Mở đầu trang 22

Đề bài: Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi $1-6$, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:

• Loại 1 (dành cho trẻ từ $6-13$ tuổi): $50\,000$ đồng/vé;
• Loại 2 (dành cho người trên $13$ tuổi): $100\,000$ đồng/vé.

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu $20$ triệu đồng. Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

Lời giải:

Đây là tình huống mở đầu sẽ được giải đáp thông qua khái niệm miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong bài học. Câu trả lời chi tiết được trình bày ở Ví dụ 5 trong SGK (gọi $x$ là số vé loại 1, $y$ là số vé loại 2, ta sẽ đi tìm miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y < 400$).

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1 (trang 22)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ là số vé loại 1 bán được và $y$ là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo $x$ và $y$.

a) Các số nguyên không âm $x$ và $y$ phải thoả mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu $20$ triệu đồng?

b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn $20$ triệu đồng thì $x$ và $y$ thoả mãn điều kiện gì?

Lời giải:

Đổi đơn vị: $50\,000$ đồng $= 50$ nghìn đồng; $100\,000$ đồng $= 100$ nghìn đồng; $20$ triệu đồng $= 20\,000$ nghìn đồng.

Số tiền bán vé thu được (nghìn đồng) là:

$$50x + 100y.$$

a) Để số tiền đạt tối thiểu $20$ triệu đồng:

$$50x + 100y \geq 20\,000.$$

Chia cả hai vế cho $50$, ta được bất phương trình đơn giản hơn:

$$x + 2y \geq 400 \quad (\text{với } x, y \in \mathbb{N}).$$

b) Nếu số tiền nhỏ hơn $20$ triệu đồng:

$$50x + 100y < 20\,000 ;\Leftrightarrow; x + 2y < 400 \quad (\text{với } x, y \in \mathbb{N}).$$

HĐ2 (trang 23)

Đề bài: Cặp số $(x; y) = (100; 100)$ thoả mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được $100$ vé loại 1 và $100$ vé loại 2. Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số $(x; y) = (150; 150)$.

Lời giải:

Hai bất phương trình từ HĐ1:

• (1): $x + 2y \geq 400$ (đạt tối thiểu $20$ triệu, không phải bù lỗ).
• (2): $x + 2y < 400$ (nhỏ hơn $20$ triệu, phải bù lỗ).

Cặp $(x; y) = (100; 100)$:

$$x + 2y = 100 + 2 \cdot 100 = 300.$$

So sánh: $300 < 400$ → thoả bpt (2), không thoả bpt (1).

→ Rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Cặp $(x; y) = (150; 150)$:

$$x + 2y = 150 + 2 \cdot 150 = 450.$$

So sánh: $450 \geq 400$ → thoả bpt (1), không thoả bpt (2).

→ Rạp chiếu phim không phải bù lỗ.

Luyện tập 1 (trang 23)

Đề bài: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y \geq 0$.

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với $y = 0$, có bao nhiêu giá trị của $x$ thoả mãn bất phương trình đã cho?

Lời giải:

a) Tìm nghiệm bằng cách thử cặp số và kiểm tra $x + 2y \geq 0$:

• Thử $(x; y) = (0; 0)$: $0 + 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$ ✓ → là nghiệm.
• Thử $(x; y) = (1; 0)$: $1 + 2 \cdot 0 = 1 \geq 0$ ✓ → là nghiệm.
• Thử $(x; y) = (0; 1)$: $0 + 2 \cdot 1 = 2 \geq 0$ ✓ → là nghiệm.

Vậy có thể chọn hai nghiệm là $(0; 0)$ và $(1; 0)$ (hoặc bất cứ cặp nào khác thoả mãn).

b) Thay $y = 0$ vào bất phương trình:

$$x + 2 \cdot 0 \geq 0 ;\Leftrightarrow; x \geq 0.$$

Có vô số giá trị của $x$ thoả mãn (mọi $x \geq 0$).

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

HĐ3 (trang 23)

Đề bài: Cho đường thẳng $d: 2x – y = 4$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

a) Các điểm $O(0; 0)$, $A(-1; 3)$ và $B(-2; -2)$ có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ không? Tính giá trị của biểu thức $2x – y$ tại các điểm đó và so sánh với $4$.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm $C(3; 1)$, $D(4; -1)$.

Lời giải:

a) Tính giá trị $2x – y$ tại từng điểm:

• $O(0; 0)$: $2 \cdot 0 – 0 = 0$. So sánh: $0 < 4$.
• $A(-1; 3)$: $2 \cdot (-1) – 3 = -5$. So sánh: $-5 < 4$.
• $B(-2; -2)$: $2 \cdot (-2) – (-2) = -4 + 2 = -2$. So sánh: $-2 < 4$.

Cả ba điểm $O, A, B$ đều cho giá trị $2x – y < 4$.

→ Ba điểm $O, A, B$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ (nửa mặt phẳng ứng với $2x – y < 4$).

b) Tính giá trị $2x – y$ tại $C$ và $D$:

• $C(3; 1)$: $2 \cdot 3 – 1 = 5$. So sánh: $5 > 4$.
• $D(4; -1)$: $2 \cdot 4 – (-1) = 8 + 1 = 9$. So sánh: $9 > 4$.

Cả hai điểm $C, D$ đều cho giá trị $2x – y > 4$.

→ $C$ và $D$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $d$, và là nửa mặt phẳng khác với nửa mặt phẳng chứa $O, A, B$.

Luyện tập 2 (trang 24)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y < 200$ trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước trong SGK:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 2x + y = 200$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Tìm hai điểm để vẽ:

• Cho $x = 0$: $y = 200$ → điểm $(0; 200)$.
• Cho $y = 0$: $2x = 200 \Rightarrow x = 100$ → điểm $(100; 0)$.

Vì bất phương trình có dấu $<$ (không lấy bằng) nên đường thẳng $d$ được vẽ bằng nét đứt.

Bước 2. Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d$, thay vào biểu thức $2x + y$:

$$2 \cdot 0 + 0 = 0 < 200. \quad \text{Thoả mãn.}$$

Vậy điểm $O$ thuộc miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ (không kể bờ $d$) chứa gốc toạ độ $O$.

Vận dụng (trang 25)

Vận dụng trang 25

Đề bài: Một công ty viễn thông tính phí $1$ nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và $2$ nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn $200$ nghìn đồng?

Lời giải:

Gọi $x$ là số phút gọi nội mạng, $y$ là số phút gọi ngoại mạng ($x, y \in \mathbb{N}$).

Số tiền phải trả (nghìn đồng) là:

$$1 \cdot x + 2 \cdot y = x + 2y.$$

Để số tiền phải trả ít hơn $200$ nghìn đồng:

$$x + 2y < 200.$$

Cùng với điều kiện $x \geq 0,; y \geq 0$ (vì là số phút).

Biểu diễn miền nghiệm của $x + 2y < 200$:

• Vẽ đường thẳng $d: x + 2y = 200$ (nét đứt vì dấu $<$). Hai điểm: $(0; 100)$ và $(200; 0)$.
• Lấy $O(0; 0)$: $0 + 2 \cdot 0 = 0 < 200$ → thoả mãn.
• Miền nghiệm: nửa mặt phẳng bờ $d$ không kể bờ, chứa $O$.

Kết hợp với điều kiện $x \geq 0,; y \geq 0$, miền nghiệm trên thực tế là phần tam giác giới hạn bởi $d$ và hai trục toạ độ (không kể cạnh $d$).

Ví dụ một cách sử dụng: $x = 50$ phút nội mạng, $y = 30$ phút ngoại mạng → số tiền $= 50 + 2 \cdot 30 = 110$ nghìn $< 200$ ✓.

Bài tập (trang 25)

Bài 2.1 (trang 25)

Đề bài: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x + 3y > 6$;

b) $2^2 x + y \leq 0$;

c) $2x^2 – y \geq 1$.

Lời giải:

Nhớ lại dạng tổng quát: $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq, <, >$), trong đó $a, b, c$ là số thực ($a, b$ không đồng thời bằng $0$), $x$ và $y$ là các ẩn bậc nhất (không có $x^2, y^2, xy, \ldots$).

• a) $2x + 3y > 6$: hệ số $a = 2, b = 3, c = 6$, $x$ và $y$ đều bậc nhất → là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• b) $2^2 x + y \leq 0$: ở đây $2^2 = 4$ chỉ là một hệ số (một số cụ thể), bất phương trình tương đương $4x + y \leq 0$, $x$ và $y$ vẫn bậc nhất → là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• c) $2x^2 – y \geq 1$: chứa $x^2$ (bậc hai theo $x$) → không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kết luận: Câu a và b là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.2 (trang 25)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:

a) $3x + 2y \geq 300$;

b) $7x + 20y < 0$.

Lời giải:

a) Biểu diễn miền nghiệm của $3x + 2y \geq 300$:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 3x + 2y = 300$ trên mặt phẳng $Oxy$.

• Cho $x = 0$: $2y = 300 \Rightarrow y = 150$ → điểm $(0; 150)$.
• Cho $y = 0$: $3x = 300 \Rightarrow x = 100$ → điểm $(100; 0)$.

Vì có dấu “$\geq$” (lấy bằng) nên đường thẳng $d$ vẽ bằng nét liền.

Bước 2. Lấy $O(0; 0)$ không thuộc $d$, thay vào:

$$3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0. \quad 0 < 300 \text{ (không thoả mãn)}.$$

→ $O$ không thuộc miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ (kể cả bờ $d$) không chứa gốc toạ độ $O$.

b) Biểu diễn miền nghiệm của $7x + 20y < 0$:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 7x + 20y = 0$.

Đường này đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$. Tìm thêm một điểm:

• Cho $x = 20$: $7 \cdot 20 + 20y = 0 \Rightarrow 140 + 20y = 0 \Rightarrow y = -7$ → điểm $(20; -7)$.

Vì có dấu “$<$” (không lấy bằng) nên $d$ vẽ bằng nét đứt.

Bước 2. Lưu ý: vì $d$ đi qua $O$, ta không chọn $O$ làm điểm kiểm tra. Chọn $M_0(1; 0)$ không thuộc $d$:

$$7 \cdot 1 + 20 \cdot 0 = 7. \quad 7 > 0 \text{ (không thoả mãn)}.$$

→ $M_0(1; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ (không kể bờ $d$) không chứa điểm $(1; 0)$.

Bài 2.3 (trang 25)

Đề bài: Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá $14$ triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

a) Lập bất phương trình:

Tính phí cố định cả tuần:

• Từ thứ Hai đến thứ Sáu: $5$ ngày, mỗi ngày $900$ nghìn → $5 \times 900 = 4\,500$ (nghìn đồng).
• Thứ Bảy và Chủ nhật: $2$ ngày, mỗi ngày $1\,500$ nghìn → $2 \times 1\,500 = 3\,000$ (nghìn đồng).

Tổng phí cố định: $4\,500 + 3\,000 = 7\,500$ (nghìn đồng).

Phí theo quãng đường:

• Trong $x$ km của ngày thường: $8x$ (nghìn đồng).
• Trong $y$ km của cuối tuần: $10y$ (nghìn đồng).

Tổng số tiền ông An phải trả: $(7\,500 + 8x + 10y)$ nghìn đồng.

Đổi: $14$ triệu đồng $= 14\,000$ nghìn đồng.

Điều kiện không quá $14$ triệu đồng:

$$7\,500 + 8x + 10y \leq 14\,000.$$

Chuyển vế $7\,500$:

$$8x + 10y \leq 6\,500.$$

Có thể chia cả hai vế cho $2$ để gọn hơn:

$$\boxed{4x + 5y \leq 3\,250} \quad \text{(với } x \geq 0,; y \geq 0\text{)}.$$

b) Biểu diễn miền nghiệm:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 4x + 5y = 3\,250$.

• Cho $x = 0$: $5y = 3\,250 \Rightarrow y = 650$ → điểm $(0; 650)$.
• Cho $y = 0$: $4x = 3\,250 \Rightarrow x = 812{,}5$ → điểm $(812{,}5; 0)$.

Vì có dấu “$\leq$” nên đường $d$ vẽ bằng nét liền.

Bước 2. Lấy $O(0; 0)$ không thuộc $d$:

$$4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0 \leq 3\,250 \text{ (thoả mãn)}.$$

→ $O$ thuộc miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ (kể cả bờ $d$) chứa gốc toạ độ $O$. Vì $x, y$ là số kilômét nên ta chỉ lấy phần nằm trong góc phần tư thứ nhất ($x \geq 0, y \geq 0$).

Miền nghiệm thực tế là tam giác giới hạn bởi đường $d$ và hai trục $Ox$, $Oy$ với các đỉnh $O(0; 0)$, $(812{,}5; 0)$, $(0; 650)$ (kể cả các cạnh).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh