Mở đầu trang 51

Đề bài: Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?

Lời giải:

Vận tốc thực tế của tàu là tổng của hai vectơ vận tốc: vận tốc riêng của tàu (do động cơ tạo ra) và vận tốc dòng nước.

Để tàu sang bờ bên kia nhanh nhất, ta cần thời gian sang sông là nhỏ nhất. Bài học sẽ chỉ ra (Ví dụ 4 trong SGK) rằng: tàu cần giữ lái sao cho vận tốc riêng vuông góc với bờ sông.

1. Tổng của hai vectơ

HĐ1 (trang 51)

Đề bài: Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước, lấy một điểm $A$ và vẽ các vectơ $\vec{AB} = \vec{a}, \vec{BC} = \vec{b}$. Lấy điểm $A’$ khác $A$ và cũng vẽ các vectơ $\vec{A’B’} = \vec{a}, \vec{B’C’} = \vec{b}$. Hỏi hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{A’C’}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

Vì $\vec{AB} = \vec{A’B’}$ (đều bằng $\vec{a}$), nên hai vectơ này cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra tứ giác $ABB’A’$ có cặp cạnh đối $AB$ và $A’B’$ song song và bằng nhau (theo cách hiểu của vectơ bằng nhau) → $ABB’A’$ là hình bình hành → $\vec{AA’} = \vec{BB’}$.

Tương tự, vì $\vec{BC} = \vec{B’C’}$, tứ giác $BCC’B’$ là hình bình hành → $\vec{BB’} = \vec{CC’}$.

Suy ra $\vec{AA’} = \vec{CC’}$, nên tứ giác $ACC’A’$ là hình bình hành → $\vec{AC} = \vec{A’C’}$.

Kết luận: $\vec{AC} = \vec{A’C’}$. Nghĩa là tổng hai vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm xuất phát $A$ hay $A’$.

HĐ2 (trang 51)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{AB} + \vec{AD}$ và $\vec{AC}$.

Lời giải:

Trong hình bình hành $ABCD$, cặp cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau, cùng hướng (theo cách vẽ vectơ trong hình bình hành), nên:

$$\vec{AD} = \vec{BC}.$$

Áp dụng quy tắc ba điểm với ba điểm $A, B, C$:

$$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$$

Kết luận: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (đây chính là quy tắc hình bình hành).

HĐ3 (trang 52)

Đề bài:

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và vectơ $\vec{b} + \vec{a}$.

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ và vectơ $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Lời giải:

a) Trong Hình 4.14a là hình bình hành $ABCD$ với $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Khi đó $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ và $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ (cặp cạnh đối hình bình hành).

• $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\vec{b} + \vec{a} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ (quy tắc ba điểm).

Vậy $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} = \vec{AC}$ → minh hoạ tính chất giao hoán.

b) Trong Hình 4.14b với các điểm $A, B, C, D$ thẳng hàng và $\vec{AB} = \vec{a}, \vec{BC} = \vec{b}, \vec{CD} = \vec{c}$:

• $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.
• $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{AB} + (\vec{BC} + \vec{CD}) = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Vậy $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{AD}$ → minh hoạ tính chất kết hợp.

Luyện tập 1 (trang 52)

Đề bài: Cho hình thoi $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng $1$ và $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{CB} + \vec{CD}$, $\vec{DB} + \vec{CD} + \vec{BA}$.

Lời giải:

Hình thoi $ABCD$ có $AB = BC = CD = DA = 1$, $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Suy ra $\widehat{ABC} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$ (hai góc kề bù trong hình thoi).

Tính $|\vec{CB} + \vec{CD}|$:

Áp dụng quy tắc hình bình hành tại đỉnh $C$: hình thoi $ABCD$ là hình bình hành, hai cạnh kề tại $C$ là $CB$ và $CD$, đường chéo từ $C$ là $CA$. Do đó:

$$\vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CA}.$$

Tính $CA$: xét tam giác $ABC$ có $AB = BC = 1$ và $\widehat{ABC} = 60^\circ$ → tam giác $ABC$ là tam giác đều (hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa $60^\circ$).

$$CA = AB = 1.$$

Vậy $|\vec{CB} + \vec{CD}| = |\vec{CA}| = 1$.

Tính $|\vec{DB} + \vec{CD} + \vec{BA}|$:

Sắp xếp lại các vectơ (phép cộng vectơ có tính giao hoán và kết hợp):

$$\vec{DB} + \vec{CD} + \vec{BA} = \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{BA}.$$

Áp dụng quy tắc ba điểm liên tục:

$$\vec{CD} + \vec{DB} = \vec{CB}, \quad \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}.$$

Vậy $\vec{DB} + \vec{CD} + \vec{BA} = \vec{CA}$, và:

$$|\vec{DB} + \vec{CD} + \vec{BA}| = |\vec{CA}| = 1.$$

2. Hiệu của hai vectơ

HĐ4 (trang 52)

Đề bài: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

Lời giải:

Hai lực cân bằng là hai lực cùng tác dụng vào một vật, có cùng độ lớn, cùng phương nhưng ngược chiều.

Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này:

• Có cùng độ dài (vì hai lực cùng độ lớn);
• Cùng phương nhưng ngược hướng.

Đây chính là hai vectơ đối nhau, kí hiệu nếu một vectơ là $\vec{F}$ thì vectơ kia là $-\vec{F}$. Tổng của chúng bằng vectơ-không: $\vec{F} + (-\vec{F}) = \vec{0}$.

Luyện tập 2 (trang 53)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, CD$ và $O$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh rằng:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}.$$

Lời giải:

Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ là hai vectơ đối nhau:

$$\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}. \quad (1)$$

Tương tự, $N$ là trung điểm $CD$ nên:

$$\vec{NC} + \vec{ND} = \vec{0}. \quad (2)$$

$O$ là trung điểm $MN$ nên $\vec{OM}$ và $\vec{ON}$ là hai vectơ đối nhau:

$$\vec{OM} + \vec{ON} = \vec{0}. \quad (3)$$

Phân tích từng vectơ qua $M$ hoặc $N$ (quy tắc ba điểm):

• $\vec{OA} = \vec{OM} + \vec{MA}$.
• $\vec{OB} = \vec{OM} + \vec{MB}$.
• $\vec{OC} = \vec{ON} + \vec{NC}$.
• $\vec{OD} = \vec{ON} + \vec{ND}$.

Cộng cả $4$ đẳng thức trên:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = (\vec{OM} + \vec{OM}) + (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{ON} + \vec{ON}) + (\vec{NC} + \vec{ND}).$$

Áp dụng $(1)$ và $(2)$: $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$ và $\vec{NC} + \vec{ND} = \vec{0}$. Còn lại:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{OM} + \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{ON} = (\vec{OM} + \vec{ON}) + (\vec{OM} + \vec{ON}).$$

Áp dụng $(3)$: $\vec{OM} + \vec{ON} = \vec{0}$, nên:

$$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}. ;;;\square$$

Vận dụng (trang 54)

Vận dụng trang 54

Đề bài: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng $22\,148$ N (ứng với khối lượng xấp xỉ $2\,260$ kg) lên một con dốc nghiêng $30^\circ$ so với phương nằm ngang. Nếu lực kéo của mỗi người bằng $100$ N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Lời giải:

Theo gợi ý ở SGK, khẩu pháo chịu tác động của ba lực:

• Trọng lực $\vec{P}$: $|\vec{P}| = 22\,148$ N, hướng thẳng đứng xuống.
• Phản lực $\vec{w}$: vuông góc với mặt dốc, hướng lên, $|\vec{w}| = |\vec{P}|\cos 30^\circ$.
• Lực kéo $\vec{F}$: dọc theo mặt dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc.

Để pháo cân bằng (không trượt xuống), ba lực có tổng bằng vectơ-không:

$$\vec{P} + \vec{w} + \vec{F} = \vec{0}.$$

Tách trọng lực $\vec{P}$ thành hai thành phần:

• Vuông góc với mặt dốc, có độ lớn $|\vec{P}|\cos 30^\circ$ → được phản lực $\vec{w}$ cân bằng.
• Dọc theo mặt dốc, hướng xuống chân dốc, có độ lớn $|\vec{P}|\sin 30^\circ$ → cần lực kéo $\vec{F}$ cân bằng.

Vậy độ lớn lực kéo cần thiết:

$$|\vec{F}| = |\vec{P}| \sin 30^\circ = 22\,148 \cdot \dfrac{1}{2} = 11\,074 \text{ (N)}.$$

Số người cần thiết: mỗi người kéo được $100$ N, nên:

$$\text{Số người} \geq \dfrac{11\,074}{100} = 110{,}74.$$

Vì số người phải là số nguyên dương, nên cần tối thiểu $111$ người để kéo khẩu pháo.

Bài tập (trang 54)

Bài 4.6 (trang 54)

Đề bài: Cho bốn điểm $A, B, C, D$. Chứng minh rằng:

a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$;

b) $\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{BC} – \vec{BD}$.

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc ba điểm liên tiếp:

$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$$

$$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}.$$

Suy ra $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Cộng tiếp $\vec{DA}$:

$$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$$

(vì $\vec{AD}$ và $\vec{DA}$ là hai vectơ đối). $;;\square$

b) Áp dụng quy tắc hiệu (với chung điểm gốc):

$$\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{DC} \quad (\text{vì } \vec{AC} – \vec{AD} = \vec{DC}).$$

$$\vec{BC} – \vec{BD} = \vec{DC} \quad (\text{tương tự}).$$

Vậy $\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{BC} – \vec{BD}$ (cùng bằng $\vec{DC}$). $;;\square$

Bài 4.7 (trang 54)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy tìm điểm $M$ để $\vec{BM} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{CD}$ và $\vec{CM}$.

Lời giải:

Tìm điểm $M$:

Áp dụng quy tắc hình bình hành: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Vậy điều kiện $\vec{BM} = \vec{AB} + \vec{AD}$ trở thành:

$$\vec{BM} = \vec{AC}.$$

Hai vectơ $\vec{BM}$ và $\vec{AC}$ bằng nhau → cùng hướng và cùng độ dài. $M$ là điểm sao cho từ $B$ “tịnh tiến” theo vectơ $\vec{AC}$. Cụ thể, $M$ thoả mãn tứ giác $ABMC$ là hình bình hành (vì $\vec{BM} = \vec{AC}$).

Mối quan hệ giữa $\vec{CD}$ và $\vec{CM}$:

Phân tích $\vec{CM}$ qua $B$:

$$\vec{CM} = \vec{CB} + \vec{BM}.$$

Vì $\vec{BM} = \vec{AC}$, nên:

$$\vec{CM} = \vec{CB} + \vec{AC} = \vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}.$$

Trong hình bình hành $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC} = -\vec{CD}$.

Vậy:

$$\vec{CM} = -\vec{CD}.$$

Kết luận: $\vec{CM}$ và $\vec{CD}$ là hai vectơ đối nhau, tức là cùng độ dài, ngược hướng. Suy ra $C$ là trung điểm của đoạn $DM$.

Bài 4.8 (trang 54)

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB} – \vec{AC}$, $\vec{AB} + \vec{AC}$.

Lời giải:

Tính $|\vec{AB} – \vec{AC}|$:

Áp dụng quy tắc hiệu (cùng điểm đầu $A$):

$$\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB}.$$

Suy ra $|\vec{AB} – \vec{AC}| = |\vec{CB}| = CB = a$.

Tính $|\vec{AB} + \vec{AC}|$:

Áp dụng quy tắc hình bình hành: vẽ hình bình hành $ABDC$ với $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là hai cạnh kề tại $A$. Khi đó:

$$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD},$$

trong đó $D$ là đỉnh đối diện với $A$ trong hình bình hành $ABDC$.

Gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo $AD$ và $BC$ → $I$ là trung điểm $BC$ và cũng là trung điểm $AD$.

Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, $AI$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao:

$$AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Vì $I$ là trung điểm $AD$ nên:

$$AD = 2 \cdot AI = 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.$$

Vậy $|\vec{AB} + \vec{AC}| = AD = a\sqrt{3}$.

Bài 4.9 (trang 54)

Đề bài: Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_1}| = 3$ N, $|\vec{F_2}| = 2$ N. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_1} + \vec{F_2}$. (Góc giữa hai lực là $120^\circ$.)

Lời giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành: vẽ hình bình hành $OACB$ với $\vec{OA} = \vec{F_1}$, $\vec{OB} = \vec{F_2}$. Khi đó hợp lực là đường chéo:

$$\vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{OC}.$$

Trong hình bình hành $OACB$:

• $OA = |\vec{F_1}| = 3$, $OB = |\vec{F_2}| = 2$.
• $\widehat{AOB} = 120^\circ$ (góc giữa hai lực).
• $BC = OA = 3$ (cạnh đối hình bình hành).
• $\widehat{OBC} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$ (hai góc kề trong hình bình hành thì bù nhau).

Xét tam giác $OBC$: $OB = 2$, $BC = 3$, $\widehat{OBC} = 60^\circ$. Áp dụng định lí cosin:

$$OC^2 = OB^2 + BC^2 – 2 \cdot OB \cdot BC \cdot \cos \widehat{OBC}.$$

$$OC^2 = 2^2 + 3^2 – 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 4 + 9 – 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 13 – 6 = 7.$$

$$OC = \sqrt{7}.$$

Vậy độ lớn hợp lực:

$$|\vec{F_1} + \vec{F_2}| = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \text{ (N)}.$$

Bài 4.10 (trang 54)

Đề bài: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Lời giải:

Biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song $d_1$ và $d_2$. Giả sử tàu thứ nhất xuất phát từ $A \in d_1$ hướng về hạ lưu và tàu thứ hai xuất phát từ $B \in d_1$ hướng về thượng nguồn.

Dùng các vectơ $\vec{v}, \vec{v_1}, \vec{v_2}$ để biểu diễn vận tốc của dòng nước, vận tốc riêng của tàu thứ nhất và tàu thứ hai. Theo giả thiết: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}|$ và $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ tạo với bờ $d_1$ cùng một góc $\alpha$ (nhưng hướng ngược chiều theo dòng nước).

Bước 1: Lấy các điểm $K, M$ sao cho $\vec{BK} = \vec{v_2}, \vec{AM} = \vec{v_1}$. Từ giả thiết về độ dài bằng nhau và đối xứng theo bờ, tứ giác $ABKM$ là một hình thang cân.

Bước 2: Lấy các điểm $L, N$ sao cho $\vec{KL} = \vec{v} = \vec{MN}$. Khi đó:

• $\vec{AN} = \vec{AM} + \vec{MN} = \vec{v_1} + \vec{v}$ → vận tốc thực của tàu thứ nhất.
• $\vec{BL} = \vec{BK} + \vec{KL} = \vec{v_2} + \vec{v}$ → vận tốc thực của tàu thứ hai.

Gọi $C, D$ là giao điểm của đường đi tàu với bờ $d_2$ (cụ thể $D$ trên đường thẳng $AN$, $C$ trên đường thẳng $BL$).

Bước 3: Theo định lí Thales (vì hai bờ song song):

$$\dfrac{AD}{AN} = \dfrac{BC}{BL}.$$

Mặt khác, $|\vec{AN}| = |\vec{BL}|$ (do hình thang cân $ABKM$ kết hợp với $\vec{KL} = \vec{MN}$ thì $|AN| = |BL|$).

Suy ra $AD = BC$. Hai tàu di chuyển với cùng vận tốc thực có độ lớn bằng nhau ($|\vec{AN}| = |\vec{BL}|$) và quãng đường $AD, BC$ bằng nhau → hai tàu cần thời gian như nhau để sang bờ bên kia.

Kết luận: Cả hai tàu đến bờ bên kia cùng một lúc.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh