1. Góc giữa hai vectơ

HĐ1 (trang 66)

Đề bài: Trong Hình 4.39, số đo góc $\widehat{BAC}$ cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{BC}$ và $\vec{BD}$, $\vec{DA}$ và $\vec{DB}$.

Lời giải:

Nhắc lại định nghĩa: Góc giữa hai vectơ cùng gốc là góc giữa hai tia của chúng. Với hai vectơ khác $\vec{0}$, ta dựng từ một điểm chung hai vectơ bằng chúng rồi đo góc.

Quan sát Hình 4.39:

• $\vec{BC}$ và $\vec{BD}$: hai vectơ cùng gốc $B$, nên góc giữa chúng là $\widehat{CBD}$ (góc giữa hai tia $BC$ và $BD$).
• $\vec{DA}$ và $\vec{DB}$: hai vectơ cùng gốc $D$, nên góc giữa chúng là $\widehat{ADB}$.

Theo Hình 4.39 (đọc trực tiếp các số đo từ hình):

• $(\vec{BC}, \vec{BD}) = \widehat{CBD} = 30°$.
• $(\vec{DA}, \vec{DB}) = \widehat{ADB} = 50°$.

Câu hỏi trang 66

Đề bài: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng $0°$, bằng $180°$?

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ (khác $\vec{0}$) nhận giá trị từ $0°$ đến $180°$. Cụ thể:

• $(\vec{u}, \vec{v}) = 0°$ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng (hai tia trùng nhau).
• $(\vec{u}, \vec{v}) = 180°$ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng (hai tia ngược chiều nhau).

Luyện tập 1 (trang 66)

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$. Tính $(\vec{AB}, \vec{BC})$.

Lời giải:

Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ không cùng gốc (một có gốc $A$, một có gốc $B$). Để tìm góc giữa chúng, ta đưa hai vectơ về cùng gốc.

Cách thực hiện: vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BA}$ là hai vectơ đối nhau, nên góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ bằng góc bù với góc giữa $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.

• $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$ cùng gốc $B$, góc giữa chúng là $\widehat{ABC} = 60°$ (vì tam giác đều).
• Vì $\vec{AB} = -\vec{BA}$, ta có: $(\vec{AB}, \vec{BC}) = 180° – 60° = 120°$.

Vậy $(\vec{AB}, \vec{BC}) = 120°$.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Câu hỏi trang 67

Đề bài: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ khác $\vec{0}$ là $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Lời giải:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$.

Vì $|\vec{u}|, |\vec{v}| > 0$, dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào $\cos(\vec{u}, \vec{v})$:

• $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ khi $\cos(\vec{u}, \vec{v}) > 0$ ⇔ $(\vec{u}, \vec{v}) < 90°$ (góc nhọn).
• $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ khi $\cos(\vec{u}, \vec{v}) < 0$ ⇔ $(\vec{u}, \vec{v}) > 90°$ (góc tù).
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ khi $(\vec{u}, \vec{v}) = 90°$ (vuông góc).

Câu hỏi trang 67

Đề bài: Khi nào thì $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \vec{u}^2 \cdot \vec{v}^2$?

Lời giải:

Ta có $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = (|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u},\vec{v}))^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 \cos^2(\vec{u},\vec{v})$.

Mặt khác $\vec{u}^2 \cdot \vec{v}^2 = |\vec{u}|^2 \cdot |\vec{v}|^2$.

Đẳng thức $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \vec{u}^2 \cdot \vec{v}^2$ tương đương với $\cos^2(\vec{u},\vec{v}) = 1$ ⇔ $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \pm 1$ ⇔ $(\vec{u}, \vec{v}) = 0°$ hoặc $180°$ ⇔ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương (cùng hướng hoặc ngược hướng).

(Hoặc trường hợp một trong hai vectơ là $\vec{0}$ thì cả hai vế đều bằng $0$, đẳng thức cũng đúng.)

Luyện tập 2 (trang 67)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $BC = a, CA = b, AB = c$. Hãy tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ theo $a, b, c$.

Lời giải:

Theo định nghĩa tích vô hướng:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\vec{AB}, \vec{AC}) = c \cdot b \cdot \cos A.$$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ tại đỉnh $A$:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A ;\Rightarrow; \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}.$$

Thay vào:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = bc \cdot \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2}.$$

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

HĐ2 (trang 68)

Đề bài: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x;;y)$ và $\vec{v} = (kx;;ky)$. Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} \cdot \vec{v} = k(x^2 + y^2)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0}$;

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$;

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$.

Lời giải:

a) Trường hợp $\vec{u} = \vec{0}$: $x = y = 0$, suy ra $\vec{v} = \vec{0}$. Theo quy ước, $\vec{0} \cdot \vec{v} = 0$. Mặt khác $k(x^2 + y^2) = k \cdot 0 = 0$. → Đẳng thức đúng.

b) Trường hợp $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$:

• Nếu $k = 0$: $\vec{v} = \vec{0}$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, vế phải $= 0$. Đúng.
• Nếu $k > 0$: $\vec{v} = k\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ → $(\vec{u}, \vec{v}) = 0°$, $\cos = 1$.

$$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} = k\sqrt{x^2+y^2}.$$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot 1 = \sqrt{x^2+y^2} \cdot k\sqrt{x^2+y^2} = k(x^2+y^2). ;;\checkmark$$

c) Trường hợp $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$: $\vec{v}$ ngược hướng với $\vec{u}$ → $(\vec{u}, \vec{v}) = 180°$, $\cos = -1$.

$$|\vec{v}| = |k|\sqrt{x^2+y^2} = -k\sqrt{x^2+y^2} ;;(\text{vì } k<0, |k| = -k).$$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{x^2+y^2} \cdot (-k\sqrt{x^2+y^2}) \cdot (-1) = k(x^2+y^2). ;;\checkmark$$

Kết luận: Cả ba trường hợp đều cho $\vec{u} \cdot \vec{v} = k(x^2 + y^2)$.

HĐ3 (trang 68)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x;;y)$ và $\vec{v} = (x’;;y’)$.

a) Xác định toạ độ của các điểm $A$ và $B$ sao cho $\vec{OA} = \vec{u}, \vec{OB} = \vec{v}$.

b) Tính $AB^2, OA^2, OB^2$ theo toạ độ của $A$ và $B$.

c) Tính $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ theo toạ độ của $A, B$.

Lời giải:

a) $A(x;;y)$ và $B(x’;;y’)$.

b) Áp dụng công thức độ dài:

$$OA^2 = x^2 + y^2, \quad OB^2 = x’^2 + y’^2.$$

$$AB^2 = (x’ – x)^2 + (y’ – y)^2.$$

c) Theo gợi ý từ định lí cosin trong tam giác $OAB$:

$$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 – AB^2}{2}.$$

Thay số:

$$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \dfrac{(x^2 + y^2) + (x’^2 + y’^2) – \left[(x’-x)^2 + (y’-y)^2\right]}{2}.$$

Khai triển $(x’-x)^2 + (y’-y)^2 = x’^2 – 2xx’ + x^2 + y’^2 – 2yy’ + y^2$:

$$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \dfrac{(x^2 + y^2) + (x’^2 + y’^2) – (x^2 + y^2 + x’^2 + y’^2) + 2(xx’ + yy’)}{2}.$$

$$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \dfrac{2(xx’ + yy’)}{2} = xx’ + yy’.$$

Kết luận: Đây chính là công thức $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$.

Luyện tập 3 (trang 68)

Đề bài: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0;;-5)$, $\vec{v} = (\sqrt{3};;1)$.

Lời giải:

Tích vô hướng:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot \sqrt{3} + (-5) \cdot 1 = -5.$$

Độ dài hai vectơ:

$$|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5.$$

$$|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2.$$

Góc giữa hai vectơ:

$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{-5}{5 \cdot 2} = -\dfrac{1}{2}.$$

$$(\vec{u}, \vec{v}) = 120°.$$

HĐ4 (trang 68)

Đề bài: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_1;;y_1), \vec{v} = (x_2;;y_2), \vec{w} = (x_3;;y_3)$.

a) Tính $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}),; \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ theo toạ độ.

b) So sánh $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.

c) So sánh $\vec{u} \cdot \vec{v}$ và $\vec{v} \cdot \vec{u}$.

Lời giải:

a) Toạ độ $\vec{v} + \vec{w} = (x_2 + x_3;;y_2 + y_3)$.

$$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = x_1(x_2 + x_3) + y_1(y_2 + y_3) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + y_1 y_2 + y_1 y_3.$$

Mặt khác:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2, \quad \vec{u} \cdot \vec{w} = x_1 x_3 + y_1 y_3.$$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + x_1 x_3 + y_1 y_3.$$

b) Hai biểu thức ở câu a) bằng nhau:

$$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}.$$

(Đây là tính chất phân phối đối với phép cộng.)

c) $\vec{v} \cdot \vec{u} = x_2 x_1 + y_2 y_1 = x_1 x_2 + y_1 y_2 = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

Vậy $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (tính chất giao hoán).

Luyện tập 4 (trang 70)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với $A(-1;;2),;B(8;;-1),;C(8;;8)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ và $\vec{BH} \cdot \vec{CA} = 0$.

b) Tìm toạ độ của $H$.

c) Giải tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Chứng minh:

$H$ là trực tâm tam giác $ABC$ → $AH \perp BC$ và $BH \perp CA$ (đường cao đi qua các đỉnh).

• $\vec{AH} \perp \vec{BC} \Leftrightarrow \vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$. $;\square$
• $\vec{BH} \perp \vec{CA} \Leftrightarrow \vec{BH} \cdot \vec{CA} = 0$. $;\square$

b) Tìm toạ độ $H(x;;y)$:

Tính trước:

• $\vec{BC} = (8-8;;8-(-1)) = (0;;9)$.
• $\vec{CA} = (-1-8;;2-8) = (-9;;-6)$.

Áp dụng $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ với $\vec{AH} = (x+1;;y-2)$:

$$0 \cdot (x+1) + 9 \cdot (y-2) = 0 ;\Leftrightarrow; y = 2.$$

Áp dụng $\vec{BH} \cdot \vec{CA} = 0$ với $\vec{BH} = (x-8;;y+1)$:

$$-9(x-8) + (-6)(y+1) = 0 ;\Leftrightarrow; -9x + 72 – 6y – 6 = 0 ;\Leftrightarrow; 9x + 6y = 66.$$

Thay $y = 2$: $9x + 12 = 66 \Leftrightarrow x = 6$.

Vậy $H(6;;2)$.

c) Giải tam giác $ABC$:

Tính độ dài các cạnh:

$$AB = \sqrt{(8-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.$$

$$BC = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9.$$

$$CA = \sqrt{(-9)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}.$$

Tính góc $A$ qua tích vô hướng. Có $\vec{AB} = (9;;-3)$, $\vec{AC} = (9;;6)$:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 81 – 18 = 63.$$

$$\cos A = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \cdot AC} = \dfrac{63}{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{13}} = \dfrac{63}{9\sqrt{130}} = \dfrac{7}{\sqrt{130}} \approx 0{,}614.$$

$$\widehat{A} \approx 52°08′.$$

Tương tự (hoặc dùng định lí cosin):

$$\cos B = \dfrac{AB^2 + BC^2 – CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \dfrac{90 + 81 – 117}{2 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 9} = \dfrac{54}{54\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}316.$$

$$\widehat{B} \approx 71°34′.$$

$$\widehat{C} = 180° – \widehat{A} – \widehat{B} \approx 56°19′.$$

Vận dụng (trang 70)

Vận dụng trang 70

Đề bài: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ $A$ đến $B$. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$ ($\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$).

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$.

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_1}, \vec{F_2}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_1}$.

Lời giải:

Công sinh bởi một lực $\vec{F}$ khi điểm đặt chuyển động từ $A$ đến $B$ được tính theo công thức:

$$A_F = \vec{F} \cdot \vec{AB}.$$

a) Ta có $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$. Áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng:

$$A_F = \vec{F} \cdot \vec{AB} = (\vec{F_1} + \vec{F_2}) \cdot \vec{AB} = \vec{F_1} \cdot \vec{AB} + \vec{F_2} \cdot \vec{AB} = A_{F_1} + A_{F_2}.$$

Vậy công sinh bởi $\vec{F}$ bằng tổng công sinh bởi $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$.

b) Giả sử $\vec{F_1}$ cùng phương với phương chuyển động, $\vec{F_2}$ vuông góc với phương chuyển động.

• $\vec{F_2} \perp \vec{AB}$ → $\vec{F_2} \cdot \vec{AB} = 0$ → $A_{F_2} = 0$.
• Vậy $A_F = A_{F_1} + 0 = A_{F_1}$.

Kết luận: Khi $\vec{F_2}$ vuông góc với phương chuyển động, công sinh bởi $\vec{F}$ bằng công sinh bởi $\vec{F_1}$.

Bài tập (trang 70)

Bài 4.21 (trang 70)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (-3;;1),;\vec{b} = (2;;6)$;

b) $\vec{a} = (3;;1),;\vec{b} = (2;;4)$;

c) $\vec{a} = (-\sqrt{2};;1),;\vec{b} = (2;;-\sqrt{2})$.

Lời giải:

Công thức: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

a)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0.$$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ → hai vectơ vuông góc.

$$(\vec{a}, \vec{b}) = 90°.$$

b)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6 + 4 = 10.$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$$

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \dfrac{10}{2\sqrt{50}} = \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

$$(\vec{a}, \vec{b}) = 45°.$$

c)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} – \sqrt{2} = -3\sqrt{2}.$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}.$$

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \dfrac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1.$$

$$(\vec{a}, \vec{b}) = 180°.$$

(Hai vectơ ngược hướng.)

Bài 4.22 (trang 70)

Đề bài: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$;

b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$.

Lời giải:

Theo định nghĩa: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$.

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$:

• Nếu $\vec{u} = \vec{0}$ hoặc $\vec{v} = \vec{0}$: cả hai vế đều bằng $0$, đẳng thức đúng.
• Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ đều khác $\vec{0}$: chia cả hai vế cho $|\vec{u}||\vec{v}|$, ta được $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$ ⇔ $(\vec{u}, \vec{v}) = 0°$ ⇔ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng.

Kết luận: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ ⇔ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng (hoặc có ít nhất một vectơ bằng $\vec{0}$).

b) Tương tự, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ ⇔ $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1$ ⇔ $(\vec{u}, \vec{v}) = 180°$ ⇔ $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng (hoặc có ít nhất một vectơ bằng $\vec{0}$).

Bài 4.23 (trang 70)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;;2),;B(-4;;3)$. Gọi $M(t;;0)$ là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{AM} \cdot \vec{BM}$ theo $t$.

b) Tìm $t$ để $\widehat{AMB} = 90°$.

Lời giải:

Tính trước:

$$\vec{AM} = (t – 1;;-2), \quad \vec{BM} = (t + 4;;-3).$$

a) Tích vô hướng:

$$\vec{AM} \cdot \vec{BM} = (t – 1)(t + 4) + (-2)(-3).$$

Khai triển $(t – 1)(t + 4) = t^2 + 4t – t – 4 = t^2 + 3t – 4$:

$$\vec{AM} \cdot \vec{BM} = t^2 + 3t – 4 + 6 = t^2 + 3t + 2.$$

b) $\widehat{AMB}$ là góc tại $M$ trong tam giác $AMB$, tức là góc giữa $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$.

Vì $\vec{MA} = -\vec{AM}$ và $\vec{MB} = -\vec{BM}$, ta có:

$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (-\vec{AM}) \cdot (-\vec{BM}) = \vec{AM} \cdot \vec{BM}.$$

$\widehat{AMB} = 90° \Leftrightarrow \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \Leftrightarrow \vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0$:

$$t^2 + 3t + 2 = 0 ;\Leftrightarrow; (t+1)(t+2) = 0 ;\Leftrightarrow; t = -1 \text{ hoặc } t = -2.$$

Vậy $t = -1$ hoặc $t = -2$.

Bài 4.24 (trang 70)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4;;1),;B(2;;4),;C(2;;-2)$.

a) Giải tam giác $ABC$.

b) Tìm toạ độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Giải tam giác $ABC$:

Tính độ dài các cạnh:

$$AB = \sqrt{(2-(-4))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$$

$$BC = \sqrt{0^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{36} = 6.$$

$$CA = \sqrt{(-4-2)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$$

Quan sát: $AB = CA = 3\sqrt{5}$ → tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Tính góc $A$:

$$\vec{AB} = (6;;3), \quad \vec{AC} = (6;;-3).$$

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 36 – 9 = 27.$$

$$\cos A = \dfrac{27}{3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \dfrac{27}{45} = \dfrac{3}{5}.$$

$$\widehat{A} = \arccos\left(\dfrac{3}{5}\right) \approx 53°08′.$$

Vì tam giác cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C}$:

$$\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180° – 53°08′}{2} \approx 63°26′.$$

b) Tìm trực tâm $H(x;;y)$:

Tính trước:

• $\vec{BC} = (0;;-6)$.
• $\vec{CA} = (-6;;3)$.

Áp dụng $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ với $\vec{AH} = (x+4;;y-1)$:

$$0 \cdot (x+4) + (-6)(y-1) = 0 ;\Leftrightarrow; y = 1.$$

Áp dụng $\vec{BH} \cdot \vec{CA} = 0$ với $\vec{BH} = (x-2;;y-4)$:

$$-6(x-2) + 3(y-4) = 0 ;\Leftrightarrow; -6x + 12 + 3y – 12 = 0 ;\Leftrightarrow; -6x + 3y = 0.$$

Thay $y = 1$: $-6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$.

Vậy $H\left(\dfrac{1}{2};;1\right)$.

Bài 4.25 (trang 70)

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\vec{AB}^2 \cdot \vec{AC}^2 – (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}.$$

Lời giải:

Công thức tính diện tích tam giác:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \quad (1)$$

Với $\widehat{A}$ là góc trong tam giác, $0° < \widehat{A} < 180°$ → $\sin A > 0$.

Áp dụng $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:

$$\sin A = \sqrt{1 – \cos^2 A}. \quad (2)$$

Mặt khác, từ định nghĩa tích vô hướng:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A ;\Rightarrow; \cos A = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \cdot AC}. \quad (3)$$

Từ $(2)$ và $(3)$:

$$\sin A = \sqrt{1 – \dfrac{(\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}{AB^2 \cdot AC^2}} = \dfrac{\sqrt{AB^2 \cdot AC^2 – (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}}{AB \cdot AC}.$$

Thay vào $(1)$:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \dfrac{\sqrt{AB^2 \cdot AC^2 – (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}}{AB \cdot AC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2 \cdot AC^2 – (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}.$$

Vì $AB^2 = \vec{AB}^2$ và $AC^2 = \vec{AC}^2$ (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài), ta có:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\vec{AB}^2 \cdot \vec{AC}^2 – (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}. ;;;\square$$

Bài 4.26 (trang 70)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2.$$

Lời giải:

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}. \quad (1)$$

Áp dụng quy tắc ba điểm và tính chất tích vô hướng ($\vec{MA}^2 = MA^2$):

$$MA^2 = \vec{MA}^2 = (\vec{MG} + \vec{GA})^2 = MG^2 + GA^2 + 2\vec{MG} \cdot \vec{GA}. \quad (2)$$

Tương tự:

$$MB^2 = MG^2 + GB^2 + 2\vec{MG} \cdot \vec{GB}. \quad (3)$$

$$MC^2 = MG^2 + GC^2 + 2\vec{MG} \cdot \vec{GC}. \quad (4)$$

Cộng $(2), (3), (4)$ vế theo vế:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\vec{MG} \cdot (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}).$$

Áp dụng $(1)$: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$, nên số hạng cuối bằng $0$:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2. ;;;\square$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh