Mở đầu trang 60

Đề bài: Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong $12$ giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có toạ độ $(13{,}8;;108{,}3)$ đến vị trí có toạ độ $(14{,}1;;106{,}3)$. Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian $12$ giờ đó hay không?

Lời giải:

Có, ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian $12$ giờ đó. Vì bão di chuyển thẳng đều, sau thời gian $t$ giờ, tâm bão $M$ thoả mãn:

$$\vec{AM} = \dfrac{t}{12} \vec{AB},$$

trong đó $A(13{,}8;;108{,}3)$ là vị trí đầu, $B(14{,}1;;106{,}3)$ là vị trí sau $12$ giờ. Bài học này sẽ cung cấp công cụ toạ độ vectơ để tính cụ thể (xem phần Vận dụng).

1. Toạ độ của vectơ

HĐ1 (trang 60)

Đề bài: Trên trục số $Ox$, gọi $A$ là điểm biểu diễn số $1$ và đặt $\vec{OA} = \vec{i}$ (H.4.32a). Gọi $M$ là điểm biểu diễn số $4$, $N$ là điểm biểu diễn số $-\dfrac{3}{2}$. Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{OM}, \vec{ON}$ theo vectơ $\vec{i}$.

Lời giải:

Trên trục $Ox$, nếu điểm $M$ biểu diễn số $x_0$ thì $\vec{OM} = x_0 \vec{i}$.

• $M$ biểu diễn số $4$ → $\vec{OM} = 4\vec{i}$.
• $N$ biểu diễn số $-\dfrac{3}{2}$ → $\vec{ON} = -\dfrac{3}{2}\vec{i}$.

HĐ2 (trang 61)

Đề bài: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{OM}, \vec{ON}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.

b) Hãy biểu thị vectơ $\vec{MN}$ theo các vectơ $\vec{OM}, \vec{ON}$, từ đó biểu thị vectơ $\vec{MN}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.

Lời giải:

Quan sát Hình 4.33: điểm $M$ có toạ độ $(3;;5)$, điểm $N$ có toạ độ $\left(-2;;\dfrac{5}{2}\right)$.

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành (chiếu xuống hai trục):

$$\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} = 3\vec{i} + 5\vec{j}.$$

$$\vec{ON} = \vec{OE} + \vec{OD} = -2\vec{i} + \dfrac{5}{2}\vec{j}.$$

(trong đó $A, B, E, D$ là các hình chiếu của $M, N$ xuống hai trục.)

b) Áp dụng quy tắc hiệu:

$$\vec{MN} = \vec{ON} – \vec{OM} = \left(-2\vec{i} + \dfrac{5}{2}\vec{j}\right) – \left(3\vec{i} + 5\vec{j}\right).$$

$$\vec{MN} = (-2 – 3)\vec{i} + \left(\dfrac{5}{2} – 5\right)\vec{j} = -5\vec{i} – \dfrac{5}{2}\vec{j}.$$

Luyện tập 1 (trang 61)

Đề bài: Tìm toạ độ của $\vec{0}$.

Lời giải:

Vì $\vec{0} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$, nên theo định nghĩa toạ độ vectơ:

$$\vec{0} = (0;;0).$$

2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

HĐ3 (trang 61)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{u} = (2;-3),;\vec{v} = (4;1),;\vec{a} = (8;-12)$.

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.

b) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v},;4\vec{u}$.

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{a}$.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa: nếu vectơ có toạ độ $(x_0; y_0)$ thì biểu thị theo $\vec{i}, \vec{j}$ là $x_0\vec{i} + y_0\vec{j}$.

$$\vec{u} = 2\vec{i} – 3\vec{j}, \quad \vec{v} = 4\vec{i} + \vec{j}, \quad \vec{a} = 8\vec{i} – 12\vec{j}.$$

b) Tính $\vec{u} + \vec{v}$ và $4\vec{u}$:

$$\vec{u} + \vec{v} = (2\vec{i} – 3\vec{j}) + (4\vec{i} + \vec{j}) = 6\vec{i} – 2\vec{j} = (6;;-2).$$

$$4\vec{u} = 4(2\vec{i} – 3\vec{j}) = 8\vec{i} – 12\vec{j} = (8;;-12).$$

c) Ta thấy $4\vec{u} = (8;;-12) = \vec{a}$. Vậy:

$$\vec{a} = 4\vec{u}.$$

Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{a}$ cùng phương (cùng hướng), với $\vec{a}$ có độ dài gấp $4$ lần $\vec{u}$.

HĐ4 (trang 62)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $M(x_0;;y_0)$. Gọi $P, Q$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành $Ox$ và trục tung $Oy$ (H.4.35).

a) Trên trục $Ox$, điểm $P$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\vec{OP}$ theo $\vec{i}$ và tính độ dài của $\vec{OP}$ theo $x_0$.

b) Trên trục $Oy$, điểm $Q$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\vec{OQ}$ theo $\vec{j}$ và tính độ dài của $\vec{OQ}$ theo $y_0$.

c) Dựa vào hình chữ nhật $OPMQ$, tính độ dài của $\vec{OM}$ theo $x_0, y_0$.

d) Biểu thị $\vec{OM}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.

Lời giải:

a) $P$ là hình chiếu của $M(x_0; y_0)$ lên $Ox$ → $P$ biểu diễn số $x_0$.

$$\vec{OP} = x_0 \vec{i}, \quad OP = |x_0|.$$

b) $Q$ là hình chiếu của $M$ lên $Oy$ → $Q$ biểu diễn số $y_0$.

$$\vec{OQ} = y_0 \vec{j}, \quad OQ = |y_0|.$$

c) Trong hình chữ nhật $OPMQ$, $OM$ là đường chéo, $OP$ và $OQ$ là hai cạnh kề. Áp dụng định lí Pytago:

$$OM^2 = OP^2 + OQ^2 = x_0^2 + y_0^2.$$

$$OM = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}.$$

d) Vì $OPMQ$ là hình chữ nhật (cũng là hình bình hành), áp dụng quy tắc hình bình hành:

$$\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{OQ} = x_0 \vec{i} + y_0 \vec{j}.$$

HĐ5 (trang 62)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M(x;;y)$ và $N(x’;;y’)$.

a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{OM}, \vec{ON}$.

b) Biểu thị vectơ $\vec{MN}$ theo các vectơ $\vec{OM}, \vec{ON}$ và tìm toạ độ của $\vec{MN}$.

c) Tìm độ dài của vectơ $\vec{MN}$.

Lời giải:

a) Theo kết quả HĐ4 (toạ độ của $\vec{OM}$ chính là toạ độ điểm $M$):

$$\vec{OM} = (x;;y), \quad \vec{ON} = (x’;;y’).$$

b) Áp dụng quy tắc hiệu:

$$\vec{MN} = \vec{ON} – \vec{OM} = (x’ – x;; y’ – y).$$

c) Độ dài của $\vec{MN}$:

$$|\vec{MN}| = MN = \sqrt{(x’ – x)^2 + (y’ – y)^2}.$$

Luyện tập 2 (trang 63)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2;1),;B(3;3)$.

a) Các điểm $O, A, B$ có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm $M(x;;y)$ để $OABM$ là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Toạ độ các vectơ:

$$\vec{OA} = (2;;1), \quad \vec{OB} = (3;;3).$$

Kiểm tra hai vectơ cùng phương: $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{1}{3}$ → $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$ không cùng phương.

→ Ba điểm $O, A, B$ không thẳng hàng.

b) Để $OABM$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh $O \to A \to B \to M$, hai cạnh đối $\vec{AB}$ và $\vec{OM}$ phải bằng nhau:

$$\vec{AB} = \vec{OM}.$$

Tính $\vec{AB}$:

$$\vec{AB} = (3 – 2;;3 – 1) = (1;;2).$$

Vì $\vec{OM} = (x;;y)$, nên $(x;;y) = (1;;2)$, tức $x = 1, y = 2$.

Vậy $M(1;;2)$.

Vận dụng (trang 64)

Vận dụng trang 64

Đề bài: Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí $M$ của tâm bão tại thời điểm $9$ giờ trong khoảng thời gian $12$ giờ của dự báo.

Lời giải:

Gọi $A(13{,}8;;108{,}3)$ là vị trí ban đầu của tâm bão và $B(14{,}1;;106{,}3)$ là vị trí sau $12$ giờ.

Vì bão di chuyển thẳng đều, sau $9$ giờ tâm bão $M$ thoả mãn:

$$\vec{AM} = \dfrac{9}{12}\vec{AB} = \dfrac{3}{4}\vec{AB}.$$

Tính $\vec{AB}$:

$$\vec{AB} = (14{,}1 – 13{,}8;;106{,}3 – 108{,}3) = (0{,}3;;-2).$$

Tính $\dfrac{3}{4}\vec{AB}$:

$$\dfrac{3}{4}\vec{AB} = \left(\dfrac{3}{4} \cdot 0{,}3;;\dfrac{3}{4} \cdot (-2)\right) = (0{,}225;;-1{,}5).$$

Tìm toạ độ $M$: Gọi $M(x;;y)$. Vì $\vec{AM} = (x – 13{,}8;;y – 108{,}3)$:

$$\begin{cases} x – 13{,}8 = 0{,}225 \\ y – 108{,}3 = -1{,}5 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = 14{,}025 \\ y = 106{,}8 \end{cases}.$$

Vậy tại thời điểm $9$ giờ, tâm bão ở vị trí $M(14{,}025;;106{,}8)$.

Bài tập (trang 65)

Bài 4.16 (trang 65)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M(1;;3),;N(4;;2)$.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM,;ON,;MN$.

b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức độ dài:

$$OM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.$$

$$ON = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$$

$$MN = \sqrt{(4-1)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.$$

b) Chứng minh $\triangle OMN$ vuông cân:

So sánh độ dài: $OM = MN = \sqrt{10}$ → $\triangle OMN$ cân tại $M$.

Xét quan hệ Pytago:

$$OM^2 + MN^2 = 10 + 10 = 20 = ON^2.$$

Theo định lí Pytago đảo, $\triangle OMN$ vuông tại $M$.

Kết hợp: $\triangle OMN$ vuông cân tại $M$. $;;\square$

Bài 4.17 (trang 65)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec{a} = 3\vec{i} – 2\vec{j},;\vec{b} = (4;;-1)$ và các điểm $M(-3;;6),;N(3;;-3)$.

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{MN}$ và $2\vec{a} – \vec{b}$.

b) Các điểm $O, M, N$ có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm $P(x;;y)$ để $OMNP$ là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Tính toạ độ:

$$\vec{a} = (3;;-2), \quad \vec{b} = (4;;-1).$$

$$2\vec{a} = (6;;-4) ;\Rightarrow; 2\vec{a} – \vec{b} = (6 – 4;;-4 – (-1)) = (2;;-3).$$

$$\vec{MN} = (3 – (-3);;-3 – 6) = (6;;-9).$$

So sánh: $\vec{MN} = (6;;-9) = 3 \cdot (2;;-3) = 3(2\vec{a} – \vec{b})$.

Vậy $\vec{MN} = 3(2\vec{a} – \vec{b})$.

b) Tính $\vec{OM}, \vec{ON}$:

$$\vec{OM} = (-3;;6), \quad \vec{ON} = (3;;-3).$$

Kiểm tra cùng phương: $\dfrac{-3}{3} = -1$ và $\dfrac{6}{-3} = -2$. Hai tỉ số khác nhau → $\vec{OM}$ và $\vec{ON}$ không cùng phương.

→ Ba điểm $O, M, N$ không thẳng hàng.

c) Để $OMNP$ là hình bình hành theo thứ tự $O \to M \to N \to P$, đường chéo $ON$ và $MP$ phải có chung trung điểm.

Trung điểm $ON$:

$$I = \left(\dfrac{0 + 3}{2};;\dfrac{0 + (-3)}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2};;-\dfrac{3}{2}\right).$$

$I$ cũng là trung điểm $MP$, nên:

$$\begin{cases} \dfrac{-3 + x}{2} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{6 + y}{2} = -\dfrac{3}{2} \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = 6 \\ y = -9 \end{cases}.$$

Vậy $P(6;;-9)$.

Bài 4.18 (trang 65)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;;3),;B(2;;4),;C(-3;;2)$.

a) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.

c) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm điểm $D(x;;y)$ để $O(0;;0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

Lời giải:

a) Chứng minh $A, B, C$ là 3 đỉnh tam giác:

$$\vec{AB} = (2 – 1;;4 – 3) = (1;;1).$$

$$\vec{AC} = (-3 – 1;;2 – 3) = (-4;;-1).$$

Kiểm tra cùng phương: $\dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4}$ và $\dfrac{1}{-1} = -1$. Hai tỉ số khác nhau → $\vec{AB}, \vec{AC}$ không cùng phương → $A, B, C$ không thẳng hàng → là $3$ đỉnh của một tam giác. $;\square$

b) Trung điểm $M$ của $AB$:

$$M = \left(\dfrac{1 + 2}{2};;\dfrac{3 + 4}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2};;\dfrac{7}{2}\right).$$

c) Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$$G = \left(\dfrac{1 + 2 + (-3)}{3};;\dfrac{3 + 4 + 2}{3}\right) = \left(\dfrac{0}{3};;\dfrac{9}{3}\right) = (0;;3).$$

d) Tìm $D$ để $O$ là trọng tâm $\triangle ABD$:

$O(0;;0)$ là trọng tâm $\triangle ABD$ khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} \dfrac{x_A + x_B + x_D}{3} = 0 \\ \dfrac{y_A + y_B + y_D}{3} = 0 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} 1 + 2 + x = 0 \\ 3 + 4 + y = 0 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = -3 \\ y = -7 \end{cases}.$$

Vậy $D(-3;;-7)$.

Bài 4.19 (trang 65)

Đề bài: Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: tàu khởi hành từ vị trí $A(1;;2)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3;;4)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành $1{,}5$ giờ.

Lời giải:

Vì tàu chuyển động thẳng đều với vận tốc $\vec{v}$, sau $t$ giờ tàu di chuyển được vectơ $t\vec{v}$. Gọi $M$ là vị trí tàu sau $1{,}5$ giờ, ta có:

$$\vec{AM} = 1{,}5 \cdot \vec{v} = 1{,}5 \cdot (3;;4) = (4{,}5;;6).$$

Gọi $M(x;;y)$. Vì $\vec{AM} = (x – 1;;y – 2)$, ta có:

$$\begin{cases} x – 1 = 4{,}5 \\ y – 2 = 6 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = 5{,}5 \\ y = 8 \end{cases}.$$

Vậy sau $1{,}5$ giờ, tàu ở vị trí $M(5{,}5;;8)$.

Bài 4.20 (trang 65)

Đề bài: Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ $(1;;2)$. Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Lời giải:

Nhắc lại quy tắc đi của quân mã: quân mã đi theo hình chữ L — hoặc tiến $1$ ô rồi sang trái (hoặc phải) $2$ ô, hoặc tiến $2$ ô rồi sang trái (hoặc phải) $1$ ô. Quân mã không bị cản bởi quân nào trên đường đi; chỉ bị cản khi ô đích là quân cùng màu.

Vị trí quân mã ban đầu: $(1;;2)$. Các nước đi có thể (tịnh tiến theo các vectơ $(\pm 1; \pm 2)$ hoặc $(\pm 2; \pm 1)$):

Vậy sau một nước đi, quân mã ở $(1;;2)$ có thể đến $6$ ô:

$$(0;;0),;(2;;0),;(3;;1),;(3;;3),;(2;;4),;(0;;4).$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh