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ (vì $1 > 0$).
• $|1 \cdot \vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$.

Vậy $1 \cdot \vec{a}$ và $\vec{a}$ có cùng hướng và cùng độ dài → $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

HĐ2 (trang 56)

Đề bài: Trên một trục số, gọi $O, A, M, N$ tương ứng biểu diễn các số $0; 1; \sqrt{2}; -\sqrt{2}$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ $\vec{OM}, \vec{ON}$ với vectơ $\vec{a} = \vec{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{OM}$ và $\vec{OA}$.

Lời giải:

Trên trục số, các điểm $O(0), A(1), M(\sqrt{2}), N(-\sqrt{2})$:

Vectơ $\vec{OM}$: đi từ $O$ (số $0$) đến $M$ (số $\sqrt{2}$), hướng dương (cùng hướng với $\vec{OA}$), độ dài $OM = \sqrt{2}$.

So với $\vec{OA}$: cùng hướng và độ dài gấp $\sqrt{2}$ lần.

$$\vec{OM} = \sqrt{2} \cdot \vec{OA} = \sqrt{2}, \vec{a}.$$

Vectơ $\vec{ON}$: đi từ $O$ (số $0$) đến $N$ (số $-\sqrt{2}$), hướng âm (ngược hướng với $\vec{OA}$), độ dài $ON = \sqrt{2}$.

So với $\vec{OA}$: ngược hướng và độ dài gấp $\sqrt{2}$ lần.

$$\vec{ON} = -\sqrt{2} \cdot \vec{OA} = -\sqrt{2}, \vec{a}.$$

Câu hỏi trang 56

Đề bài: $-\vec{a}$ và $(-1)\vec{a}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

• $-\vec{a}$ là vectơ đối của $\vec{a}$: cùng độ dài, ngược hướng với $\vec{a}$.
• $(-1)\vec{a}$ theo định nghĩa nhân vectơ với số (với $k = -1 < 0$): ngược hướng với $\vec{a}$, độ dài $|-1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$.

Hai vectơ này có cùng độ dài và cùng ngược hướng với $\vec{a}$ → bằng nhau:

$$-\vec{a} = (-1)\vec{a}.$$

Luyện tập 1 (trang 56)

Đề bài: Cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi tồn tại số $t$ để $\vec{AM} = t\vec{AB}$.

b) Với điểm $M$ bất kì, ta luôn có $\vec{AM} = \dfrac{AM}{AB} \vec{AB}$.

c) Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ khi và chỉ khi tồn tại số $t \leq 0$ để $\vec{AM} = t\vec{AB}$.

Lời giải:

a) ĐÚNG. Theo Ví dụ 1 của bài: hai vectơ $\vec{AM}$ và $\vec{AB}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại số $t$ để $\vec{AM} = t\vec{AB}$. Mà $\vec{AM}, \vec{AB}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $M$ thuộc đường thẳng $d = AB$. (Trường hợp $t = 0$ cho $M = A$, vẫn thuộc $d$.)

b) SAI. Nếu $M$ không thuộc đường thẳng $d$, thì $\vec{AM}$ không cùng phương với $\vec{AB}$ → không tồn tại số $k$ để $\vec{AM} = k\vec{AB}$ → đẳng thức sai. Ngay cả khi $M$ thuộc $d$ nhưng nằm trên tia đối của tia $AB$, thì $\vec{AM}$ ngược hướng với $\vec{AB}$, đẳng thức đúng phải là $\vec{AM} = -\dfrac{AM}{AB}\vec{AB}$.

c) ĐÚNG. Xét hai chiều:

• $(\Rightarrow)$ Nếu $M$ thuộc tia đối của tia $AB$: hoặc $M \equiv A$ (lấy $t = 0$), hoặc $M$ nằm về phía ngược với $B$ từ $A$ (khi đó $\vec{AM}$ ngược hướng với $\vec{AB}$, tồn tại $t < 0$ sao cho $\vec{AM} = t\vec{AB}$).
• $(\Leftarrow)$ Nếu tồn tại $t \leq 0$ để $\vec{AM} = t\vec{AB}$: với $t = 0$ thì $M \equiv A$; với $t < 0$ thì $\vec{AM}$ ngược hướng $\vec{AB}$ → $M$ thuộc tia đối của tia $AB$.

Kết luận: Các khẳng định đúng là a và c. Khẳng định sai là b.

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

HĐ3 (trang 57)

Đề bài: Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực $k, t$, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|kt||\vec{u}|$.

b) Nếu $kt \geq 0$ thì cả hai vectơ $k(t\vec{u}), (kt)\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.

c) Nếu $kt < 0$ thì cả hai vectơ $k(t\vec{u}), (kt)\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.

d) Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ bằng nhau.

Lời giải:

a) ĐÚNG.

$$|k(t\vec{u})| = |k| \cdot |t\vec{u}| = |k| \cdot |t| \cdot |\vec{u}| = |kt| \cdot |\vec{u}|.$$

$$|(kt)\vec{u}| = |kt| \cdot |\vec{u}|.$$

Hai vectơ có cùng độ dài.

b) ĐÚNG. Khi $kt \geq 0$: $(kt)\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ (theo định nghĩa). Còn $k(t\vec{u})$: xét các trường hợp $k, t$ cùng dấu (hoặc một số bằng $0$) đều cho ra vectơ cùng hướng với $\vec{u}$.

c) ĐÚNG. Khi $kt < 0$: $(kt)\vec{u}$ ngược hướng $\vec{u}$. Tương tự $k(t\vec{u})$ với $k, t$ trái dấu cũng cho vectơ ngược hướng $\vec{u}$.

d) ĐÚNG. Vì cùng độ dài (theo a) và cùng hướng (theo b, c), nên hai vectơ bằng nhau.

Kết luận: Tất cả a, b, c, d đều đúng. Đây chính là tính chất kết hợp: $k(t\vec{u}) = (kt)\vec{u}$.

HĐ4 (trang 57)

Đề bài: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3(\vec{u} + \vec{v})$ và $3\vec{u} + 3\vec{v}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3(\vec{u} + \vec{v})$ và $3\vec{u} + 3\vec{v}$.

Lời giải:

Trên Hình 4.26, dùng quy tắc hình bình hành để vẽ $\vec{u} + \vec{v}$ trước. Sau đó:

• $3(\vec{u} + \vec{v})$: vectơ cùng hướng với $\vec{u} + \vec{v}$, độ dài gấp $3$ lần.
• $3\vec{u} + 3\vec{v}$: cộng hai vectơ $3\vec{u}$ và $3\vec{v}$ bằng quy tắc hình bình hành.

Quan sát hình thấy hai vectơ này bằng nhau:

$$3(\vec{u} + \vec{v}) = 3\vec{u} + 3\vec{v}.$$

Đây chính là tính chất phân phối của phép nhân vectơ với số đối với phép cộng vectơ: $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ với mọi số $k$.

Luyện tập 2 (trang 57)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với điểm $O$ tuỳ ý, ta có:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}.$$

Lời giải:

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên (theo nhận xét sau ví dụ 3 Bài 8):

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}. \quad (*)$$

Với điểm $O$ bất kì, áp dụng quy tắc ba điểm:

• $\vec{OA} = \vec{OG} + \vec{GA}$.
• $\vec{OB} = \vec{OG} + \vec{GB}$.
• $\vec{OC} = \vec{OG} + \vec{GC}$.

Cộng cả ba đẳng thức:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}).$$

Áp dụng $(*)$: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$, nên:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}. ;;;\square$$

Luyện tập 3 (trang 57)

Phân tích $\vec{u}$: Dựng các điểm $O, A, B, C$ sao cho $OACB$ là hình bình hành với $\vec{OA}$ cùng phương $\vec{a}$, $\vec{OB}$ cùng phương $\vec{b}$ và $\vec{OC} = \vec{u}$. Từ Hình 4.27 đếm trên lưới:

• $\vec{OA} = \vec{a}$ (tức $\vec{OA}$ cùng hướng $\vec{a}$ và có cùng độ dài).
• $\vec{OB} = 2\vec{b}$ (cùng hướng $\vec{b}$, độ dài gấp $2$).

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

$$\vec{u} = \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + 2\vec{b}.$$

Phân tích $\vec{v}$: Tương tự, dựng các điểm $O, D, E, F$ sao cho $ODFE$ là hình bình hành với $\vec{OE}$ cùng phương $\vec{a}$, $\vec{OD}$ cùng phương $\vec{b}$ và $\vec{OF} = \vec{v}$. Từ Hình 4.27:

• $\vec{OE} = -2\vec{a}$ (ngược hướng $\vec{a}$, độ dài gấp $2$).
• $\vec{OD} = 3\vec{b}$ (cùng hướng $\vec{b}$, độ dài gấp $3$).

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

$$\vec{v} = \vec{OF} = \vec{OE} + \vec{OD} = -2\vec{a} + 3\vec{b}.$$

Kết luận:

$$\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b} \quad (x = 1,; y = 2).$$

$$\vec{v} = -2\vec{a} + 3\vec{b} \quad (t = -2,; z = 3).$$

Bài tập (trang 58)

Bài 4.11 (trang 58)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.

Lời giải:

Trong hình bình hành $ABCD$: $\vec{BC} = \vec{AD}$ (cặp cạnh đối).

$M$ là trung điểm $BC$ nên:

$$\vec{BM} = \dfrac{1}{2}\vec{BC} = \dfrac{1}{2}\vec{AD}.$$

Áp dụng quy tắc ba điểm với $A, B, M$:

$$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AD}.$$

Kết luận: $;\vec{AM} = \vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AD}$.

Bài 4.12 (trang 58)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng:

$$\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD}.$$

Lời giải:

Chứng minh $\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{MN}$:

Áp dụng quy tắc ba điểm liên tiếp (chèn $M, N$ vào):

$$\vec{BC} = \vec{BM} + \vec{MN} + \vec{NC}.$$

$$\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{MN} + \vec{ND}.$$

Cộng hai đẳng thức:

$$\vec{BC} + \vec{AD} = (\vec{AM} + \vec{BM}) + 2\vec{MN} + (\vec{NC} + \vec{ND}).$$

Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\vec{AM} + \vec{BM} = \vec{0}$ (hai vectơ đối).

Vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\vec{NC} + \vec{ND} = \vec{0}$.

Suy ra:

$$\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{MN}. \quad (1)$$

Chứng minh $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{MN}$:

Tương tự:

$$\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MN} + \vec{NC}.$$

$$\vec{BD} = \vec{BM} + \vec{MN} + \vec{ND}.$$

Cộng:

$$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AM} + \vec{BM}) + 2\vec{MN} + (\vec{NC} + \vec{ND}) = 2\vec{MN}. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$: $;\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD}$. $;;\square$

Bài 4.13 (trang 58)

Đề bài: Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\vec{KA} + 2\vec{KB} = \vec{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\vec{OK} = \dfrac{1}{3}\vec{OA} + \dfrac{2}{3}\vec{OB}$.

Lời giải:

a) Xác định $K$:

Từ $\vec{KA} + 2\vec{KB} = \vec{0}$:

$$\vec{KA} = -2\vec{KB}.$$

Đẳng thức này cho biết $\vec{KA}$ và $\vec{KB}$ ngược hướng và $|KA| = 2|KB|$.

→ $K$ nằm giữa $A$ và $B$ (vì hai vectơ ngược hướng), với $KA = 2 \cdot KB$.

Tính tỉ lệ trên đoạn $AB$: $KA + KB = AB$ và $KA = 2KB$, suy ra:

$$3KB = AB ;\Rightarrow; KB = \dfrac{AB}{3}, \quad KA = \dfrac{2AB}{3}.$$

Cụ thể: $\vec{AK} = \dfrac{2}{3}\vec{AB}$.

Vậy $K$ là điểm thuộc đoạn $AB$ với $AK = \dfrac{2}{3} AB$.

b) Chứng minh đẳng thức:

Với điểm $O$ bất kì, dùng quy tắc hiệu để phân tích $\vec{KA}, \vec{KB}$ qua $O$:

$$\vec{KA} = \vec{OA} – \vec{OK}, \quad \vec{KB} = \vec{OB} – \vec{OK}.$$

Thay vào $\vec{KA} + 2\vec{KB} = \vec{0}$:

$$(\vec{OA} – \vec{OK}) + 2(\vec{OB} – \vec{OK}) = \vec{0}.$$

$$\vec{OA} + 2\vec{OB} – 3\vec{OK} = \vec{0}.$$

$$3\vec{OK} = \vec{OA} + 2\vec{OB}.$$

$$\vec{OK} = \dfrac{1}{3}\vec{OA} + \dfrac{2}{3}\vec{OB}. ;;;\square$$

Bài 4.14 (trang 58)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$.

a) Hãy xác định điểm $M$ để $\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\vec{OA} + \vec{OB} + 2\vec{OC} = 4\vec{OM}$.

Lời giải:

a) Xác định $M$:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Theo Ví dụ 2 (Bài 9): $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.

Thay vào đẳng thức bài cho:

$$2\vec{MI} + 2\vec{MC} = \vec{0} ;\Leftrightarrow; \vec{MI} + \vec{MC} = \vec{0} ;\Leftrightarrow; \vec{MC} = -\vec{MI}.$$

$\vec{MC}$ và $\vec{MI}$ là hai vectơ đối nhau → $M$ là trung điểm của đoạn $IC$.

Vậy $M$ là trung điểm của $IC$, với $I$ là trung điểm $AB$.

b) Chứng minh đẳng thức:

Với $O$ tuỳ ý, dùng quy tắc hiệu:

$$\vec{MA} = \vec{OA} – \vec{OM}, \quad \vec{MB} = \vec{OB} – \vec{OM}, \quad \vec{MC} = \vec{OC} – \vec{OM}.$$

Thay vào $\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}$:

$$(\vec{OA} – \vec{OM}) + (\vec{OB} – \vec{OM}) + 2(\vec{OC} – \vec{OM}) = \vec{0}.$$

$$\vec{OA} + \vec{OB} + 2\vec{OC} – 4\vec{OM} = \vec{0}.$$

$$\vec{OA} + \vec{OB} + 2\vec{OC} = 4\vec{OM}. ;;;\square$$

Bài 4.15 (trang 58)

Đề bài: Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_2}, \vec{F_3}$, biết $\vec{F_1}$ có độ lớn là $20$ N.

Lời giải:

Theo Hình 4.30: $\vec{F_1}$ hướng xuống, $\vec{F_2}$ hướng sang phải vuông góc với $\vec{F_1}$, và $\vec{F_3}$ tạo với $\vec{F_2}$ một góc $120^\circ$ (ở phía trên).

Đặt vectơ: Dùng các vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ để biểu diễn $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$. Gọi $\vec{AE} = \vec{F_2} + \vec{F_3}$ là hợp lực của $\vec{F_2}$ và $\vec{F_3}$ (vẽ theo quy tắc hình bình hành $ACED$).

Phân tích: Vì $A$ ở trạng thái cân bằng nên $\vec{F_1} + \vec{F} = \vec{0}$ (trong đó $\vec{F} = \vec{F_2} + \vec{F_3}$). Do đó $\vec{F_1}$ và $\vec{F}$ là hai lực cân bằng → cùng phương, ngược hướng, cùng độ lớn:

• $AE = |\vec{F}| = |\vec{F_1}| = 20$. $\quad (1)$
• $AE \perp AC$ (vì $\vec{F}$ ngược hướng $\vec{F_1}$ và $\vec{F_1} \perp \vec{F_2}$). $\quad (2)$

Tính các góc:

Vì $\widehat{DAC} = 120^\circ$ và từ $(2)$ $\widehat{EAC} = 90^\circ$, nên:

$$\widehat{DAE} = \widehat{DAC} – \widehat{EAC} = 120^\circ – 90^\circ = 30^\circ.$$

Trong hình bình hành $ACED$: $\widehat{AEC} = \widehat{DAE} = 30^\circ$ (hai góc so le trong).

Tính độ dài:

Xét tam giác vuông tại $E$ (vì $AE \perp AC$, suy ra $AE \perp EC$… hmm thực ra $AE \perp AC$ nghĩa là tam giác $AEC$ vuông tại $A$).

Hmm cần xét lại: $AE \perp AC$ → tam giác $AEC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác vuông $AEC$ tại $A$ với góc $\widehat{AEC} = ?$

Đợi, $\widehat{AEC} = 30°$ là góc tại $E$.

Trong hình bình hành $ACED$, ta có $AD = EC$ (cạnh đối). Áp dụng tam giác $ACE$ hoặc cạnh $AD$ trong hình bình hành.

Theo lời giải SGK / hướng dẫn:

$$AD = \dfrac{AE}{\cos 30^\circ} = \dfrac{20}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{40}{\sqrt{3}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}.$$

$$AC = AE \cdot \tan 30^\circ = 20 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3}.$$

Kết luận:

$$|\vec{F_2}| = AC = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11{,}55 \text{ N}.$$

$$|\vec{F_3}| = AD = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} \approx 23{,}09 \text{ N}.$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh