Mở đầu trang 46

Đề bài: Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết. Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một đơn vị đo, ta có thể dùng số để biểu diễn nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió thì sao? Ta có thể dùng đối tượng toán học nào để biểu diễn chúng?

Lời giải:

Để biểu diễn các đại lượng vừa có hướng vừa có độ lớn như vận tốc gió, lực, vận tốc của vật chuyển động,… ta dùng đối tượng toán học gọi là vectơ.

Bài học này sẽ giới thiệu khái niệm vectơ cùng các tính chất cơ bản: hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, hai vectơ bằng nhau và vectơ-không.

1. Khái niệm vectơ

HĐ1 (trang 47)

Đề bài: Một con tàu khởi hành từ đảo $A$, đi thẳng về hướng đông $10$ km rồi đi thẳng tiếp $10$ km về hướng nam thì tới đảo $B$ (H.4.2). Nếu từ đảo $A$, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo $B$, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Gọi $M$ là vị trí tàu sau khi đi $10$ km về hướng đông. Đường đi của tàu gồm hai đoạn vuông góc:

• Đoạn $AM$ dài $10$ km, hướng đông.
• Đoạn $MB$ dài $10$ km, hướng nam.

Tam giác $AMB$ vuông tại $M$. Áp dụng định lí Pytago:

$$AB^2 = AM^2 + MB^2 = 10^2 + 10^2 = 200.$$

$$AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14 \text{ (km)}.$$

Hướng đi: Vì đoạn đi về hướng đông và đoạn đi về hướng nam có độ dài bằng nhau, đường thẳng từ $A$ tới $B$ tạo với hướng đông một góc $45^\circ$ về phía nam, tức là tàu cần đi theo hướng đông nam.

Kết luận: Tàu phải đi theo hướng đông nam, quãng đường $10\sqrt{2}$ km $\approx 14{,}14$ km.

Luyện tập 1 (trang 47)

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ với cạnh có độ dài bằng $a$. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng $a$ và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Tam giác đều $ABC$ có ba cạnh đều có độ dài $a$: $AB = BC = CA = a$.

Trên mỗi cạnh, ta có thể vẽ hai vectơ theo hai chiều ngược nhau (mỗi vectơ đều có độ dài bằng cạnh, tức là bằng $a$):

• Trên cạnh $AB$: $\vec{AB}$ và $\vec{BA}$.
• Trên cạnh $BC$: $\vec{BC}$ và $\vec{CB}$.
• Trên cạnh $CA$: $\vec{CA}$ và $\vec{AC}$.

Vậy có $6$ vectơ có độ dài bằng $a$:

$$\vec{AB},; \vec{BA},; \vec{BC},; \vec{CB},; \vec{CA},; \vec{AC}.$$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

HĐ2 (trang 47)

Đề bài: Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng:

a) Các làn đường song song với nhau.

b) Các xe chạy theo cùng một hướng.

c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Lời giải:

Quan sát Hình 4.5 (đường có nhiều làn, một số xe chạy lên, một số xe chạy xuống):

• a) Các làn đường được kẻ song song với nhau → đúng.
• b) Trong hình có những xe chạy theo chiều này và xe chạy theo chiều ngược lại, nên các xe không cùng hướng → sai.
• c) Vì các làn đều song song, mỗi xe chỉ chạy theo một trong hai chiều của đường, nên hai xe bất kỳ hoặc cùng chiều, hoặc ngược chiều → đúng.

Kết luận: Các nhận xét đúng là a) và c).

HĐ3 (trang 48)

Đề bài: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{AB}$ được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{x}$ được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và các vectơ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$.

Lời giải:

Trong Hình 4.7, các vectơ cùng phương với $\vec{a}$ gồm: $\vec{a}, \vec{AB}, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ (vectơ $\vec{b}$ không cùng phương nên không xét).

Quan sát chiều mũi tên của từng vectơ so với $\vec{a}$:

• $\vec{AB}$ và $\vec{y}$ có cùng chiều với $\vec{a}$ → cùng hướng với $\vec{a}$.
• $\vec{x}$ và $\vec{z}$ có chiều ngược lại với $\vec{a}$ → ngược hướng với $\vec{a}$.

Kết luận:

• Vectơ cùng hướng với $\vec{a}$: $\vec{AB}$ và $\vec{y}$.
• Vectơ ngược hướng với $\vec{a}$: $\vec{x}$ và $\vec{z}$.

Luyện tập 2 (trang 49)

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ với hai đáy $AB$, $CD$, $AB < CD$ (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$, $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$, $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$. Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau hay không?

Lời giải:

Trong hình thang cân $ABCD$ với hai đáy $AB$, $CD$ và $AB < CD$:

Cặp $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ (hai cạnh bên):

• Độ dài: $AD = BC$ (tính chất hình thang cân) → $|\vec{AD}| = |\vec{BC}|$.
• Phương: $AD$ và $BC$ là hai cạnh bên của hình thang, không song song (nếu kéo dài sẽ cắt nhau ở phía trên) → hai vectơ không cùng phương.
• Kết luận: $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương → không bằng nhau.

Cặp $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ (hai đáy):

• Phương: $AB \parallel CD$ → hai vectơ cùng phương.
• Hướng: Trong hình thang $ABCD$ vẽ theo thứ tự, $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ ngược hướng (một đi từ trái sang phải thì cái kia đi từ phải sang trái).
• Độ dài: $AB < CD$ → $|\vec{AB}| < |\vec{CD}|$.
• Kết luận: cùng phương nhưng ngược hướng và khác độ dài → không bằng nhau.

Cặp $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$ (hai đường chéo):

• Độ dài: $AC = BD$ (tính chất hình thang cân) → $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$.
• Phương: Hai đường chéo cắt nhau trong hình thang, không song song → hai vectơ không cùng phương.
• Kết luận: cùng độ dài nhưng không cùng phương → không bằng nhau.

Kết luận chung: Trong ba cặp vectơ trên, không có cặp nào bằng nhau.

Luyện tập 3 (trang 49)

Đề bài: Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm $M$ nằm giữa hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

a) $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ ngược hướng.

b) $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ cùng phương.

c) $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ cùng hướng.

d) $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ ngược hướng.

Lời giải:

Phân tích từng điều kiện:

a) $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ ngược hướng: nếu vậy thì $M$ nằm về phía đối diện với $B$ qua $A$, tức $A$ nằm giữa $M$ và $B$ → sai với yêu cầu.

b) $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ cùng phương: cùng phương có thể là cùng hướng hoặc ngược hướng. Nếu cùng hướng thì $M$ nằm ngoài đoạn $AB$ (cùng một phía); nếu ngược hướng thì $M$ nằm giữa. Như vậy điều kiện này chưa đủ → không phải điều kiện cần và đủ.

c) $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ cùng hướng: chỉ cho biết $M$ nằm cùng phía với $B$ so với $A$. $M$ có thể nằm giữa $A$ và $B$, hoặc nằm ngoài $AB$ về phía $B$ (khi $AM > AB$). → không đủ.

d) $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ ngược hướng: nghĩa là từ điểm $M$ nhìn về $A$ và $B$ theo hai chiều ngược nhau, tức $A$ và $B$ nằm về hai phía của $M$ → $M$ nằm giữa $A$ và $B$. Ngược lại, nếu $M$ nằm giữa $A$ và $B$ thì $\vec{MA}, \vec{MB}$ hiển nhiên ngược hướng. → điều kiện cần và đủ.

Đáp án: d).

Vận dụng (trang 50)

Vận dụng trang 50

Đề bài: Hai ca nô $A$ và $B$ chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là $15$ km/h. Tuy vậy, ca nô $A$ chạy xuôi dòng còn ca nô $B$ chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là $3$ km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\vec{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\vec{v_a}, \vec{v_b}$ của các ca nô $A, B$.

b) Trong các vectơ $\vec{v}, \vec{v_a}, \vec{v_b}$, những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Lời giải:

a) Vận tốc thực tế của ca nô = vận tốc riêng kết hợp với vận tốc dòng nước.

• Ca nô $A$ xuôi dòng: dòng nước hỗ trợ nên ca nô đi nhanh hơn. Vectơ $\vec{v_a}$ cùng hướng với $\vec{v}$ và có độ lớn $|\vec{v_a}| = 15 + 3 = 18$ km/h.
• Ca nô $B$ ngược dòng: dòng nước cản nên ca nô đi chậm hơn. Vectơ $\vec{v_b}$ ngược hướng với $\vec{v}$ và có độ lớn $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12$ km/h.

b) Cả ba vectơ $\vec{v}, \vec{v_a}, \vec{v_b}$ đều nằm trên cùng một đường thẳng (phương của dòng sông) nên:

• Các cặp cùng phương: cả $3$ cặp: $(\vec{v}, \vec{v_a});; (\vec{v}, \vec{v_b});; (\vec{v_a}, \vec{v_b})$.
• Các cặp ngược hướng: $(\vec{v}, \vec{v_b})$ và $(\vec{v_a}, \vec{v_b})$.

Bài tập (trang 50)

Bài 4.1 (trang 50)

Đề bài: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$;

b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$;

c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;

d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

Nhớ lại: theo quy ước, vectơ-không $\vec{0}$ cùng hướng (và do đó cùng phương) với mọi vectơ.

a) Vì $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ, nên $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$ → đúng.

b) Hai vectơ không cùng hướng có thể không cùng phương (tức không thuộc loại nào trong “cùng hướng” hay “ngược hướng”). Ví dụ vẽ $\vec{a}$ nằm ngang, $\vec{b}$ thẳng đứng → không cùng hướng, cũng không ngược hướng → sai.

c) Nếu $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{c}$ thì giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$. Tương tự với $\vec{b}$. Do đó giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ đều song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{c}$, suy ra cũng song song (hoặc trùng) với nhau. → $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương → đúng.

d) Tương tự: cùng hướng với cùng một vectơ $\vec{c}$ thì cùng hướng với nhau → đúng.

Kết luận: Các khẳng định đúng là a, c, d. Khẳng định sai là b.

Bài 4.2 (trang 50)

Đề bài: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Lời giải:

Quan sát Hình 4.12:

• Các vectơ cùng phương: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (vectơ $\vec{d}$ không cùng phương với ba vectơ này).
• Các cặp vectơ ngược hướng: $\vec{a}$ và $\vec{b}$; $\vec{b}$ và $\vec{c}$.
• Các cặp vectơ bằng nhau: $\vec{a}$ và $\vec{c}$ có cùng hướng và cùng độ dài, nên $\vec{a} = \vec{c}$.

Bài 4.3 (trang 50)

Đề bài: Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Lời giải:

Ta chứng minh hai chiều.

Chiều thuận ($\Rightarrow$): Giả sử $ABCD$ là hình bình hành.

Trong hình bình hành $ABCD$, hai cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau:

• $AD \parallel BC$ → giá của $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ song song → cùng phương.
• $AD = BC$ → $|\vec{AD}| = |\vec{BC}|$.
• Xét chiều: trong hình bình hành $ABCD$ vẽ theo thứ tự các đỉnh, $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng (cùng từ một cạnh đáy đi sang cạnh đáy kia).

Vậy $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng và cùng độ dài → $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Chiều ngược ($\Leftarrow$): Giả sử $\vec{BC} = \vec{AD}$.

• $\vec{BC} = \vec{AD}$ nên hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.
• Cùng hướng → giá của chúng song song hoặc trùng nhau → $AD \parallel BC$ (hoặc nằm trên cùng đường thẳng, nhưng nếu $ABCD$ là tứ giác thì $A, B, C, D$ không thẳng hàng, nên $AD \parallel BC$).
• Cùng độ dài → $AD = BC$.

Tứ giác $ABCD$ có cặp cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau → $ABCD$ là hình bình hành.

Kết luận: $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{BC} = \vec{AD}$.

Bài 4.4 (trang 50)

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp ${A; B; C; D; O}$. Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Lời giải:

Bước 1: Liệt kê các vectơ trong tập $S$.

Với $5$ điểm $A, B, C, D, O$, mỗi cặp điểm có thứ tự (điểm đầu, điểm cuối) khác nhau cho ta một vectơ. Số vectơ = $5 \times 4 = 20$ (loại trừ các vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối vì chúng là vectơ-không).

$$S = \{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{AD}, \vec{DA}, \vec{AO}, \vec{OA}, \vec{BC}, \vec{CB},$$

$$\vec{BD}, \vec{DB}, \vec{BO}, \vec{OB}, \vec{CD}, \vec{DC}, \vec{CO}, \vec{OC}, \vec{DO}, \vec{OD}\}.$$

Bước 2: Chia nhóm theo “bằng nhau”.

Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Trong hình vuông $ABCD$ với $O$ là tâm:

Các cạnh hình vuông:

• Nhóm 1: ${\vec{AB};; \vec{DC}}$ (hai cạnh đối, cùng hướng, cùng độ dài).
• Nhóm 2: ${\vec{BA};; \vec{CD}}$ (ngược của nhóm 1).
• Nhóm 3: ${\vec{AD};; \vec{BC}}$ (hai cạnh đối, cùng hướng, cùng độ dài).
• Nhóm 4: ${\vec{DA};; \vec{CB}}$ (ngược của nhóm 3).

Các vectơ liên quan tới $O$ (vì $O$ là trung điểm cả hai đường chéo):

• Nhóm 5: ${\vec{AO};; \vec{OC}}$ (đều có độ dài $= \dfrac{1}{2} AC$, cùng hướng).
• Nhóm 6: ${\vec{OA};; \vec{CO}}$ (ngược của nhóm 5).
• Nhóm 7: ${\vec{BO};; \vec{OD}}$ (đều có độ dài $= \dfrac{1}{2} BD$, cùng hướng).
• Nhóm 8: ${\vec{OB};; \vec{DO}}$ (ngược của nhóm 7).

Các đường chéo nguyên (không có vectơ nào bằng):

• Nhóm 9: ${\vec{AC}}$.
• Nhóm 10: ${\vec{CA}}$.
• Nhóm 11: ${\vec{BD}}$.
• Nhóm 12: ${\vec{DB}}$.

(Lưu ý: trong hình vuông, hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc nên $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$ không cùng phương, không bằng nhau.)

Kiểm tra: $8$ nhóm có $2$ phần tử + $4$ nhóm có $1$ phần tử = $8 \times 2 + 4 \times 1 = 20$ vectơ. ✓

Tổng cộng: Tập $S$ chia thành $12$ nhóm.

Bài 4.5 (trang 50)

Đề bài: Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, hãy vẽ các vectơ $\vec{OA}, \vec{MN}$ với $A(1; 2),; M(0; -1),; N(3; 5)$.

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \vec{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N$?

Lời giải:

Vẽ: trên hệ trục $Oxy$:

• $\vec{OA}$ có điểm đầu $O(0; 0)$, điểm cuối $A(1; 2)$.
• $\vec{MN}$ có điểm đầu $M(0; -1)$, điểm cuối $N(3; 5)$.

a) Mối quan hệ giữa $\vec{OA}$ và $\vec{MN}$:

Tính độ dài hai vectơ (dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm):

$$|\vec{OA}| = OA = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.$$

$$|\vec{MN}| = MN = \sqrt{(3-0)^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$$

→ $|\vec{MN}| = 3 \cdot |\vec{OA}|$.

Xét phương: đường thẳng $OA$ đi qua $O(0;0)$ và $A(1;2)$ có hệ số góc $\dfrac{2 – 0}{1 – 0} = 2$. Đường thẳng $MN$ đi qua $M(0;-1)$ và $N(3;5)$ có hệ số góc $\dfrac{5 – (-1)}{3 – 0} = \dfrac{6}{3} = 2$.

Hai đường thẳng có cùng hệ số góc → song song (hoặc trùng nhau). Kiểm tra: $M(0;-1)$ không nằm trên đường $y = 2x$ (vì $-1 \neq 0$), nên hai đường thẳng $OA$ và $MN$ song song → hai vectơ $\vec{OA}$ và $\vec{MN}$ cùng phương.

Xét hướng: khi đi từ $O \to A$, hoành độ tăng từ $0 \to 1$ và tung độ tăng từ $0 \to 2$. Khi đi từ $M \to N$, hoành độ tăng từ $0 \to 3$ và tung độ tăng từ $-1 \to 5$. Cả hai vectơ đều đi sang phải và lên trên → cùng hướng.

Kết luận câu a): $\vec{MN}$ cùng hướng với $\vec{OA}$ và có độ dài gấp $3$ lần, tức là $|\vec{MN}| = 3 \cdot |\vec{OA}|$.

b) Vật thể có đi qua $N$ không?

Vật khởi hành từ $M$ với vận tốc $\vec{v} = \vec{OA}$. Quỹ đạo của vật là đường thẳng đi qua $M$ và cùng hướng với $\vec{OA}$.

Vì $\vec{MN}$ cùng hướng với $\vec{OA}$ (cùng hướng với $\vec{v}$), nên $N$ nằm đúng trên đường đi của vật → vật thể đi qua $N$.

Thời gian đi từ $M$ tới $N$:

• Quãng đường $MN = |\vec{MN}| = 3\sqrt{5}$ (đơn vị độ dài).
• Tốc độ $= |\vec{v}| = |\vec{OA}| = \sqrt{5}$ (đơn vị độ dài / giờ).

$$t = \dfrac{MN}{|\vec{v}|} = \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3 \text{ (giờ)}.$$

Vậy sau $3$ giờ, vật thể sẽ tới $N$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh