Mở đầu trang 26

Đề bài: Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá $100$ máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải:

Đây là tình huống mở đầu sẽ được giải đáp qua hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y)$ trên miền đa giác. Câu trả lời chi tiết được trình bày ở Ví dụ 3 trong SGK: cửa hàng cần nhập $20$ máy điều hoà hai chiều và $80$ máy điều hoà một chiều, lợi nhuận lớn nhất là $230$ triệu đồng.

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1 (trang 26)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hoà theo $x$ và $y$.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá $100$ máy nên $x$ và $y$ cần thoả mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng nên $x$ và $y$ phải thoả mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo $x$ và $y$.

Lời giải:

Số tiền vốn (triệu đồng) để nhập $x$ máy hai chiều và $y$ máy một chiều:

$$20x + 10y \quad \text{(triệu đồng)}.$$

a) Tổng số máy nhập là $x + y$. Vì nhu cầu thị trường không quá $100$ máy nên:

$$x + y \leq 100.$$

(Kèm điều kiện $x \geq 0,; y \geq 0$ và $x, y \in \mathbb{N}$.)

b) Đổi: $1{,}2$ tỉ đồng $= 1\,200$ triệu đồng. Vốn không vượt quá $1{,}2$ tỉ:

$$20x + 10y \leq 1\,200.$$

Chia cả hai vế cho $10$:

$$2x + y \leq 120.$$

c) Số tiền lãi (triệu đồng):

$$F(x; y) = 3{,}5x + 2y.$$

Luyện tập 1 (trang 27)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn $x, y$ và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Lời giải:

Tổng hợp các điều kiện thu được từ HĐ1:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2x + y \leq 120. \end{cases}$$

Chỉ ra một nghiệm: Thử cặp $(x; y) = (20; 80)$.

• $x = 20 \geq 0$ ✓
• $y = 80 \geq 0$ ✓
• $x + y = 20 + 80 = 100 \leq 100$ ✓
• $2x + y = 2 \cdot 20 + 80 = 120 \leq 120$ ✓

Tất cả bất phương trình đều thoả → $(20; 80)$ là một nghiệm của hệ.

(Học sinh có thể chỉ ra nghiệm khác, ví dụ $(0; 0)$, $(10; 10)$, $(50; 0)$, …)

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

HĐ2 (trang 27)

Đề bài: Cho đường thẳng $d: x + y = 150$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Đường thẳng này cắt hai trục toạ độ $Ox$ và $Oy$ tại hai điểm $A$ và $B$.

a) Xác định các miền nghiệm $D_1, D_2, D_3$ của các bất phương trình tương ứng $x \geq 0$; $y \geq 0$ và $x + y \leq 150$.

b) Miền tam giác $OAB$ (H.2.5) có phải là giao của các miền $D_1, D_2$ và $D_3$ hay không?

c) Lấy một điểm trong tam giác $OAB$ (chẳng hạn điểm $(1; 2)$) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác $OAB$ (chẳng hạn điểm $(1; 149)$) và kiểm tra xem toạ độ các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150. \end{cases}$$

Lời giải:

Đường $d: x + y = 150$ cắt $Ox$ tại $A(150; 0)$ và cắt $Oy$ tại $B(0; 150)$.

a) Xác định ba miền nghiệm:

• $D_1$: miền nghiệm của $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).
• $D_2$: miền nghiệm của $y \geq 0$ là nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$ (kể cả trục $Ox$).
• $D_3$: miền nghiệm của $x + y \leq 150$. Thử $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 \leq 150$ ✓. Vậy $D_3$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $O$ (kể cả $d$).

b) Mỗi điểm trong tam giác $OAB$ có:

• Hoành độ $x \geq 0$ (thuộc $D_1$).
• Tung độ $y \geq 0$ (thuộc $D_2$).
• Nằm phía dưới (hoặc trên) đường $d$, tức $x + y \leq 150$ (thuộc $D_3$).

Vậy miền tam giác $OAB$ chính là giao của ba miền $D_1 \cap D_2 \cap D_3$.

c) Kiểm tra:

Điểm $(1; 2)$ trong tam giác:

• $x = 1 \geq 0$ ✓
• $y = 2 \geq 0$ ✓
• $x + y = 1 + 2 = 3 \leq 150$ ✓

→ $(1; 2)$ là nghiệm của hệ.

Điểm $(1; 149)$ trên cạnh $AB$:

• $x = 1 \geq 0$ ✓
• $y = 149 \geq 0$ ✓
• $x + y = 1 + 149 = 150 \leq 150$ ✓ (đúng bằng $150$)

→ $(1; 149)$ là nghiệm của hệ.

Luyện tập 2 (trang 28)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y > 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2x + y < 120. \end{cases}$$

Lời giải:

Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ và gạch bỏ phần không thoả từng bất phương trình:

Bước 1. Bpt $x \geq 0$: vẽ trục $Oy$ nét liền (vì có dấu $\geq$). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).

Bước 2. Bpt $y > 0$: vẽ trục $Ox$ nét đứt (vì dấu $>$). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$ (không kể trục $Ox$).

Bước 3. Bpt $x + y \leq 100$: vẽ đường $d_1: x + y = 100$ nét liền, qua $(100; 0)$ và $(0; 100)$. Thử $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 \leq 100$ ✓ → miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa $O$ (kể cả bờ $d_1$).

Bước 4. Bpt $2x + y < 120$: vẽ đường $d_2: 2x + y = 120$ nét đứt, qua $(60; 0)$ và $(0; 120)$. Thử $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 < 120$ ✓ → miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ chứa $O$ (không kể bờ $d_2$).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ là giao của bốn miền trên – chính là miền đa giác trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi $Oy$ (kể cả), $Ox$ (không kể), $d_1$ (kể cả) và $d_2$ (không kể).

3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ3 (trang 28)

Đề bài: Xét biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ với $(x; y)$ thuộc miền tam giác $OAB$ ở HĐ2. Toạ độ ba đỉnh là $O(0; 0)$, $A(150; 0)$ và $B(0; 150)$ (H.2.5).

a) Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại mỗi đỉnh $O$, $A$ và $B$.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ $x$ và tung độ $y$ của điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ trên miền tam giác $OAB$.

c) Nêu nhận xét về tổng $x + y$ của điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ trên miền tam giác $OAB$.

Lời giải:

a) Thay toạ độ vào $F(x; y) = 2x + 3y$:

• $F(O) = F(0; 0) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$.
• $F(A) = F(150; 0) = 2 \cdot 150 + 3 \cdot 0 = 300$.
• $F(B) = F(0; 150) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 150 = 450$.

b) Với mỗi điểm $(x; y)$ trong miền tam giác $OAB$: $x \geq 0$ và $y \geq 0$ (vì miền nằm trong góc phần tư thứ nhất).

Suy ra:

$$F(x; y) = 2x + 3y \geq 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0.$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ là $0$, đạt được khi $x = 0$ và $y = 0$, tức tại đỉnh $O(0; 0)$.

c) Với mỗi điểm $(x; y)$ trong miền tam giác $OAB$: $x + y \leq 150$.

Ta biến đổi: $F(x; y) = 2x + 3y = 2(x + y) + y$.

Vì $x + y \leq 150$ và $y \leq 150$ (do $y \leq x + y \leq 150$), nên:

$$F(x; y) = 2(x + y) + y \leq 2 \cdot 150 + 150 = 450.$$

Vậy giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ là $450$, đạt được khi $x + y = 150$ và $y = 150$, tức $x = 0$ và $y = 150$ – chính là đỉnh $B(0; 150)$.

Nhận xét tổng quát (theo SGK): Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của $F(x; y) = ax + by$ trên miền đa giác đạt được tại một đỉnh của đa giác đó.

Vận dụng (trang 30)

Vận dụng trang 30

Đề bài: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính $A$ và $B$, giá mỗi chiếc lần lượt là $10$ triệu đồng và $20$ triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá $4$ tỉ đồng. Loại máy $A$ mang lại lợi nhuận $2{,}5$ triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy $B$ mang lại lợi nhuận là $4$ triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá $250$ máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại $A$ là $x$ và số máy tính loại $B$ là $y$.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi $F$ (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán $x$ máy tính loại $A$ và $y$ máy tính loại $B$. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lời giải:

a) Lập hệ bất phương trình:

Số lượng máy không âm: $x \geq 0,; y \geq 0$.

Vốn không vượt quá $4$ tỉ $= 4\,000$ triệu đồng: $10x + 20y \leq 4\,000$, chia $10$:

$$x + 2y \leq 400.$$

Nhu cầu tối đa $250$ máy: $x + y \leq 250$.

Hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2y \leq 400 \\ x + y \leq 250. \end{cases}$$

Xác định miền nghiệm:

Vẽ các đường thẳng:

• $d_1: x + 2y = 400$ qua $(400; 0)$ và $(0; 200)$.
• $d_2: x + y = 250$ qua $(250; 0)$ và $(0; 250)$.

Lấy $O(0; 0)$ kiểm tra cả hai bpt: $0 \leq 400$ ✓, $0 \leq 250$ ✓ → $O$ thuộc miền nghiệm.

Tìm các đỉnh của miền nghiệm (đa giác):

• $O(0; 0)$.
• Giao $d_2$ với trục $Ox$ ($y = 0$): $x = 250$ → đỉnh $(250; 0)$.
• Giao $d_1$ với $d_2$: trừ hai pt: $(x + 2y) – (x + y) = 400 – 250 \Rightarrow y = 150$, suy ra $x = 100$. Đỉnh $(100; 150)$.
• Giao $d_1$ với trục $Oy$ ($x = 0$): $y = 200$ → đỉnh $(0; 200)$.

Miền nghiệm là tứ giác có $4$ đỉnh: $O(0; 0)$, $(250; 0)$, $(100; 150)$, $(0; 200)$.

b) Lợi nhuận:

$$F(x; y) = 2{,}5x + 4y \quad \text{(triệu đồng)}.$$

c) Tìm GTLN của $F$: GTLN của $F$ đạt tại một trong các đỉnh. Tính $F$ tại từng đỉnh:

• $F(0; 0) = 0$.
• $F(250; 0) = 2{,}5 \cdot 250 + 4 \cdot 0 = 625$.
• $F(100; 150) = 2{,}5 \cdot 100 + 4 \cdot 150 = 250 + 600 = 850$.
• $F(0; 200) = 2{,}5 \cdot 0 + 4 \cdot 200 = 800$.

So sánh: $0 < 625 < 800 < 850$. GTLN $= 850$ tại đỉnh $(100; 150)$.

Kết luận: Cửa hàng cần nhập $100$ máy tính loại $A$ và $150$ máy tính loại $B$ để lợi nhuận lớn nhất là $850$ triệu đồng.

Bài tập (trang 30)

Bài 2.4 (trang 30)

Đề bài: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\begin{cases} x < 0 \\ y \geq 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y – x > 1; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0; \end{cases}$

d) $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2 x + 3y < 1. \end{cases}$

Lời giải:

Nhớ lại: hệ bpt bậc nhất hai ẩn gồm hai (hay nhiều) bpt dạng $ax + by < c$ (hoặc $\leq, >, \geq$), trong đó $x$ và $y$ là hai ẩn bậc nhất (không có $x^2, y^2, xy, z, \ldots$).

• a) $\begin{cases} x < 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$: bpt $x < 0$ viết được dưới dạng $1 \cdot x + 0 \cdot y < 0$; bpt $y \geq 0$ viết được dưới dạng $0 \cdot x + 1 \cdot y \geq 0$. Cả hai đều là bpt bậc nhất hai ẩn (hệ số $a$ hoặc $b$ bằng $0$ vẫn được, chỉ cần không đồng thời $= 0$). → Là hệ bpt bậc nhất hai ẩn.
• b) Có chứa $y^2$ → không phải hệ bpt bậc nhất hai ẩn.
• c) Có ba ẩn $x, y, z$ → không phải hệ bpt bậc nhất hai ẩn.
• d) $3^2 = 9$ và $4^2 = 16$ chỉ là các hệ số (số cụ thể), hệ tương đương $\begin{cases} -2x + y < 9 \\ 16x + 3y < 1 \end{cases}$. Cả hai bpt đều là bpt bậc nhất hai ẩn. → Là hệ bpt bậc nhất hai ẩn.

Kết luận: Câu a và d là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.5 (trang 30)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:

a) $\begin{cases} y – x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2x + y \leq 4; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x \geq 0 \\ x + y > 5 \\ x – y < 0. \end{cases}$

Lời giải:

a) Hệ $\begin{cases} y – x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$.

• $y – x < -1 ;\Leftrightarrow; y < x – 1$: vẽ đường $y = x – 1$ nét đứt (qua $(0; -1)$ và $(1; 0)$). Thử $O(0; 0)$: $0 < 0 – 1 = -1$? Sai → $O$ không thuộc miền nghiệm → miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng (không chứa $O$).
• $x > 0$: nửa mặt phẳng bên phải $Oy$ (không kể $Oy$).
• $y < 0$: nửa mặt phẳng dưới $Ox$ (không kể $Ox$).

Miền nghiệm của hệ là giao của ba miền trên, nằm trong góc phần tư thứ tư ($x > 0$, $y < 0$) và dưới đường $y = x – 1$.

b) Hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2x + y \leq 4 \end{cases}$.

• $x \geq 0$, $y \geq 0$: miền góc phần tư thứ nhất (kể cả hai trục).
• $2x + y \leq 4$: vẽ đường $2x + y = 4$ nét liền (qua $(2; 0)$ và $(0; 4)$). Thử $O$: $0 \leq 4$ ✓ → miền chứa $O$.

Miền nghiệm là tam giác có $3$ đỉnh $O(0; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 4)$ (kể cả các cạnh).

c) Hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ x + y > 5 \\ x – y < 0 \end{cases}$.

• $x \geq 0$: nửa mặt phẳng bên phải $Oy$ (kể cả).
• $x + y > 5$: vẽ đường $x + y = 5$ nét đứt (qua $(5; 0)$ và $(0; 5)$). Thử $O$: $0 > 5$? Sai → miền không chứa $O$.
• $x – y < 0 ;\Leftrightarrow; y > x$: vẽ đường $y = x$ nét đứt. Thử điểm $(1; 0)$: $1 – 0 = 1 < 0$? Sai → miền không chứa $(1; 0)$, tức là phía trên đường $y = x$.

Miền nghiệm là giao của ba miền: $x \geq 0$, phía trên đường $x + y = 5$, phía trên đường $y = x$.

Bài 2.6 (trang 30)

Đề bài: Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$ đơn vị lipid. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa $600$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là $1{,}6$ kg thịt bò và $1{,}1$ kg thịt lợn; giá $1$ kg thịt bò là $250$ nghìn đồng; giá $1$ kg thịt lợn là $160$ nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình đó cần mua để chi phí là ít nhất.

Lời giải:

a) Lập hệ bất phương trình:

Số kg không âm và không vượt quá giới hạn mua: $0 \leq x \leq 1{,}6$ và $0 \leq y \leq 1{,}1$.

Đủ protein ($\geq 900$): $800x + 600y \geq 900$, chia $100$: $;8x + 6y \geq 9$.

Đủ lipid ($\geq 400$): $200x + 400y \geq 400$, chia $200$: $;x + 2y \geq 2$.

Hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 0 \leq x \leq 1{,}6 \\ 0 \leq y \leq 1{,}1 \\ 8x + 6y \geq 9 \\ x + 2y \geq 2. \end{cases}$$

Miền nghiệm: Trên mặt phẳng toạ độ, vẽ:

• Hình chữ nhật $0 \leq x \leq 1{,}6,; 0 \leq y \leq 1{,}1$.
• Đường $8x + 6y = 9$ qua $\left(\dfrac{9}{8}; 0\right) = (1{,}125; 0)$ và $\left(0; \dfrac{3}{2}\right) = (0; 1{,}5)$. Lấy miền không chứa $O$ (vì $0 < 9$ không thoả $\geq 9$).
• Đường $x + 2y = 2$ qua $(2; 0)$ và $(0; 1)$. Lấy miền không chứa $O$.

Miền nghiệm là một tứ giác (giao tất cả các điều kiện trên).

b) Biểu diễn $F$:

$$F(x; y) = 250x + 160y \quad \text{(nghìn đồng)}.$$

c) Tìm GTNN của $F$:

Tìm các đỉnh của tứ giác miền nghiệm (giao các đường biên):

• Giao của $8x + 6y = 9$ và $y = 1{,}1$: $8x + 6 \cdot 1{,}1 = 9 ;\Rightarrow; 8x = 9 – 6{,}6 = 2{,}4 ;\Rightarrow; x = 0{,}3$. → Đỉnh $(0{,}3;; 1{,}1)$.
• Giao của $8x + 6y = 9$ và $x + 2y = 2$: từ pt 2, $x = 2 – 2y$. Thay: $8(2 – 2y) + 6y = 9 \Rightarrow 16 – 16y + 6y = 9 \Rightarrow -10y = -7 \Rightarrow y = 0{,}7$, $x = 2 – 1{,}4 = 0{,}6$. → Đỉnh $(0{,}6;; 0{,}7)$.
• Giao của $x + 2y = 2$ và $x = 1{,}6$: $1{,}6 + 2y = 2 \Rightarrow y = 0{,}2$. → Đỉnh $(1{,}6;; 0{,}2)$.
• Giao của $x = 1{,}6$ và $y = 1{,}1$: → Đỉnh $(1{,}6;; 1{,}1)$.

Tứ giác có 4 đỉnh: $(0{,}3;; 1{,}1)$, $(0{,}6;; 0{,}7)$, $(1{,}6;; 0{,}2)$, $(1{,}6;; 1{,}1)$.

Tính $F$ tại từng đỉnh:

• $F(0{,}3;; 1{,}1) = 250 \cdot 0{,}3 + 160 \cdot 1{,}1 = 75 + 176 = 251$.
• $F(0{,}6;; 0{,}7) = 250 \cdot 0{,}6 + 160 \cdot 0{,}7 = 150 + 112 = 262$.
• $F(1{,}6;; 0{,}2) = 250 \cdot 1{,}6 + 160 \cdot 0{,}2 = 400 + 32 = 432$.
• $F(1{,}6;; 1{,}1) = 250 \cdot 1{,}6 + 160 \cdot 1{,}1 = 400 + 176 = 576$.

So sánh: $251 < 262 < 432 < 576$. GTNN $= 251$ tại đỉnh $(0{,}3;; 1{,}1)$.

Kết luận: Gia đình cần mua $0{,}3$ kg thịt bò và $1{,}1$ kg thịt lợn để chi phí ít nhất là $251$ nghìn đồng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh