Mở đầu trang 12

Đề bài: Câu lạc bộ Lịch sử có $12$ thành viên (không có hai bạn nào trùng tên), tổ chức hai chuyên đề trên một phần mềm họp trực tuyến. Tên các thành viên tham gia mỗi chuyên đề được hiển thị trên màn hình (H.1.1). Hỏi: Có bao nhiêu thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ trả lời được câu hỏi trên bằng phép toán hợp của hai tập hợp. (Câu trả lời được giải đáp ở Ví dụ 8 và Luyện tập trong bài: có $2$ thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề. Cách tính chi tiết được trình bày ở HĐ8.)

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

HĐ1 (trang 12)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi $A$ là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, $B$ là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.

a) Nam có là một phần tử của tập hợp $A$ không? Ngân có là một phần tử của tập hợp $B$ không?

b) Hãy mô tả các tập hợp $A$ và $B$ bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải:

Dựa vào Hình 1.1:

• Chuyên đề 1 có các bạn: Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân.
• Chuyên đề 2 có các bạn: Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân.

a)

• Nam tham gia Chuyên đề 1, nên Nam $\in A$.
• Ngân chỉ tham gia Chuyên đề 1, không tham gia Chuyên đề 2, nên Ngân $\notin B$.

b) Liệt kê các phần tử:

$$A = {\text{Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân}}.$$

$$B = {\text{Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân}}.$$

HĐ2 (trang 13)

Đề bài: Cho tập hợp: $C = {\text{châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mỹ; châu Nam Cực; châu Phi}}$.

a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp $C$.

b) Tập hợp $C$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Các phần tử của $C$ đều là tên một châu lục trên Trái Đất. Tính chất đặc trưng:

$$C = {x \mid x \text{ là một châu lục trên Trái Đất}}.$$

b) Đếm các phần tử: châu Á, châu Âu, châu Đại Dương, châu Mỹ, châu Nam Cực, châu Phi. Tập $C$ có $6$ phần tử, viết là $n(C) = 6$.

Luyện tập 1 (trang 13)

Đề bài: Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $x^2 – 24x + 143 = 0$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $13 \in S$;

b) $11 \notin S$;

c) $n(S) = 2$.

Lời giải:

Giải phương trình $x^2 – 24x + 143 = 0$.

Ta có $\Delta = (-24)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 – 572 = 4 > 0$. Hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{24 + 2}{2} = 13, \quad x_2 = \dfrac{24 – 2}{2} = 11.$$

Vậy $S = {11; 13}$.

Xét từng mệnh đề:

• a) $13 \in S$ → đúng (vì $13$ là một phần tử của $S$).
• b) $11 \notin S$ → sai (vì thực ra $11 \in S$).
• c) $n(S) = 2$ → đúng ($S$ có hai phần tử).

HĐ3 (trang 13)

Đề bài: Gọi $H$ là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2 trong tình huống mở đầu có tên bắt đầu bằng chữ H. Các phần tử của tập hợp $H$ có là phần tử của tập hợp $B$ trong HĐ1 không?

Lời giải:

Từ HĐ1, $B = {\text{Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân}}$.

Trong các bạn ở $B$, các bạn có tên bắt đầu bằng chữ H là: Hương, Hiền, Hân.

$$H = {\text{Hương; Hiền; Hân}}.$$

Mọi phần tử của $H$ đều là phần tử của $B$. Ta nói $H$ là tập con của $B$, viết là $H \subset B$.

HĐ4 (trang 14)

Đề bài: Sơn và Thu viết tập hợp các số chính phương nhỏ hơn $100$ như sau:

Sơn: $S = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}$;

Thu: $T = {n \in \mathbb{N} \mid n \text{ là số chính phương}; n < 100}$.

Hỏi bạn nào viết đúng?

Lời giải:

Các số chính phương nhỏ hơn $100$ là bình phương của các số tự nhiên từ $0$ đến $9$:

$$0^2 = 0;; 1^2 = 1;; 2^2 = 4;; 3^2 = 9;; 4^2 = 16;; 5^2 = 25;; 6^2 = 36;; 7^2 = 49;; 8^2 = 64;; 9^2 = 81.$$

• Sơn viết theo cách liệt kê các phần tử → đúng.
• Thu viết theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng → cũng đúng.

Vậy cả hai bạn đều viết đúng, chỉ khác cách mô tả tập hợp. Ta có $S = T$.

Luyện tập 2 (trang 15)

Đề bài: Giả sử $C$ là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; $D$ là tập hợp các hình vuông. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $C \subset D$; b) $C \supset D$; c) $C = D$.

Lời giải:

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc chính là hình thoi. Vậy $C$ là tập hợp các hình thoi.

Vì mọi hình vuông đều là hình thoi (hình vuông có hai đường chéo vuông góc), nên mọi phần tử của $D$ đều là phần tử của $C$. Suy ra $D \subset C$ (hay $C \supset D$).

Tuy nhiên, có hình thoi không phải là hình vuông (ví dụ hình thoi có một góc khác $90^\circ$), nên $C$ không là tập con của $D$.

Kết luận:

• a) $C \subset D$ → sai.
• b) $C \supset D$ → đúng.
• c) $C = D$ → sai.

2. Các tập hợp số

HĐ5 (trang 15)

Đề bài: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số;

b) Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ;

c) Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ.

Lời giải:

a) Với mỗi số nguyên $n$, ta có thể viết $n = \dfrac{n}{1}$ là một phân số. → Đúng.

b) Tập số thực $\mathbb{R}$ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ, nên $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. → Đúng.

c) Số $\sqrt{2}$ là số vô tỉ (không phải số hữu tỉ) nhưng vẫn là số thực. → Đúng.

Luyện tập 3 (trang 15)

Đề bài: Cho tập hợp $C = {-4; 0; 1; 2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $C$ là tập con của $\mathbb{Z}$;

b) $C$ là tập con của $\mathbb{N}$;

c) $C$ là tập con của $\mathbb{R}$.

Lời giải:

Mỗi phần tử của $C$: $-4, 0, 1, 2$.

a) $-4, 0, 1, 2$ đều là số nguyên, nên $C \subset \mathbb{Z}$ → đúng.

b) Số $-4$ không phải số tự nhiên (vì $\mathbb{N} = {0; 1; 2; 3; \ldots}$ không chứa số âm), nên $C \not\subset \mathbb{N}$ → sai.

c) Mọi số nguyên đều là số thực, nên $C \subset \mathbb{R}$ → đúng.

HĐ6 (trang 16)

Đề bài: Cho hai tập hợp $C = {x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3}$ và $D = {x \in \mathbb{R} \mid x > 3}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $C, D$ là các tập con của $\mathbb{R}$;

b) $\forall x,; x \in C \Rightarrow x \in D$;

c) $3 \in C$ nhưng $3 \notin D$;

d) $C = D$.

Lời giải:

a) Cả $C$ và $D$ đều lấy phần tử trong $\mathbb{R}$, nên $C \subset \mathbb{R}$ và $D \subset \mathbb{R}$ → đúng.

b) Xét $x = 3$: $3 \in C$ (vì $3 \geq 3$) nhưng $3 \notin D$ (vì $3$ không lớn hơn $3$). Có phản ví dụ → sai.

c) $3 \geq 3$ nên $3 \in C$. Và $3 > 3$ là sai nên $3 \notin D$. → đúng.

d) Vì $3 \in C$ nhưng $3 \notin D$ nên $C \neq D$ → sai.

Luyện tập 4 (trang 16)

Đề bài: Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở cột bên phải.

Lời giải:

Nhớ lại quy ước: dấu ngoặc vuông $[;]$ là lấy đầu mút (có dấu $\leq$ hoặc $\geq$); dấu ngoặc tròn $(;)$ là không lấy đầu mút (dấu $<$ hoặc $>$).

• $1)$ $x \in [2; 5]$ ⇔ $2 \leq x \leq 5$ → ghép với d.
• $2)$ $x \in (2; 5]$ ⇔ $2 < x \leq 5$ → ghép với a.
• $3)$ $x \in [7; +\infty)$ ⇔ $x \geq 7$ → ghép với b.
• $4)$ $x \in (7; 10)$ ⇔ $7 < x < 10$ → ghép với c.

Kết quả: $1 – d;; 2 – a;; 3 – b;; 4 – c$. (Dòng e không ghép với dòng nào.)

3. Các phép toán trên tập hợp

HĐ7 (trang 16)

Đề bài: Viết tập hợp $X$ gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu. Tập $X$ có phải là tập con của tập $A$ không? Tập $X$ có phải là tập con của tập $B$ không?

Lời giải:

Tìm các bạn xuất hiện trong cả Chuyên đề 1 và Chuyên đề 2:

• Chuyên đề 1: Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân.
• Chuyên đề 2: Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân.

Các bạn có mặt ở cả hai chuyên đề là: Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi.

$$X = {\text{Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi}}.$$

• Mọi phần tử của $X$ đều có trong $A$ → $X \subset A$.
• Mọi phần tử của $X$ đều có trong $B$ → $X \subset B$.

Luyện tập 5 (trang 17)

Đề bài: Cho các tập hợp $C = [1; 5]$ và $D = [-2; 3]$. Hãy xác định tập $C \cap D$.

Lời giải:

$C \cap D$ là tập hợp các phần tử thuộc cả $C$ và $D$, tức là thoả mãn đồng thời $1 \leq x \leq 5$ và $-2 \leq x \leq 3$.

Kết hợp hai điều kiện: $\max(1, -2) \leq x \leq \min(5, 3)$, tức $1 \leq x \leq 3$.

$$C \cap D = [1; 3].$$

HĐ8 (trang 17)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2.

Lời giải:

Tập hợp này chính là $A \cup B$ – các bạn tham gia ít nhất một trong hai chuyên đề. Liệt kê tất cả tên xuất hiện ở $A$ hoặc $B$ (mỗi tên chỉ ghi một lần):

$$A \cup B = {\text{Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân; Hiền; Lam; Hân}}.$$

Tập $A \cup B$ có $10$ phần tử, tức là có $10$ thành viên tham gia ít nhất một chuyên đề.

Vì câu lạc bộ có $12$ thành viên, nên số thành viên vắng mặt cả hai chuyên đề là $12 – 10 = 2$ (thành viên). Đây cũng là câu trả lời cho câu hỏi ở phần Mở đầu.

Luyện tập 6 (trang 17)

Đề bài: Hãy biểu diễn tập hợp $A \cup B$ bằng biểu đồ Ven, với $A, B$ được cho trong HĐ1.

Lời giải:

Từ HĐ1, ta có:

• $A = {\text{Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân}}$.
• $B = {\text{Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân}}$.
• $A \cap B = {\text{Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi}}$ (chính giữa).
• Chỉ thuộc $A$ (không thuộc $B$): Nam, Ngân.
• Chỉ thuộc $B$ (không thuộc $A$): Hiền, Lam, Hân.

Biểu đồ Ven cần có $2$ vòng tròn giao nhau, với cách ghi tên như trên.

HĐ9 (trang 18)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2.

Lời giải:

Đây là tập $A \setminus B$ – các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.

Trong các bạn ở Chuyên đề 1, ta loại bỏ các bạn đồng thời có ở Chuyên đề 2 (đã liệt kê ở HĐ7: Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi). Còn lại:

$$A \setminus B = {\text{Nam; Ngân}}.$$

Luyện tập 7 (trang 18)

Đề bài: Tìm phần bù của các tập hợp sau trong $\mathbb{R}$:

a) $(-\infty; -2)$; b) $[-5; +\infty)$.

Lời giải:

Phần bù của $T$ trong $\mathbb{R}$ là $\mathbb{R} \setminus T$ – tập hợp gồm các số thực không thuộc $T$.

a) $T = (-\infty; -2)$ gồm các số thực $x < -2$. Các số thực không thuộc $T$ là $x \geq -2$.

$$C_{\mathbb{R}} T = \mathbb{R} \setminus (-\infty; -2) = [-2; +\infty).$$

b) $T = [-5; +\infty)$ gồm các số thực $x \geq -5$. Các số thực không thuộc $T$ là $x < -5$.

$$C_{\mathbb{R}} T = \mathbb{R} \setminus [-5; +\infty) = (-\infty; -5).$$

Vận dụng (trang 18)

Đề bài: Lớp 10A có $24$ bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có $16$ bạn thi đấu bóng đá và $11$ bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?

Lời giải:

Gọi:

• $A$ = tập hợp các bạn thi đấu bóng đá, $n(A) = 16$.
• $B$ = tập hợp các bạn thi đấu cầu lông, $n(B) = 11$.
• $x$ = số bạn tham gia cả hai môn = $n(A \cap B)$.

Số bạn tham gia thi đấu bóng đá hoặc cầu lông (tức ít nhất một môn) là $n(A \cup B) = 24$.

Áp dụng công thức:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B).$$

Thay số:

$$24 = 16 + 11 – x ;\Leftrightarrow; 24 = 27 – x ;\Leftrightarrow; x = 3.$$

Vậy có $3$ bạn tham gia thi đấu cả hai môn.

Bài tập (trang 19)

Bài 1.8 (trang 19)

Đề bài: Gọi $X$ là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ và biểu diễn tập $X$ bằng biểu đồ Ven.

Lời giải:

Việt Nam tiếp giáp với ba quốc gia trên đất liền: Trung Quốc (phía Bắc), Lào và Campuchia (phía Tây).

$$X = {\text{Trung Quốc; Lào; Campuchia}}.$$

Bài 1.9 (trang 19)

Đề bài: Kí hiệu $E$ là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$.

b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$.

c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp $E$. Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Hai phần tử thuộc $E$ (chọn tuỳ ý): Việt Nam, Lào.

(Học sinh có thể chọn cặp khác như Thái Lan, Singapore,…)

b) Hai phần tử không thuộc $E$: Trung Quốc, Nhật Bản.

(Các quốc gia này thuộc khu vực Đông Á, không thuộc Đông Nam Á.)

c) Khu vực Đông Nam Á gồm $11$ quốc gia:

$$E = {\text{Việt Nam; Lào; Campuchia; Thái Lan; Myanmar; Malaysia; Singapore; Indonesia; Philippines; Brunei; Đông Timor}}.$$

Vậy $n(E) = 11$.

Bài 1.10 (trang 19)

Đề bài: Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

$$A = {0; 4; 8; 12; 16}.$$

Lời giải:

Quan sát: các phần tử $0, 4, 8, 12, 16$ đều là bội của $4$, và đều không vượt quá $16$.

Tính chất đặc trưng:

$$A = {x \mid x \text{ là bội của } 4 \text{ và } x \leq 16}.$$

Hoặc có thể viết:

$$A = {4k \mid k \in \mathbb{N},; 0 \leq k \leq 4}.$$

Bài 1.11 (trang 19)

Đề bài: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

$$A = {x \in \mathbb{R} \mid x^2 – 6 = 0}; \quad B = {x \in \mathbb{Z} \mid x^2 – 6 = 0}.$$

Lời giải:

Giải $x^2 – 6 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 = 6 ;\Leftrightarrow; x = \sqrt{6}$ hoặc $x = -\sqrt{6}$.

Tập $A$: Vì $\sqrt{6}$ và $-\sqrt{6}$ đều là số thực, nên:

$$A = {-\sqrt{6};; \sqrt{6}} \neq \emptyset.$$

$A$ không phải là tập rỗng.

Tập $B$: $\sqrt{6} \approx 2{,}449$ và $-\sqrt{6} \approx -2{,}449$ đều không phải số nguyên. Vậy không có số nguyên nào thoả mãn:

$$B = \emptyset.$$

$B$ là tập rỗng.

Bài 1.12 (trang 19)

Đề bài: Cho $X = {a; b}$. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

a) $a \subset X$; b) ${a} \subset X$; c) $\emptyset \in X$.

Lời giải:

Nhớ lại:

• Kí hiệu $\in$ dùng cho phần tử thuộc tập hợp.
• Kí hiệu $\subset$ dùng cho tập con (giữa hai tập hợp).

a) $a \subset X$: sai. Vì $a$ là một phần tử của $X$, không phải tập hợp. Cách viết đúng phải là $a \in X$.

b) ${a} \subset X$: đúng. Vì ${a}$ là một tập hợp (chỉ có $1$ phần tử là $a$), và phần tử $a$ đó thuộc $X$. Nên ${a}$ là tập con của $X$.

c) $\emptyset \in X$: sai. Vì $X$ chỉ có hai phần tử là $a$ và $b$, không có phần tử nào là $\emptyset$. Lưu ý: $\emptyset$ là một tập hợp (tập rỗng), nên cách viết đúng (nếu cần) là $\emptyset \subset X$ (tập rỗng là tập con của mọi tập hợp).

Bài 1.13 (trang 19)

Đề bài: Cho $A = {2; 5}$, $B = {5; x}$, $C = {2; y}$. Tìm $x, y$ để $A = B = C$.

Lời giải:

Hai tập hợp bằng nhau khi mọi phần tử của tập này đều là phần tử của tập kia (và ngược lại).

Để $A = B$: ${2; 5} = {5; x}$.

$B$ phải chứa phần tử $2$ (vì $A$ có $2$). Mà $B = {5; x}$, nên $x = 2$.

Để $A = C$: ${2; 5} = {2; y}$.

$C$ phải chứa phần tử $5$ (vì $A$ có $5$). Mà $C = {2; y}$, nên $y = 5$.

Kết luận: $x = 2,; y = 5$.

Bài 1.14 (trang 19)

Đề bài: Cho $A = {x \in \mathbb{Z} \mid x < 4}$; $B = {x \in \mathbb{Z} \mid (5x – 3x^2)(x^2 + 2x – 3) = 0}$.

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp $A$ và $B$.

b) Hãy xác định các tập hợp $A \cap B$, $A \cup B$ và $A \setminus B$.

Lời giải:

a) Liệt kê:

Tập $A$: các số nguyên nhỏ hơn $4$:

$$A = {\ldots;; -3;; -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3}.$$

Tập $B$: giải phương trình $(5x – 3x^2)(x^2 + 2x – 3) = 0$.

Phương trình tích bằng $0$ khi một trong hai thừa số bằng $0$.

• $5x – 3x^2 = 0 ;\Leftrightarrow; x(5 – 3x) = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0$ hoặc $x = \dfrac{5}{3}$.
• $x^2 + 2x – 3 = 0$. Có $\Delta = 4 + 12 = 16$, hai nghiệm là $x = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1$ và $x = \dfrac{-2 – 4}{2} = -3$.

Phương trình có $4$ nghiệm: $-3;; 0;; 1;; \dfrac{5}{3}$. Trong đó chỉ có $-3,; 0,; 1$ là số nguyên.

$$B = {-3;; 0;; 1}.$$

b)

$A \cap B$: phần tử thuộc cả $A$ và $B$. Cả $3$ phần tử $-3, 0, 1$ đều nhỏ hơn $4$ nên đều thuộc $A$. Vậy:

$$A \cap B = {-3;; 0;; 1}.$$

$A \cup B$: phần tử thuộc $A$ hoặc $B$. Vì $B \subset A$, nên $A \cup B = A$:

$$A \cup B = {\ldots;; -3;; -2;; -1;; 0;; 1;; 2;; 3}.$$

$A \setminus B$: phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ (loại bỏ $-3, 0, 1$ khỏi $A$):

$$A \setminus B = {\ldots;; -5;; -4;; -2;; -1;; 2;; 3}.$$

Bài 1.15 (trang 19)

Đề bài: Hãy xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) $(-4; 1] \cap [0; 3)$;

b) $(0; 2] \cup (-3; 1]$;

c) $(-2; 1] \cap (1; +\infty)$;

d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$.

Lời giải:

a) Tìm giao $(-4; 1] \cap [0; 3)$: $x$ phải thoả $-4 < x \leq 1$ và $0 \leq x < 3$, tức $\max(-4, 0) \leq x \leq \min(1, ?)$. Kết hợp: $0 \leq x \leq 1$.

$$(-4; 1] \cap [0; 3) = [0; 1].$$

b) Hợp $(0; 2] \cup (-3; 1]$: gộp tất cả $x$ thuộc một trong hai khoảng.

• Khoảng $(0; 2]$: $0 < x \leq 2$.
• Khoảng $(-3; 1]$: $-3 < x \leq 1$.

Hai khoảng có phần chung là $(0; 1]$, hợp lại tạo thành một khoảng liền mạch từ $-3$ (không lấy) tới $2$ (có lấy):

$$(0; 2] \cup (-3; 1] = (-3; 2].$$

c) Giao $(-2; 1] \cap (1; +\infty)$: $x$ phải thoả $-2 < x \leq 1$ và $x > 1$.

Hai điều kiện này mâu thuẫn (vừa $\leq 1$ vừa $> 1$ không thể đồng thời). Vậy:

$$(-2; 1] \cap (1; +\infty) = \emptyset.$$

d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$: bỏ đi các số $x \leq 3$ khỏi $\mathbb{R}$, còn lại $x > 3$:

$$\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3] = (3; +\infty).$$

Bài 1.16 (trang 19)

Đề bài: Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động $35$ người phiên dịch tiếng Anh, $30$ người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có $16$ người phiên dịch được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Lời giải:

Gọi:

• $A$ = tập hợp người phiên dịch tiếng Anh, $n(A) = 35$.
• $P$ = tập hợp người phiên dịch tiếng Pháp, $n(P) = 30$.
• $n(A \cap P) = 16$ (phiên dịch được cả hai).

a) Tổng số người được huy động = $n(A \cup P)$. Áp dụng công thức:

$$n(A \cup P) = n(A) + n(P) – n(A \cap P) = 35 + 30 – 16 = 49 \text{ (người)}.$$

b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh = $n(A) – n(A \cap P) = 35 – 16 = 19$ (người).

c) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp = $n(P) – n(A \cap P) = 30 – 16 = 14$ (người).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh