Mở đầu trang 66

Đề bài: Danh sách các cầu thủ của Đội tuyển bóng đá quốc gia tham dự một trận đấu quốc tế có $23$ cầu thủ gồm $3$ thủ môn, $7$ hậu vệ, $8$ tiền vệ và $5$ tiền đạo. Huấn luyện viên rất bí mật, không cho ai biết đội hình (danh sách $11$ cầu thủ) sẽ ra sân. Trong cuộc họp báo, ông chỉ tiết lộ đội sẽ đá theo sơ đồ $3 – 4 – 3$ (nghĩa là $3$ hậu vệ, $4$ tiền vệ, $3$ tiền đạo và $1$ thủ môn). Đối thủ đã có danh sách $23$ cầu thủ và rất muốn dự đoán đội hình, họ xét hết các khả năng có thể xảy ra. Hỏi nếu đối thủ đã dự đoán được trước vị trí thủ môn thì họ sẽ phải xét bao nhiêu đội hình có thể?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải bài toán bằng quy tắc nhân kết hợp với tổ hợp (xem Ví dụ 5):

• Chọn $3$ hậu vệ từ $7$ hậu vệ: $C_7^3 = 35$ cách.
• Chọn $4$ tiền vệ từ $8$ tiền vệ: $C_8^4 = 70$ cách.
• Chọn $3$ tiền đạo từ $5$ tiền đạo: $C_5^3 = 10$ cách.

Theo quy tắc nhân, số đội hình có thể là $35 \times 70 \times 10 = 24\,500$ (đội hình).

1. Hoán vị

HĐ1 (trang 66)

Đề bài: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Lời giải:

a) Ba cách sắp xếp (ví dụ):

1. Hà – Mai – Nam – Đạt.
2. Mai – Hà – Đạt – Nam.
3. Nam – Đạt – Hà – Mai.

(Học sinh có thể chọn các cách khác.)

b) Đếm số cách sắp xếp $4$ bạn vào $4$ vị trí (mỗi cách là một hoán vị của $4$ bạn):

• Vị trí 1 (ngoài cùng bên trái): có $4$ cách chọn bạn.
• Vị trí 2: còn $3$ bạn → $3$ cách.
• Vị trí 3: còn $2$ bạn → $2$ cách.
• Vị trí 4: còn $1$ bạn → $1$ cách.

Theo quy tắc nhân: $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24$ (cách).

Luyện tập 1 (trang 67)

Đề bài: Trong một cuộc thi điền kinh gồm $6$ vận động viên chạy trên $6$ đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Lời giải:

Mỗi cách xếp $6$ vận động viên vào $6$ đường chạy là một hoán vị của $6$ phần tử. Số cách xếp:

$$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \text{ (cách).}$$

2. Chỉnh hợp

HĐ2 (trang 67)

Đề bài: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia cuộc thi hùng biện của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn?

b) Hai bạn phụ trách nhóm, trong đó một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó?

Lời giải:

a) Chọn $2$ bạn từ $4$ bạn (không phân biệt vai trò). Hai cách chọn được coi là giống nhau nếu chỉ khác thứ tự (ví dụ chọn $\{$Tuấn, Hương$\}$ giống chọn $\{$Hương, Tuấn$\}$).

Liệt kê các nhóm $2$ bạn: $\{$T, H$\}, \{$T, V$\}, \{$T, D$\}, \{$H, V$\}, \{$H, D$\}, \{$V, D$\}$ – có $6$ nhóm.

Vậy có $6$ cách chọn.

b) Chọn $2$ bạn có phân biệt trưởng/phó:

• Chọn nhóm trưởng: $4$ cách.
• Chọn nhóm phó (khác trưởng): $3$ cách.

Theo quy tắc nhân: $4 \times 3 = 12$ (cách).

Mỗi cách chọn ở câu b) là một chỉnh hợp chập 2 của 4, kí hiệu $A_4^2 = 12$.

Luyện tập 2 (trang 68)

Đề bài: Trong một giải đua ngựa gồm $12$ con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến $3$ con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Lời giải:

Mỗi kết quả là một cách chọn có thứ tự $3$ con ngựa (nhất, nhì, ba) từ $12$ con ngựa, tức là một chỉnh hợp chập $3$ của $12$:

$$A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1\,320 \text{ (kết quả).}$$

3. Tổ hợp

HĐ3 (trang 68)

Đề bài: Trở lại HĐ2.

a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.

b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Lời giải:

a) Sự khác biệt:

• HĐ2a: chọn $2$ bạn không phân biệt thứ tự (không phân biệt vai trò) → đếm số tập con $2$ phần tử của tập $4$ bạn.
• HĐ2b: chọn $2$ bạn có phân biệt thứ tự (trưởng/phó) → đếm số cặp có thứ tự.

b) Mỗi cặp $2$ bạn không thứ tự (chẳng hạn $\{$Tuấn, Hương$\}$) tương ứng với $2! = 2$ cách sắp xếp có thứ tự (Tuấn trưởng – Hương phó, hoặc Hương trưởng – Tuấn phó). Vậy:

$$\text{Số cách chọn (HĐ2a)} = \dfrac{\text{Số cách chọn (HĐ2b)}}{2!} = \dfrac{12}{2} = 6.$$

Đó cũng chính là công thức tổ hợp: $C_4^2 = \dfrac{A_4^2}{2!} = \dfrac{12}{2} = 6$.

Luyện tập 3 (trang 69)

Đề bài: Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có $20$ câu lí thuyết và $40$ câu bài tập. Người ta chọn ra $2$ câu lí thuyết và $3$ câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm $5$ câu hỏi theo cách chọn như trên?

Lời giải:

Mỗi đề thi gồm hai công đoạn (không phân biệt thứ tự các câu trong cùng loại):

• Công đoạn 1: chọn $2$ câu lí thuyết từ $20$ câu lí thuyết — $C_{20}^2$ cách.

$$C_{20}^2 = \dfrac{20!}{2! \cdot 18!} = \dfrac{20 \times 19}{2} = 190.$$

• Công đoạn 2: chọn $3$ câu bài tập từ $40$ câu bài tập — $C_{40}^3$ cách.

$$C_{40}^3 = \dfrac{40!}{3! \cdot 37!} = \dfrac{40 \times 39 \times 38}{6} = 9\,880.$$

Theo quy tắc nhân, số cách lập đề thi là:

$$190 \times 9\,880 = 1\,877\,200 \text{ (cách).}$$

4. Ứng dụng – Vận dụng

Vận dụng (trang 70)

Đề bài: Một câu lạc bộ có $20$ học sinh.

a) Có bao nhiêu cách chọn $6$ thành viên vào Ban quản lí?

b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, $1$ Phó ban, $4$ thành viên khác vào Ban quản lí?

Lời giải:

a) Chọn $6$ bạn từ $20$ bạn (không phân biệt vai trò) — đây là tổ hợp chập $6$ của $20$:

$$C_{20}^6 = \dfrac{20!}{6! \cdot 14!} = 38\,760 \text{ (cách).}$$

b) Chọn $6$ bạn, trong đó $1$ là Trưởng ban, $1$ là Phó ban, $4$ còn lại là thành viên (không phân biệt). Thực hiện theo $3$ công đoạn:

• Công đoạn 1: chọn Trưởng ban từ $20$ bạn: $20$ cách.
• Công đoạn 2: chọn Phó ban từ $19$ bạn còn lại: $19$ cách.
• Công đoạn 3: chọn $4$ thành viên từ $18$ bạn còn lại (không phân biệt thứ tự): $C_{18}^4 = \dfrac{18!}{4! \cdot 14!} = 3\,060$ cách.

Theo quy tắc nhân:

$$20 \times 19 \times 3\,060 = 1\,162\,800 \text{ (cách).}$$

Bài tập (trang 70 – 71)

Bài 8.6 (trang 70)

Đề bài: Một hoạ sĩ cần trưng bày $10$ bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp $10$ bức tranh khác nhau theo một hàng ngang là một hoán vị của $10$ phần tử. Số cách:

$$P_{10} = 10! = 3\,628\,800 \text{ (cách).}$$

Bài 8.7 (trang 70)

Đề bài: Từ các chữ số $0,; 1,; 2,; 3,; 4$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a, b, c$ là các chữ số khác nhau lấy từ ${0, 1, 2, 3, 4}$ và $a \neq 0$ (vì là chữ số đầu).

• Chọn $a$: $a \neq 0$, có $4$ cách (từ ${1, 2, 3, 4}$).
• Chọn $b$: $b \neq a$, còn $4$ chữ số trong ${0, 1, 2, 3, 4}$, có $4$ cách.
• Chọn $c$: $c \neq a,; c \neq b$, có $3$ cách.

Theo quy tắc nhân: $4 \times 4 \times 3 = 48$ (số).

Bài 8.8 (trang 70)

Đề bài: Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn $100$? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn $100$?

Lời giải:

Các số nguyên dương nhỏ hơn $100$ là $1,; 2,; \ldots,; 99$ — tổng cộng $99$ số.

Vì tập hợp không phân biệt thứ tự các phần tử, mỗi cách chọn là một tổ hợp.

Chọn $2$ số:

$$C_{99}^2 = \dfrac{99!}{2! \cdot 97!} = \dfrac{99 \times 98}{2} = 4\,851 \text{ (cách).}$$

Chọn $3$ số:

$$C_{99}^3 = \dfrac{99!}{3! \cdot 96!} = \dfrac{99 \times 98 \times 97}{6} = 156\,849 \text{ (cách).}$$

Bài 8.9 (trang 70)

Đề bài: Bạn Hà có $5$ viên bi xanh và $7$ viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng $2$ viên bi khác màu?

Lời giải:

Chọn đúng $2$ viên bi khác màu, nghĩa là $1$ viên xanh và $1$ viên đỏ.

• Chọn $1$ viên bi xanh từ $5$ viên: $5$ cách.
• Chọn $1$ viên bi đỏ từ $7$ viên: $7$ cách.

Theo quy tắc nhân: $5 \times 7 = 35$ (cách).

Bài 8.10 (trang 71)

Đề bài: Một câu lạc bộ cờ vua có $10$ bạn nam và $7$ bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn $4$ bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn $4$ bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn $4$ bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn $4$ bạn, trong đó có $2$ bạn nam và $2$ bạn nữ?

Lời giải:

a) Chọn $4$ bạn nam từ $10$ bạn nam (không phân biệt thứ tự):

$$C_{10}^4 = \dfrac{10!}{4! \cdot 6!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = 210 \text{ (cách).}$$

b) Tổng số học sinh là $10 + 7 = 17$. Chọn $4$ bạn từ $17$ bạn:

$$C_{17}^4 = \dfrac{17!}{4! \cdot 13!} = \dfrac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{24} = 2\,380 \text{ (cách).}$$

c) Hai công đoạn:

• Chọn $2$ bạn nam từ $10$: $C_{10}^2 = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$.
• Chọn $2$ bạn nữ từ $7$: $C_7^2 = \dfrac{7 \times 6}{2} = 21$.

Theo quy tắc nhân: $45 \times 21 = 945$ (cách).

Bài 8.11 (trang 71)

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $5$ mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ với $a, b, c, d$ là các chữ số khác nhau và $a \neq 0$.

Để chia hết cho $5$: $d \in {0;; 5}$. Chia thành $2$ trường hợp rời nhau.

Trường hợp 1: $d = 0$.

• Chọn $a, b, c$ là $3$ chữ số khác nhau lấy từ ${1, 2, \ldots, 9}$ và sắp xếp có thứ tự (vì hoán đổi vị trí cho ra số khác).
• Số cách: $A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

Trường hợp 2: $d = 5$.

• Chọn $a$: $a \neq 0$ và $a \neq 5$, có $8$ cách (từ ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$).
• Chọn $b$: $b \neq a$ và $b \neq 5$, có $8$ cách (còn $10 – 2 = 8$ chữ số trong ${0, 1, \ldots, 9}$).
• Chọn $c$: $c \neq a,; b,; 5$, có $7$ cách.

Số cách: $8 \times 8 \times 7 = 448$.

Tổng theo quy tắc cộng:

$$504 + 448 = 952 \text{ (số).}$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh