Mở đầu trang 38

Đề bài: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?

Lời giải:

Bài học sẽ giới thiệu định lí côsin và định lí sin – hai công cụ giúp ta tính độ dài cạnh và số đo góc trong tam giác. Câu trả lời chi tiết được trình bày ở Ví dụ 4 trong SGK: bằng cách đặt hai cọc tiêu $A$, $B$ trên bờ (đo được $AB$), rồi đứng tại mỗi cọc đo góc ngắm tới Tháp Rùa, ta có một tam giác $ABC$ (với $C$ là Tháp Rùa) đã biết một cạnh và hai góc kề. Áp dụng định lí sin sẽ tính được $AC$.

1. Định lí côsin

HĐ1 (trang 38)

Đề bài: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hoà) theo hướng đông với vận tốc $20$ km/h. Sau khi đi được $1$ giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong $1{,}5$ giờ kể từ khi xuất phát ($1$ km trên thực tế ứng với $1$ cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau $1{,}5$ giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được $2$ giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Lời giải:

a) Sơ đồ đường đi:

• Gọi $C$ là cảng Vân Phong. Trong $1$ giờ đầu, tàu đi theo hướng đông với vận tốc $20$ km/h $\Rightarrow$ đến vị trí $A$ cách $C$ một đoạn $20$ km (trên bản vẽ là $20$ cm).
• Trong $0{,}5$ giờ tiếp theo, tàu đi hướng đông nam, được $0{,}5 \times 20 = 10$ km (trên bản vẽ là $10$ cm).

Sơ đồ là một đường gấp khúc $C \to A \to B$ với góc ở $A$ giữa hướng đông (kéo dài) và hướng đông nam là $45^\circ$.

b) Đo trực tiếp trên bản vẽ: khoảng cách $CB$ ước lượng khoảng $28$ cm $\Rightarrow$ tàu cách cảng Vân Phong khoảng $28$ km.

c) Nếu sau $2$ giờ tàu chuyển sang hướng nam: hướng nam vuông góc với hướng đông (góc $90^\circ$). Khi đó tam giác tạo bởi đường đi của tàu là tam giác vuông $\Rightarrow$ có thể áp dụng định lí Pythagore.

Còn hướng đông nam chỉ tạo góc $45^\circ$ với hướng đông (không vuông góc), nên ở câu b không áp dụng Pythagore được mà phải dùng định lí côsin (sẽ học trong bài).

HĐ2 (trang 38)

Đề bài: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính $a$ theo $b, c$ và giá trị lượng giác của góc $A$.

a) Tính $a^2$ theo $BD^2$ và $CD^2$.

b) Tính $a^2$ theo $b, c$ và $DA$.

c) Tính $DA$ theo $c$ và $\cos A$.

d) Chứng minh $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$.

Lời giải:

Trong Hình 3.8: $D$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ xuống đường thẳng $AC$ (kéo dài qua $A$), trong trường hợp góc $A$ tù. Khi đó $A$ nằm giữa $D$ và $C$.

a) Tam giác $BDC$ vuông tại $D$, áp dụng định lí Pythagore:

$$BC^2 = BD^2 + DC^2 ;\Leftrightarrow; a^2 = BD^2 + CD^2.$$

b) Tam giác $BDA$ vuông tại $D$, áp dụng Pythagore:

$$BD^2 = AB^2 – DA^2 = c^2 – DA^2.$$

Mặt khác, vì $A$ nằm giữa $D$ và $C$ nên:

$$DC = DA + AC = DA + b.$$

Thay vào câu a):

$$a^2 = (c^2 – DA^2) + (DA + b)^2 = c^2 – DA^2 + DA^2 + 2b \cdot DA + b^2 = b^2 + c^2 + 2b \cdot DA.$$

c) Trong tam giác vuông $BDA$: góc $\widehat{BAD} = 180^\circ – A$ (góc kề bù với góc $A$ vì $D$ và $C$ nằm hai phía của $A$).

Do đó:

$$DA = AB \cdot \cos\widehat{BAD} = c \cdot \cos(180^\circ – A) = -c\cos A.$$

(Lưu ý: vì $A$ tù nên $\cos A < 0$, suy ra $-c\cos A > 0$ – phù hợp với $DA$ là độ dài.)

d) Thay $DA = -c\cos A$ vào kết quả ở câu b):

$$a^2 = b^2 + c^2 + 2b \cdot (-c\cos A) = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A. \quad \text{(ĐPCM)}$$

Chú ý: Kết quả này cũng đúng với trường hợp $A$ vuông hoặc nhọn (chứng minh tương tự, có thể đối chiếu trong SGK).

Khám phá (trang 39)

Đề bài: Từ định lí côsin, hãy viết các công thức tính $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ theo độ dài các cạnh $a, b, c$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Từ $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$, chuyển vế và rút $\cos A$:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}.$$

Tương tự:

$$\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}; \quad \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}.$$

Luyện tập 1 (trang 39)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 8$ và $\widehat{A} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Lời giải

Đặt $c = AB = 5$, $b = AC = 8$, $A = 45^\circ$.

Tính cạnh $a = BC$

Áp dụng định lí côsin:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A = 8^2 + 5^2 – 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 45^\circ = 89 – 80 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 89 – 40\sqrt{2}.$$

$$a = \sqrt{89 – 40\sqrt{2}} \approx 5{,}69.$$

Tính góc $B$

Vì $b = 8$ là cạnh lớn nhất của tam giác (so với $a \approx 5{,}69$ và $c = 5$), góc $B$ đối diện với nó chắc chắn là góc lớn nhất — nhiều khả năng là góc tù. Do đó, thay vì dùng định lí sin (dễ nhầm giữa nghiệm nhọn và nghiệm tù), ta dùng định lí côsin để tính trực tiếp, tránh phải biện luận nghiệm:

$$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \dfrac{(89 – 40\sqrt{2}) + 25 – 64}{2 \cdot \sqrt{89-40\sqrt{2}} \cdot 5} \approx \dfrac{32{,}43 + 25 – 64}{2 \cdot 5{,}69 \cdot 5} \approx -0{,}1153.$$

$$\Rightarrow B \approx 96^\circ 37′.$$

Tính góc $C$

$$C = 180^\circ – A – B \approx 180^\circ – 45^\circ – 96^\circ37′ \approx 38^\circ23′.$$

Vận dụng 1 (trang 39)

Đề bài: Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Lời giải:

Theo HĐ1: trong tam giác $CAB$:

• $CA = 20$ km (đoạn đầu từ cảng $C$ đến điểm chuyển hướng $A$).
• $AB = 10$ km (đoạn từ $A$ đến vị trí $B$ sau $0{,}5$ giờ).
• Góc tại $A$: hướng $\overrightarrow{AC}$ là hướng tây (ngược chiều di chuyển đoạn đầu), hướng $\overrightarrow{AB}$ là hướng đông nam $\Rightarrow$ góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $180^\circ – 45^\circ = 135^\circ$. Vậy $\widehat{CAB} = 135^\circ$.

Áp dụng định lí côsin:

$$CB^2 = CA^2 + AB^2 – 2 \cdot CA \cdot AB \cdot \cos\widehat{CAB} = 20^2 + 10^2 – 2 \cdot 20 \cdot 10 \cdot \cos 135^\circ.$$

$$= 500 – 400 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 500 + 200\sqrt{2}.$$

$$CB = \sqrt{500 + 200\sqrt{2}} \approx 27{,}98 \text{ (km)}.$$

Vậy sau $1{,}5$ giờ, tàu cách cảng Vân Phong khoảng $28$ km.

2. Định lí sin

HĐ3 (trang 39)

Đề bài: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính $R$ theo $a$ và $\sin A$ (Hình 3.10).

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm sao cho $BM$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khi đó:

• Góc $\widehat{BCM}$ chắn nửa đường tròn (đường kính $BM$) $\Rightarrow$ $\widehat{BCM} = 90^\circ$ $\Rightarrow$ tam giác $BCM$ vuông tại $C$, với cạnh huyền $BM = 2R$ và cạnh $BC = a$.

Do đó:

$$\sin\widehat{BMC} = \dfrac{BC}{BM} = \dfrac{a}{2R}.$$

Hình a (góc $A$ nhọn): Hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BMC}$ cùng chắn cung $BC$ (cùng phía) nên bằng nhau:

$$\widehat{BAC} = \widehat{BMC} ;\Rightarrow; \sin A = \sin\widehat{BMC} = \dfrac{a}{2R} ;\Rightarrow; R = \dfrac{a}{2\sin A}.$$

Hình b (góc $A$ tù): Tứ giác $ABMC$ nội tiếp đường tròn nên hai góc đối có tổng bằng $180^\circ$:

$$\widehat{BAC} + \widehat{BMC} = 180^\circ ;\Rightarrow; \sin\widehat{BAC} = \sin(180^\circ – \widehat{BMC}) = \sin\widehat{BMC} = \dfrac{a}{2R}.$$

$$\Rightarrow R = \dfrac{a}{2\sin A}.$$

Kết luận chung: $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ (hay $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$). Đây chính là định lí sin.

Luyện tập 2 (trang 40)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $b = 8$, $c = 5$ và $\widehat{B} = 80^\circ$. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải:

Tính góc $C$: Áp dụng định lí sin:

$$\dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{b}{\sin B} ;\Rightarrow; \sin C = \dfrac{c \sin B}{b} = \dfrac{5 \cdot \sin 80^\circ}{8} \approx 0{,}6155.$$

$$\Rightarrow C \approx 37^\circ 59′.$$

Tính góc $A$: $A = 180^\circ – B – C \approx 180^\circ – 80^\circ – 38^\circ \approx 62^\circ$.

Tính cạnh $a$: Áp dụng định lí sin:

$$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B} = \dfrac{8 \cdot \sin 62^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 7{,}17.$$

Bán kính $R$:

$$R = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{8}{2 \cdot \sin 80^\circ} \approx 4{,}06.$$

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3 (trang 40)

Đề bài: Giải tam giác $ABC$, biết $b = 32$, $c = 45$, $\widehat{A} = 87^\circ$.

Lời giải:

Tính cạnh $a$: Áp dụng định lí côsin:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A = 32^2 + 45^2 – 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot \cos 87^\circ \approx 2898{,}27.$$

$$a \approx 53{,}84.$$

Tính góc $B$: Áp dụng định lí sin:

$$\sin B = \dfrac{b \sin A}{a} = \dfrac{32 \cdot \sin 87^\circ}{53{,}84} \approx 0{,}5935 ;\Rightarrow; B \approx 36^\circ 25′.$$

Tính góc $C$: $C = 180^\circ – A – B \approx 180^\circ – 87^\circ – 36^\circ 25′ \approx 56^\circ 35’$.

Vận dụng 2 (trang 40)

Đề bài: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Lời giải:

Gọi $E, F$ là hai đỉnh núi cần đo khoảng cách, $A, B$ là hai vị trí quan sát trên mặt đất.

Bước 1. Chọn hai điểm $A, B$ trên mặt đất sao cho từ cả hai điểm đều ngắm được hai đỉnh núi $E, F$. Đo khoảng cách $AB$.

Bước 2. Tại $A$, dùng dụng cụ đo góc ngắm để đo:

• $\widehat{EAB}$: góc giữa hướng ngắm tới $E$ và hướng tới $B$.
• $\widehat{FAB}$: góc giữa hướng ngắm tới $F$ và hướng tới $B$.

Bước 3. Tại $B$, đo:

• $\widehat{EBA}$: góc giữa hướng ngắm tới $E$ và hướng tới $A$.
• $\widehat{FBA}$: góc giữa hướng ngắm tới $F$ và hướng tới $A$.

Bước 4. Trong tam giác $EAB$, biết $AB$ và hai góc kề $\widehat{EAB}$, $\widehat{EBA}$ $\Rightarrow$ giải tam giác (định lí sin) để tính $AE$.

Tương tự trong tam giác $FAB$, tính $AF$.

Bước 5. Trong tam giác $EAF$, biết $AE$, $AF$ và góc $\widehat{EAF} = |\widehat{EAB} – \widehat{FAB}|$ $\Rightarrow$ áp dụng định lí côsin để tính $EF$.

4. Công thức tính diện tích tam giác

HĐ4 (trang 41)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác $ABC$ và diện tích các tam giác $IBC, ICA, IAB$.

b) Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $r, a, b, c$.

Lời giải:

a) Vì $I$ nằm trong tam giác $ABC$ nên ba tam giác $IBC$, $ICA$, $IAB$ ghép lại thành tam giác $ABC$:

$$S_{ABC} = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB}.$$

b) Mỗi tam giác $IBC$, $ICA$, $IAB$ có đường cao từ $I$ chính là bán kính $r$ (vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, cách đều ba cạnh):

$$S_{IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot r; \quad S_{ICA} = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot r; \quad S_{IAB} = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot r.$$

Cộng lại:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}(a + b + c) \cdot r = p \cdot r,$$

trong đó $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác.

HĐ5 (trang 41)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với đường cao $BD$.

a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$.

b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$.

Lời giải:

a) Trong tam giác $ABD$ vuông tại $D$ (vì $BD$ là đường cao xuống $AC$):

• Nếu $A$ là góc nhọn: $\sin A = \dfrac{BD}{AB} ;\Rightarrow; BD = AB \cdot \sin A = c \cdot \sin A$.
• Nếu $A$ là góc tù: kẻ đường cao $BD$ xuống đường thẳng $AC$ kéo dài. Khi đó góc $\widehat{BAD} = 180^\circ – A$, và $BD = AB \cdot \sin(180^\circ – A) = c \cdot \sin A$.

Vậy trong cả hai trường hợp:

$$BD = c \cdot \sin A.$$

b) Diện tích tam giác $ABC$ tính theo đáy $AC = b$ và đường cao $BD$:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A.$$

Luyện tập 4 (trang 41)

Đề bài: Tính diện tích của tam giác $ABC$ có $b = 2$, $\widehat{B} = 30^\circ$, $\widehat{C} = 45^\circ$.

Lời giải:

Bước 1. Tính góc $A$:

$$A = 180^\circ – B – C = 180^\circ – 30^\circ – 45^\circ = 105^\circ.$$

Bước 2. Tính cạnh $c$ bằng định lí sin:

$$\dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{b}{\sin B} ;\Rightarrow; c = \dfrac{b \sin C}{\sin B} = \dfrac{2 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{2}.$$

Bước 3. Tính diện tích:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ.$$

Mà $\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$$S = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \dfrac{2\sqrt{12} + 2 \cdot 2}{4} = \dfrac{4\sqrt{3} + 4}{4} = \sqrt{3} + 1.$$

$$\boxed{S = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}73.}$$

Vận dụng 3 (trang 42)

Vận dụng 3 trang 42

Đề bài: Công viên Hoà Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác $ABCDE$ như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hoà Bình.

Lời giải:

Theo Hình 3.17, ta đọc được:

• Các cạnh ngũ giác: $AB = 256$ m, $BC = 575$ m, $CD = 441$ m, $DE = 217$ m, $EA = 401$ m.
• Các đường chéo (qua $B$): $BD = 538$ m, $BE = 476$ m.

Chia ngũ giác $ABCDE$ thành ba tam giác bởi hai đường chéo từ $B$: tam giác $BCD$, $BDE$ và $BAE$.

Bước 1. Tính diện tích từng tam giác bằng công thức Heron:

$$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

với $p$ là nửa chu vi.

Tam giác $BCD$ ($a = 575, b = 441, c = 538$):

$$p_1 = \dfrac{575 + 441 + 538}{2} = 777.$$

$$S_{BCD} = \sqrt{777 \cdot 202 \cdot 336 \cdot 239} \approx 112\,268 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Tam giác $BDE$ ($a = 538, b = 217, c = 476$):

$$p_2 = \dfrac{538 + 217 + 476}{2} = 615{,}5.$$

$$S_{BDE} = \sqrt{615{,}5 \cdot 77{,}5 \cdot 398{,}5 \cdot 139{,}5} \approx 51\,495 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Tam giác $BAE$ ($a = 256, b = 401, c = 476$):

$$p_3 = \dfrac{256 + 401 + 476}{2} = 566{,}5.$$

$$S_{BAE} = \sqrt{566{,}5 \cdot 310{,}5 \cdot 165{,}5 \cdot 90{,}5} \approx 51\,328 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Bước 2. Tổng diện tích công viên:

$$S_{ABCDE} = S_{BCD} + S_{BDE} + S_{BAE} \approx 112\,268 + 51\,495 + 51\,328 \approx 215\,091 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Kết luận: Diện tích công viên Hoà Bình xấp xỉ $215\,091$ m² (khoảng $21{,}5$ ha).

Bài tập (trang 42–43)

Bài 3.5 (trang 42)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 5$, $c = 8$. Tính $\cos A$, $S$, $r$.

Lời giải:

Tính $\cos A$: Theo công thức ở phần Khám phá:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 64 – 36}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{53}{80}.$$

Tính $S$ bằng công thức Heron:

Nửa chu vi: $p = \dfrac{6 + 5 + 8}{2} = \dfrac{19}{2}$.

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\dfrac{19}{2} \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{3}{2}} = \sqrt{\dfrac{3591}{16}} = \dfrac{3\sqrt{399}}{4} \approx 14{,}98.$$

Tính $r$: Từ công thức $S = pr$:

$$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{3\sqrt{399}/4}{19/2} = \dfrac{3\sqrt{399}}{38} \approx 1{,}58.$$

Bài 3.6 (trang 42)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$, $\widehat{A} = 45^\circ$, $\widehat{B} = 70^\circ$. Tính $R$, $b$, $c$.

Lời giải:

Tính góc $C$: $C = 180^\circ – 45^\circ – 70^\circ = 65^\circ$.

Tính $R$: Áp dụng định lí sin:

$$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{10}{2\sin 45^\circ} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07.$$

Tính $b$:

$$b = 2R \sin B = 10\sqrt{2} \cdot \sin 70^\circ \approx 13{,}29.$$

Tính $c$:

$$c = 2R \sin C = 10\sqrt{2} \cdot \sin 65^\circ \approx 12{,}82.$$

Bài 3.7 (trang 42)

Đề bài: Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A} = 15^\circ$, $\widehat{B} = 130^\circ$, $c = 6$.

Lời giải:

Tính góc $C$: $C = 180^\circ – 15^\circ – 130^\circ = 35^\circ$.

Tính $a, b$: Áp dụng định lí sin:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{6}{\sin 35^\circ}.$$

$$a = \dfrac{6 \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 2{,}71; \quad b = \dfrac{6 \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 8{,}01.$$

Tính diện tích: Dùng công thức $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8{,}01 \cdot 6 \cdot \sin 15^\circ \approx 6{,}22.$$

Bài 3.8 (trang 42)

Đề bài: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng S70°E với vận tốc $70$ km/h. Đi được $90$ phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $8$ km/h. Sau $2$ giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

Lời giải:

Gọi $B$ là vị trí của tàu khi động cơ bị hỏng, $C$ là vị trí đảo nơi tàu neo đậu.

Tính các đoạn đường:

• $AB$ = quãng đường tàu chạy $90$ phút $= 1{,}5$ giờ với vận tốc $70$ km/h:

$$AB = 70 \cdot 1{,}5 = 105 \text{ (km)}, \text{ hướng S70°E}.$$

• $BC$ = quãng đường tàu trôi $2$ giờ với vận tốc $8$ km/h:

$$BC = 8 \cdot 2 = 16 \text{ (km)}, \text{ hướng nam (S)}.$$

Tính góc $\widehat{ABC}$: Tại $B$:

• Hướng $\overrightarrow{BA}$ (về $A$): ngược với $\overrightarrow{AB}$ → hướng $N70°W$.
• Hướng $\overrightarrow{BC}$ (về đảo): hướng nam (S).

Góc giữa hai hướng = $180^\circ – 70^\circ = 110^\circ$. Vậy $\widehat{ABC} = 110^\circ$.

a) Khoảng cách $AC$: Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\widehat{ABC} = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos 110^\circ.$$

$$\approx 11\,025 + 256 + 1\,149 \approx 12\,430.$$

$$AC \approx \sqrt{12\,430} \approx 111{,}49 \text{ (km)}.$$

b) Hướng từ $A$ tới đảo: Tính góc $\widehat{BAC}$ bằng định lí sin:

$$\sin\widehat{BAC} = \dfrac{BC \sin\widehat{ABC}}{AC} = \dfrac{16 \cdot \sin 110^\circ}{111{,}49} \approx 0{,}1349.$$

$$\Rightarrow \widehat{BAC} \approx 7^\circ 45′.$$

Tại $A$: hướng $\overrightarrow{AB}$ là S70°E. Vì điểm $C$ nằm về phía nam so với $B$ (do $\overrightarrow{BC}$ là hướng nam, mà $B$ nằm đông nam $A$), nên hướng $\overrightarrow{AC}$ lệch về phía nam (phía tây) so với $\overrightarrow{AB}$ một góc $7^\circ 45’$.

$$\text{Hướng } \overrightarrow{AC}: \text{S}(70^\circ – 7^\circ 45′)\text{E} \approx \text{S}62^\circ 15’\text{E}.$$

Bài 3.9 (trang 43)

Đề bài: Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao $5$ m. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7$ m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của toà nhà.

Lời giải:

a) Các góc của tam giác $ABC$:

• Tại $A$: $\widehat{BAC}$ = góc ngắm $B$ – góc ngắm $C$ = $50^\circ – 40^\circ = 10^\circ$.
• Tại $C$ (chân ăng-ten): cột ăng-ten $CB$ thẳng đứng (vuông góc mặt đất). Từ $C$ nhìn về $A$ tạo với phương ngang qua $C$ một góc $40^\circ$ (góc nhìn xuống, vì $A$ thấp hơn $C$). $\Rightarrow$ Góc $\widehat{ACB}$ giữa $CA$ (chéo xuống $40^\circ$) và $CB$ (thẳng đứng lên, tức $90^\circ$ trên phương ngang) là:

$$\widehat{ACB} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ.$$

• Tại $B$: $\widehat{ABC} = 180^\circ – 10^\circ – 130^\circ = 40^\circ$.

b) Chiều cao toà nhà:

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$:

$$AC = \dfrac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 18{,}51 \text{ (m)}.$$

Từ $A$, ngắm lên $C$ với góc $40^\circ$ so với phương ngang $\Rightarrow$ chiều cao của $C$ so với $A$:

$$h_{C/A} = AC \cdot \sin 40^\circ \approx 18{,}51 \cdot \sin 40^\circ \approx 11{,}90 \text{ (m)}.$$

Chiều cao toà nhà (= chiều cao điểm $C$ so với mặt đất) = $7 + 11{,}90 \approx 18{,}90$ m.

Kết luận: Toà nhà cao xấp xỉ $18{,}90$ m.

Bài 3.10 (trang 43)

Đề bài: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Trị, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Lời giải:

Gọi $E, F$ là hai mép của Đảo Yến (theo chiều ta nhìn thấy), $A, B$ là hai vị trí quan sát trên bãi biển.

Bước 1. Chọn hai vị trí $A, B$ trên bãi biển sao cho từ cả hai đều ngắm được hai mép đảo. Đo trực tiếp khoảng cách $AB$.

Bước 2. Tại $A$, đo các góc:

• $\widehat{EAB}$ (giữa hướng ngắm tới $E$ và hướng tới $B$).
• $\widehat{FAB}$ (giữa hướng ngắm tới $F$ và hướng tới $B$).

Bước 3. Tại $B$, đo các góc tương ứng:

• $\widehat{EBA}$ và $\widehat{FBA}$.

Bước 4. Giải tam giác $EAB$ (biết $AB$ và hai góc kề) bằng định lí sin → tính $AE$.

Tương tự giải tam giác $FAB$ → tính $AF$.

Bước 5. Trong tam giác $EAF$, biết $AE, AF$ và góc $\widehat{EAF} = |\widehat{EAB} – \widehat{FAB}|$, áp dụng định lí côsin:

$$EF^2 = AE^2 + AF^2 – 2 \cdot AE \cdot AF \cdot \cos\widehat{EAF}.$$

$\Rightarrow EF$ chính là bề rộng của hòn đảo cần tìm.

Bài 3.11 (trang 43)

Đề bài: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

(Theo Hình 3.19: $AB = 8$ km, $BC = 6$ km, $CD = 12$ km, $\widehat{ABC} = 105^\circ$, $\widehat{BCD} = 135^\circ$.)

Lời giải:

Đường cũ: $AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26$ km.

Tìm $AD$ qua hai bước:

Bước 1. Tính $AC$ trong tam giác $ABC$ (biết $AB$, $BC$, góc $\widehat{ABC}$):

Áp dụng định lí côsin:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\widehat{ABC} = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ.$$

$$\approx 64 + 36 + 24{,}85 \approx 124{,}85.$$

$$AC \approx \sqrt{124{,}85} \approx 11{,}17 \text{ (km)}.$$

Bước 2. Tính góc $\widehat{BCA}$ trong tam giác $ABC$ bằng định lí sin:

$$\sin\widehat{BCA} = \dfrac{AB \cdot \sin\widehat{ABC}}{AC} = \dfrac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11{,}17} \approx 0{,}69.$$

$$\Rightarrow \widehat{BCA} \approx 44^\circ.$$

Bước 3. Tính góc $\widehat{ACD}$: Vì $\widehat{BCA} + \widehat{ACD} = \widehat{BCD}$ (góc $\widehat{ACD}$ nằm trong $\widehat{BCD}$):

$$\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{BCA} = 135^\circ – 44^\circ = 91^\circ.$$

Bước 4. Tính $AD$ trong tam giác $ACD$ (biết $AC$, $CD$, góc $\widehat{ACD}$):

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos\widehat{ACD} = 11{,}17^2 + 12^2 – 2 \cdot 11{,}17 \cdot 12 \cdot \cos 91^\circ.$$

$$\approx 124{,}77 + 144 + 4{,}68 \approx 273{,}45.$$

$$AD \approx \sqrt{273{,}45} \approx 16{,}54 \text{ (km)}.$$

Kết luận: Độ dài đường mới giảm so với đường cũ:

$$26 – 16{,}54 = 9{,}46 \text{ (km)}.$$

Vậy đường hầm xuyên núi sẽ rút ngắn khoảng $9{,}46$ km so với đường cũ.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh