Mở đầu trang 60

Đề bài: Mỗi mật khẩu của một trang web là một dãy có từ $2$ tới $3$ kí tự, trong đó kí tự đầu tiên là một trong $26$ chữ cái in thường trong bảng chữ cái tiếng Anh (từ $a$ đến $z$), mỗi kí tự còn lại là một chữ số từ $0$ đến $9$. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải bài toán bằng cách kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân. (Đáp số chi tiết được trình bày ở Ví dụ 5: tổng cộng có $260 + 2\,600 = 2\,860$ mật khẩu khác nhau.)

1. Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây

HĐ1 (trang 61)

Đề bài: Chọn chuyến đi (H.8.1). Từ Hà Nội vào Nghệ An mỗi ngày có $7$ chuyến tàu hoả và $2$ chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Nghệ An bằng tàu hoả hoặc máy bay. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn chuyến đi?

Lời giải:

Bạn An có thể chọn theo một trong hai phương án (rời nhau): đi tàu hoặc đi máy bay.

• Phương án đi tàu: $7$ cách chọn (7 chuyến tàu).
• Phương án đi máy bay: $2$ cách chọn (2 chuyến).

Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn chuyến đi là:

$$7 + 2 = 9 \text{ (cách).}$$

HĐ2 (trang 61)

Đề bài: Bạn An đã quyết định mua vé tàu đi từ ga Hà Nội vào ga Vinh trên chuyến tàu SE7. Trên tàu có các toa ghế ngồi và các toa giường nằm. Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. Toa nằm có loại khoang $4$ giường và khoang $6$ giường. Khoang $4$ giường có hai loại vé: tầng $1$ và tầng $2$; khoang $6$ giường có ba loại vé: tầng $1$, tầng $2$ và tầng $3$. Hỏi:

a) Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?

b) Có bao nhiêu loại vé để bạn An lựa chọn?

Lời giải:

a) Theo sơ đồ hình cây (H.8.2):

• Vé ghế ngồi: hai loại (cứng, mềm) → $2$ loại.
• Vé giường nằm:
  • Khoang $4$ giường có $2$ loại (tầng $1$, tầng $2$): $2$ loại.
  • Khoang $6$ giường có $3$ loại (tầng $1$, tầng $2$, tầng $3$): $3$ loại.
  • Tổng vé giường nằm: $2 + 3 = 5$ loại.

b) Bạn An chọn vé theo một trong hai phương án rời nhau (ngồi hoặc nằm). Theo quy tắc cộng:

$$2 + 5 = 7 \text{ (loại vé).}$$

Luyện tập 1 (trang 62)

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên từ $1$ đến $30$ mà không nguyên tố cùng nhau với $35$?

Lời giải:

Nhớ lại: hai số tự nhiên $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chung lớn nhất là $1$.

Phân tích $35 = 5 \times 7$. Một số $n$ không nguyên tố cùng nhau với $35$ khi $n$ có ước chung lớn hơn $1$ với $35$, tức là $n$ chia hết cho $5$ hoặc chia hết cho $7$.

Gọi $A$ là tập hợp các số từ $1$ đến $30$ chia hết cho $5$:

$$A = {5;; 10;; 15;; 20;; 25;; 30} ;\Rightarrow; |A| = 6.$$

Gọi $B$ là tập hợp các số từ $1$ đến $30$ chia hết cho $7$:

$$B = {7;; 14;; 21;; 28} ;\Rightarrow; |B| = 4.$$

Tập $A \cap B$ gồm các số chia hết cho cả $5$ và $7$, tức chia hết cho $35$. Trong khoảng $[1;;30]$ không có số nào như vậy, nên $A$ và $B$ rời nhau.

Áp dụng quy tắc cộng:

$$|A \cup B| = |A| + |B| = 6 + 4 = 10 \text{ (số).}$$

Vậy có $10$ số từ $1$ đến $30$ không nguyên tố cùng nhau với $35$.

2. Quy tắc nhân

HĐ3 (trang 62)

Đề bài: Thầy Trung muốn đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào thành phố Đà Nẵng. Biết rằng từ Hà Nội vào Huế có thể đi bằng $3$ cách: ô tô, tàu hoả hoặc máy bay. Còn từ Huế vào thành phố Đà Nẵng có thể đi bằng $2$ cách: ô tô hoặc tàu hoả (H.8.5). Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn các phương tiện để đi từ Hà Nội vào thành phố Đà Nẵng?

Lời giải:

Hành trình gồm hai công đoạn liên tiếp:

• Công đoạn 1: chọn phương tiện từ Hà Nội vào Huế: $3$ cách.
• Công đoạn 2: với mỗi cách ở công đoạn 1, có $2$ cách chọn phương tiện từ Huế vào Đà Nẵng.

Theo quy tắc nhân:

$$3 \times 2 = 6 \text{ (cách).}$$

HĐ4 (trang 63)

Đề bài: Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong $26$ chữ cái in hoa tiếng Anh từ $A$ đến $Z$) đứng trước và một số nguyên từ $1$ đến $20$, chẳng hạn $X15,; Z2,;\ldots$. Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được cho bao nhiêu ghế?

Lời giải:

Mỗi nhãn ghế gồm hai công đoạn (chữ cái + số):

• Công đoạn 1: chọn chữ cái: $26$ cách.
• Công đoạn 2: chọn số nguyên từ $1$ đến $20$: $20$ cách.

Theo quy tắc nhân:

$$26 \times 20 = 520 \text{ (ghế).}$$

Luyện tập 2 (trang 64)

Đề bài: Tại kì World Cup năm $2018$, vòng bảng gồm có $32$ đội tham gia, được chia vào $8$ bảng, mỗi bảng $4$ đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng). Hỏi tổng cộng vòng bảng có bao nhiêu trận đấu?

Lời giải:

Bước 1: Đếm số trận trong một bảng.

Một bảng có $4$ đội thi đấu vòng tròn. Mỗi trận đấu là một cặp $2$ đội khác nhau. Đếm số cặp:

• Chọn đội thứ nhất trong cặp: $4$ cách.
• Chọn đội thứ hai trong cặp: $3$ cách (khác đội đầu).
• Số cặp có thứ tự: $4 \times 3 = 12$.

Mỗi trận đấu thực chất ứng với một cặp không thứ tự (cặp ${A, B}$ và ${B, A}$ là cùng một trận). Vậy số trận trong một bảng là:

$$\dfrac{12}{2} = 6 \text{ (trận).}$$

Bước 2: Tổng số trận của vòng bảng.

Có $8$ bảng, mỗi bảng $6$ trận:

$$8 \times 6 = 48 \text{ (trận).}$$

3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Luyện tập 3 (trang 64)

Đề bài: Từ các chữ số $0,; 1,; 2,; 3$ có thể lập được bao nhiêu số thoả mãn:

a) Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

b) Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a, b, c$ là các chữ số.

a) Yêu cầu: $a, b, c$ đôi một khác nhau và $a \neq 0$ (chữ số đầu khác $0$).

• Chọn $a$: $a \neq 0$ nên có $3$ cách (từ ${1, 2, 3}$).
• Chọn $b$: $b \neq a$, còn lại $3$ chữ số (gồm cả $0$) trong ${0, 1, 2, 3}$, nên có $3$ cách.
• Chọn $c$: $c \neq a,; c \neq b$, còn $2$ cách.

Theo quy tắc nhân:

$$3 \times 3 \times 2 = 18 \text{ (số).}$$

b) Yêu cầu thêm: $c$ chẵn, tức $c = 0$ hoặc $c = 2$. Chia thành hai trường hợp rời nhau.

Trường hợp 1: $c = 0$.

• Chọn $a$: $a \neq 0$, còn lại ${1, 2, 3}$, có $3$ cách.
• Chọn $b$: $b \neq a$ và $b \neq c = 0$, có $2$ cách.

Số cách: $3 \times 2 = 6$.

Trường hợp 2: $c = 2$.

• Chọn $a$: $a \neq 0$ và $a \neq c = 2$, còn ${1, 3}$, có $2$ cách.
• Chọn $b$: $b \neq a$ và $b \neq c = 2$, còn $2$ cách.

Số cách: $2 \times 2 = 4$.

Tổng theo quy tắc cộng: $6 + 4 = 10$ (số).

Vận dụng (trang 65)

Đề bài: Khối lớp $10$ của một trường trung học phổ thông có ba lớp $10A,; 10B,; 10C$. Lớp $10A$ có $30$ bạn, lớp $10B$ có $35$ bạn, lớp $10C$ có $32$ bạn. Nhà trường muốn chọn $4$ bạn để thành lập đội cờ đỏ của khối sao cho có đủ đại diện của các lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?

Lời giải:

Đội cờ đỏ có $4$ bạn, có đủ đại diện $3$ lớp. Vì $4 = 2 + 1 + 1$ nên có đúng một lớp đóng góp $2$ bạn, hai lớp còn lại mỗi lớp $1$ bạn. Chia thành $3$ trường hợp rời nhau theo “lớp đóng góp $2$ bạn”.

Lưu ý cách tính “chọn $2$ bạn từ $n$ bạn”: Việc chọn $2$ bạn (không phân biệt thứ tự) có thể tính theo quy tắc nhân rồi chia $2$:

$$\text{Số cách} = \dfrac{n \times (n – 1)}{2}.$$

Áp dụng:

• Chọn $2$ bạn từ $30$: $\dfrac{30 \times 29}{2} = 435$ cách.
• Chọn $2$ bạn từ $35$: $\dfrac{35 \times 34}{2} = 595$ cách.
• Chọn $2$ bạn từ $32$: $\dfrac{32 \times 31}{2} = 496$ cách.

Trường hợp 1: $10A$ có $2$ bạn, $10B$ có $1$ bạn, $10C$ có $1$ bạn.

Số cách: $435 \times 35 \times 32 = 487\,200$.

Trường hợp 2: $10A$ có $1$ bạn, $10B$ có $2$ bạn, $10C$ có $1$ bạn.

Số cách: $30 \times 595 \times 32 = 571\,200$.

Trường hợp 3: $10A$ có $1$ bạn, $10B$ có $1$ bạn, $10C$ có $2$ bạn.

Số cách: $30 \times 35 \times 496 = 520\,800$.

Tổng theo quy tắc cộng:

$$487\,200 + 571\,200 + 520\,800 = 1\,579\,200 \text{ (cách).}$$

Bài tập (trang 65)

Bài 8.1 (trang 65)

Đề bài: Trên giá sách có $8$ cuốn truyện ngắn, $7$ cuốn tiểu thuyết và $5$ tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.

Lời giải:

Bạn Phong chỉ chọn một cuốn thuộc một trong ba loại sách (ba phương án rời nhau):

• Phương án 1: chọn truyện ngắn — $8$ cách.
• Phương án 2: chọn tiểu thuyết — $7$ cách.
• Phương án 3: chọn tập thơ — $5$ cách.

Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn là:

$$8 + 7 + 5 = 20 \text{ (cách).}$$

Bài 8.2 (trang 65)

Đề bài: Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo $3$ lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Lời giải:

Mỗi lần gieo có $2$ khả năng: sấp ($S$) hoặc ngửa ($N$). Ba lần gieo là ba công đoạn liên tiếp:

• Lần 1: $2$ cách.
• Lần 2: $2$ cách.
• Lần 3: $2$ cách.

Theo quy tắc nhân: $2 \times 2 \times 2 = 8$ (khả năng).

Liệt kê: $SSS,; SSN,; SNS,; SNN,; NSS,; NSN,; NNS,; NNN$.

Bài 8.3 (trang 65)

Đề bài: Ở một loài thực vật, $A$ là gene trội quy định tính trạng hoa kép, $a$ là gene lặn quy định tính trạng hoa đơn.

a) Sự tổ hợp giữa hai gene trên tạo ra mấy kiểu gene? Viết các kiểu gene đó.

b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó?

Lời giải:

a) Mỗi cá thể có $2$ gene (một từ bố, một từ mẹ), mỗi gene là $A$ hoặc $a$. Vì hai gene không phân biệt vị trí (cặp gene), các kiểu gene khác nhau là:

$$AA,\quad Aa,\quad aa.$$

Vậy có $3$ kiểu gene.

b) Một phép giao phối là sự ghép cặp $2$ cá thể (không phân biệt bố/mẹ). Liệt kê các kiểu giao phối khác nhau:

• Hai cá thể cùng kiểu gene: $AA \times AA,; Aa \times Aa,; aa \times aa$ — có $3$ kiểu.
• Hai cá thể khác kiểu gene: $AA \times Aa,; AA \times aa,; Aa \times aa$ — có $3$ kiểu.

Theo quy tắc cộng:

$$3 + 3 = 6 \text{ (kiểu giao phối).}$$

Bài 8.4 (trang 65)

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có $3$ chữ số khác nhau?

b) Là số lẻ có $3$ chữ số khác nhau?

c) Là số có $3$ chữ số và chia hết cho $5$?

d) Là số có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5$?

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a \in {1, 2, \ldots, 9}$ (chữ đầu khác $0$) và $b, c \in {0, 1, \ldots, 9}$.

a) $3$ chữ số khác nhau.

• $a$: $9$ cách (khác $0$).
• $b$: khác $a$, có $9$ cách (còn $10 – 1 = 9$ chữ số).
• $c$: khác $a, b$, có $8$ cách.

Tổng: $9 \times 9 \times 8 = 648$ (số).

b) Số lẻ có $3$ chữ số khác nhau.

Số lẻ $\Leftrightarrow$ chữ số tận cùng $c$ lẻ: $c \in {1, 3, 5, 7, 9}$.

• $c$: $5$ cách.
• $a$: khác $0$ và khác $c$ → $9 – 1 = 8$ cách (trong ${1, \ldots, 9}$ trừ $c$).
• $b$: khác $a$ và khác $c$ → $10 – 2 = 8$ cách.

Tổng: $5 \times 8 \times 8 = 320$ (số).

c) Số có $3$ chữ số chia hết cho $5$.

Chia hết cho $5$ $\Leftrightarrow$ $c \in {0, 5}$.

• $c$: $2$ cách.
• $a$: $9$ cách (khác $0$).
• $b$: $10$ cách.

Tổng: $2 \times 9 \times 10 = 180$ (số).

d) Số có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5$.

Chia thành $2$ trường hợp rời nhau theo $c$.

Trường hợp 1: $c = 0$.

• $a$: khác $0$, có $9$ cách.
• $b$: khác $a$ và khác $0$, có $8$ cách.

Số cách: $9 \times 8 = 72$.

Trường hợp 2: $c = 5$.

• $a$: khác $0$ và khác $5$, có $8$ cách.
• $b$: khác $a$ và khác $5$, có $8$ cách.

Số cách: $8 \times 8 = 64$.

Tổng theo quy tắc cộng: $72 + 64 = 136$ (số).

Bài 8.5 (trang 65)

Đề bài:

a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm $3$ kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm $3$ kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm $26$ chữ (từ $A$ đến $Z$) và $2$ kí tự sau là các chữ số (từ $0$ đến $9$). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Lời giải:

a) Quy định cũ ($3$ chữ số):

Mật khẩu gồm $3$ công đoạn, mỗi công đoạn chọn $1$ chữ số từ $0$ đến $9$ ($10$ cách).

Theo quy tắc nhân: $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1\,000$ (mật khẩu).

b) Quy định mới ($1$ chữ cái + $2$ chữ số):

• Kí tự đầu (chữ cái hoa): $26$ cách.
• Hai kí tự sau (chữ số): $10 \times 10 = 100$ cách.

Theo quy tắc nhân: $26 \times 100 = 2\,600$ (mật khẩu).

Chênh lệch: $2\,600 – 1\,000 = 1\,600$.

Vậy quy định mới tạo được nhiều hơn quy định cũ $1\,600$ mật khẩu.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh