A – Trắc nghiệm

Bài 7.26 (trang 58)

Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. $2x – y + 1 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$.
C. $x^2 + y^2 = 1$.
D. $y = 2x + 3$.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng có dạng $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ với $(a; b)$ là vectơ chỉ phương.

• A, D: phương trình tổng quát hoặc dạng $y = ax + b$, không phải tham số.
• C: phương trình đường tròn.
• B: đúng dạng tham số (qua $O$, vectơ chỉ phương $(2;;1)$).

Chọn B.

Bài 7.27 (trang 58)

Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. $-x – 2y + 3 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 – t \end{cases}$.
C. $y^2 = 2x$.
D. $\dfrac{x^2}{10} + \dfrac{y^2}{6} = 1$.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax + by + c = 0$ (với $a, b$ không đồng thời bằng $0$).

• A: $-x – 2y + 3 = 0$ đúng dạng → ĐÚNG.
• B: dạng tham số.
• C: phương trình parabol.
• D: phương trình elip.

Chọn A.

Bài 7.28 (trang 58)

Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. $x^2 – y^2 = 1$.
B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = -4$.
C. $x^2 + y^2 = 2$.
D. $y^2 = 8x$.

Lời giải:

Đường tròn có phương trình $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$ với $R^2 > 0$.

• A: có $-y^2$, không phải đường tròn.
• B: vế phải $= -4 < 0$, không có nghiệm thực, không là phương trình đường tròn.
• C: $x^2 + y^2 = 2 = (\sqrt{2})^2$ → là đường tròn tâm $O$, bán kính $\sqrt{2}$.
• D: phương trình parabol.

Chọn C.

Bài 7.29 (trang 58)

Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.
B. $\dfrac{x^2}{1} + \dfrac{y^2}{6} = 1$.
C. $\dfrac{x^2}{4} – \dfrac{y^2}{1} = 1$.
D. $\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{1} = 1$.

Lời giải:

Phương trình chính tắc elip: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với điều kiện $a > b > 0$.

• A: $a^2 = b^2 = 9$, không thoả $a > b$ (là đường tròn).
• B: $a^2 = 1,; b^2 = 6$, có $a < b$ → SAI dạng chính tắc (tiêu điểm thuộc trục $Ox$).
• C: dấu trừ → hypebol.
• D: $a^2 = 2,; b^2 = 1$, $a > b > 0$ ✓.

Chọn D.

Bài 7.30 (trang 58)

Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. $\dfrac{x^2}{3} – \dfrac{y^2}{2} = -1$.
B. $\dfrac{x^2}{1} – \dfrac{y^2}{6} = 1$.
C. $\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{1} = 1$.
D. $\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{1} = -1$.

Lời giải:

Phương trình chính tắc hypebol: $\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ (vế phải $= 1$).

• A: vế phải $= -1$, không đúng dạng.
• B: đúng dạng → ĐÚNG.
• C: dấu cộng → elip.
• D: vế phải âm.

Chọn B.

Bài 7.31 (trang 58)

Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. $x^2 = 4y$.
B. $x^2 = -6y$.
C. $y^2 = 4x$.
D. $y^2 = -4x$.

Lời giải:

Phương trình chính tắc parabol: $y^2 = 2px$ với $p > 0$.

• A, B: dạng $x^2 = \ldots y$, không phải dạng chính tắc (theo SGK).
• C: $y^2 = 4x ;\Rightarrow; 2p = 4 ;\Rightarrow; p = 2 > 0$ ✓.
• D: $y^2 = -4x$, có hệ số âm, không phải dạng chính tắc.

Chọn C.

B – Tự luận

Bài 7.32 (trang 58)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho $A(1;;-1),; B(3;;5),; C(-2;;4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải:

Cách giải: Diện tích $= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot d(C, AB)$.

Bước 1: Viết phương trình $AB$.

$\overrightarrow{AB} = (3 – 1;; 5 – (-1)) = (2;;6)$.

Vectơ pháp tuyến của $AB$: $\vec{n} = (6;;-2)$ hoặc rút gọn $(3;;-1)$.

Phương trình $AB$ qua $A(1;;-1)$:

$$3(x – 1) – 1(y + 1) = 0 ;\Leftrightarrow; 3x – y – 4 = 0.$$

Bước 2: Tính $AB$.

$$AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.$$

Bước 3: Tính khoảng cách từ $C(-2;;4)$ đến $AB$.

$$d(C,;AB) = \dfrac{|3 \cdot (-2) – 4 – 4|}{\sqrt{9 + 1}} = \dfrac{14}{\sqrt{10}}.$$

Bước 4: Tính diện tích.

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot d(C,;AB) = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \dfrac{14}{\sqrt{10}} = 14.$$

Diện tích tam giác $ABC$ bằng $14$ (đơn vị diện tích).

Bài 7.33 (trang 58)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm $A(-1;;0)$ và $B(3;;1)$.

a) Viết phương trình đường tròn tâm $A$ và đi qua $B$.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$.

c) Viết phương trình đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$.

Lời giải:

a) Đường tròn tâm $A(-1;;0)$ đi qua $B(3;;1)$:

Bán kính: $R = AB = \sqrt{(3 – (-1))^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

Phương trình:

$$(x + 1)^2 + y^2 = 17.$$

b) Phương trình tổng quát $AB$:

$\overrightarrow{AB} = (4;;1)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1;;-4)$.

Phương trình qua $A(-1;;0)$:

$$1 \cdot (x + 1) – 4(y – 0) = 0 ;\Leftrightarrow; x – 4y + 1 = 0.$$

c) Đường tròn tâm $O$ tiếp xúc $AB$:

Bán kính $R = d(O,;AB)$:

$$R = \dfrac{|0 – 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{17}}.$$

$R^2 = \dfrac{1}{17}$. Phương trình:

$$x^2 + y^2 = \dfrac{1}{17}.$$

Bài 7.34 (trang 58)

Đề bài: Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$.

a) Tìm toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$.

b) Chứng minh rằng điểm $M(5;;1)$ thuộc $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $M$.

Lời giải:

a) So sánh với $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$:

$-2a = -4 ;\Rightarrow; a = 2$; $-2b = 6 ;\Rightarrow; b = -3$; $c = -12$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0$ ✓.

Tâm $I(2;;-3)$, bán kính $R = \sqrt{25} = 5$.

b) Kiểm tra $M(5;;1)$ thuộc $(C)$:

$$5^2 + 1^2 – 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 – 12 = 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0 ;\checkmark$$

Viết phương trình tiếp tuyến tại $M$:

Vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{IM} = (5 – 2;; 1 – (-3)) = (3;;4)$.

Phương trình tiếp tuyến qua $M(5;;1)$:

$$3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 ;\Leftrightarrow; 3x + 4y – 19 = 0.$$

Bài 7.35 (trang 59)

Đề bài: Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$).

a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của $(E)$ với trục hoành và các giao điểm $B_1, B_2$ của $(E)$ với trục tung. Tính $A_1A_2,; B_1B_2$.

b) Xét một điểm bất kì $M(x_0;;y_0)$ thuộc $(E)$. Chứng minh rằng $b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2$ và $b \leq OM \leq a$.

Lời giải:

a) Giao với trục hoành (cho $y = 0$):

$$\dfrac{x^2}{a^2} = 1 ;\Leftrightarrow; x = \pm a.$$

$A_1(-a;;0)$ và $A_2(a;;0)$. Độ dài: $A_1 A_2 = 2a$ (trục lớn).

Giao với trục tung (cho $x = 0$):

$$\dfrac{y^2}{b^2} = 1 ;\Leftrightarrow; y = \pm b.$$

$B_1(0;;-b)$ và $B_2(0;;b)$. Độ dài: $B_1 B_2 = 2b$ (trục nhỏ).

b) $M(x_0;;y_0) \in (E)$ nên $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$. $(*)$

Chứng minh $x_0^2 + y_0^2 \leq a^2$:

Vì $a > b > 0$ nên $\dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{b^2}$, suy ra $\dfrac{y_0^2}{a^2} \leq \dfrac{y_0^2}{b^2}$. Do đó:

$$\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{a^2} \leq \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1.$$

Nhân hai vế với $a^2$: $x_0^2 + y_0^2 \leq a^2$. $(1)$

Chứng minh $x_0^2 + y_0^2 \geq b^2$:

Tương tự, $\dfrac{1}{b^2} > \dfrac{1}{a^2}$ nên $\dfrac{x_0^2}{b^2} \geq \dfrac{x_0^2}{a^2}$. Do đó:

$$\dfrac{x_0^2}{b^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} \geq \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1.$$

Nhân hai vế với $b^2$: $x_0^2 + y_0^2 \geq b^2$. $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$: $b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2$.

Vì $OM^2 = x_0^2 + y_0^2$, lấy căn bậc hai (các số đều không âm):

$$b \leq OM \leq a. ;(\text{đpcm})$$

Bài 7.36 (trang 59)

Đề bài: Cho hypebol có phương trình $\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.

a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm $M(x;;y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \leq -a$, nếu điểm $M(x;;y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \geq a$.

c) Tìm các điểm $M_1, M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $M_1 M_2$ nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Giao với trục hoành (cho $y = 0$):

$$\dfrac{x^2}{a^2} = 1 ;\Leftrightarrow; x = \pm a.$$

$A_1(-a;;0)$ và $A_2(a;;0)$ (do hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn).

b) $M(x;;y)$ thuộc hypebol, ta có:

$$\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{x^2}{a^2} = 1 + \dfrac{y^2}{b^2} \geq 1.$$

Suy ra $x^2 \geq a^2$, tức $|x| \geq a$, hay $x \leq -a$ hoặc $x \geq a$.

• Nếu $M$ thuộc nhánh bên trái trục tung: $x < 0$, kết hợp $|x| \geq a$ → $x \leq -a$.
• Nếu $M$ thuộc nhánh bên phải trục tung: $x > 0$, kết hợp $|x| \geq a$ → $x \geq a$.

c) Giả sử $M_1(x_1;;y_1)$ thuộc nhánh bên trái ($x_1 \leq -a$) và $M_2(x_2;;y_2)$ thuộc nhánh bên phải ($x_2 \geq a$).

Tính $M_1 M_2$:

$$M_1 M_2 = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \geq \sqrt{(x_2 – x_1)^2} = |x_2 – x_1| = x_2 – x_1.$$

(Dấu $\geq$ vì $(y_2 – y_1)^2 \geq 0$; dấu $|x_2 – x_1| = x_2 – x_1$ vì $x_2 \geq a > -a \geq x_1$.)

Mặt khác, $x_2 – x_1 \geq a – (-a) = 2a$.

Vậy $M_1 M_2 \geq 2a$.

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi: $y_1 = y_2$ và $x_1 = -a,; x_2 = a$, tức $M_1 = A_1(-a;;0)$ và $M_2 = A_2(a;;0)$.

Kết luận: $M_1 M_2$ nhỏ nhất bằng $2a$, đạt được khi $M_1(-a;;0)$ và $M_2(a;;0)$.

Bài 7.37 (trang 59)

Đề bài: Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao $6$ m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng $0{,}8$ m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng $1$ m. Tính độ rộng của cột ở độ cao $5$ m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Lời giải:

Bước 1: Thiết lập hệ trục.

Đặt hệ trục $Oxy$ với gốc $O$ tại chính giữa cột (điểm hẹp nhất), trục $Ox$ nằm ngang, trục $Oy$ thẳng đứng. Khi đó:

• Cột cao $6$ m chia đều: đáy ở $y = -3$, đỉnh ở $y = 3$.
• Tiết diện ngang của cột là một đoạn thẳng có hai đầu nằm trên đường hypebol $\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.

Bước 2: Tìm $a, b$.

Ở chính giữa ($y = 0$), độ rộng $= 0{,}8$ m → bán kính $0{,}4$ m, tức điểm $(\pm 0{,}4;;0)$ thuộc hypebol.

Thay $y = 0$: $\dfrac{x^2}{a^2} = 1 ;\Rightarrow; x = \pm a$.

Vậy $a = 0{,}4 ;\Rightarrow; a^2 = 0{,}16$.

Ở đỉnh cột ($y = 3$, hoặc đáy $y = -3$), độ rộng $= 1$ m → bán kính $0{,}5$ m, tức điểm $(0{,}5;;3)$ thuộc hypebol.

Thay vào:

$$\dfrac{(0{,}5)^2}{0{,}16} – \dfrac{9}{b^2} = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{0{,}25}{0{,}16} – \dfrac{9}{b^2} = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{9}{b^2} = \dfrac{25}{16} – 1 = \dfrac{9}{16}.$$

Suy ra $b^2 = 16$.

Phương trình hypebol:

$$\dfrac{x^2}{0{,}16} – \dfrac{y^2}{16} = 1.$$

Bước 3: Tính độ rộng ở độ cao $5$ m.

Độ cao $5$ m tính từ đáy → $y = 5 – 3 = 2$ (so với chính giữa).

Thay $y = 2$:

$$\dfrac{x^2}{0{,}16} – \dfrac{4}{16} = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{x^2}{0{,}16} = 1{,}25 ;\Leftrightarrow; x^2 = 0{,}2 ;\Rightarrow; x \approx 0{,}4472.$$

Độ rộng tại độ cao $5$ m: $2x \approx 2 \cdot 0{,}4472 \approx 0{,}8944 \approx 0{,}89$ (m).

Vậy độ rộng của cột ở độ cao $5$ m là khoảng $0{,}89$ m.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh