Trước khi đọc lời giải, các em ôn lại các kiến thức trọng tâm:

• Hai vectơ cùng phương ⇔ $\vec{u} = k\vec{v}$ (hoặc tỉ lệ toạ độ bằng nhau).
• Hai vectơ vuông góc ⇔ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow xx’ + yy’ = 0$.
• Độ dài vectơ $\vec{u} = (x;,y)$ là $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u}, \vec{v}) = xx’ + yy’$.

A – Trắc nghiệm

Bài 4.27 (trang 71)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2;,3)$ và $\vec{v} = \left(\dfrac{1}{2};,6\right)$.

B. $\vec{a} = (\sqrt{2};,6)$ và $\vec{b} = (1;,3\sqrt{2})$.

C. $\vec{i} = (0;,1)$ và $\vec{j} = (1;,0)$.

D. $\vec{c} = (1;,3)$ và $\vec{d} = (2;,-6)$.

Lời giải:

Hai vectơ $(x;,y)$ và $(x’;,y’)$ cùng phương khi và chỉ khi $xy’ – yx’ = 0$ (tỉ lệ toạ độ tương ứng bằng nhau).

• A. $2 \cdot 6 – 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 12 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{2} \neq 0$ → không cùng phương.
• B. $\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} – 6 \cdot 1 = 6 – 6 = 0$ → cùng phương.
• C. $0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1 \neq 0$ → không cùng phương.
• D. $1 \cdot (-6) – 3 \cdot 2 = -12 \neq 0$ → không cùng phương.

Đáp án: B.

Bài 4.28 (trang 71)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2;,3)$ và $\vec{v} = (4;,6)$.

B. $\vec{a} = (1;,-1)$ và $\vec{b} = (-1;,1)$.

C. $\vec{z} = (a;,b)$ và $\vec{t} = (-b;,a)$.

D. $\vec{n} = (1;,1)$ và $\vec{k} = (2;,0)$.

Lời giải:

Hai vectơ vuông góc ⇔ tích vô hướng bằng $0$.

• A. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 26 \neq 0$ → không.
• B. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -2 \neq 0$ → không (hai vectơ này ngược hướng).
• C. $\vec{z} \cdot \vec{t} = a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0$ → vuông góc.
• D. $\vec{n} \cdot \vec{k} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2 \neq 0$ → không.

Đáp án: C.

Bài 4.29 (trang 71)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng $1$?

A. $\vec{a} = (1;,1)$. B. $\vec{b} = (1;,-1)$. C. $\vec{c} = \left(2;,\dfrac{1}{2}\right)$. D. $\vec{d} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}};,\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

Lời giải:

Tính $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ cho từng vectơ:

• A. $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \neq 1$.
• B. $|\vec{b}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \neq 1$.
• C. $|\vec{c}| = \sqrt{4 + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{17}{4}} \neq 1$.
• D. $|\vec{d}| = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$. ✓

Đáp án: D.

Bài 4.30 (trang 71)

Đề bài: Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1;,-1)$ và vectơ $\vec{b} = (-2;,0)$ có số đo bằng:

A. $90°$. B. $0°$. C. $135°$. D. $45°$.

Lời giải:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 = -2.$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{2}, \quad |\vec{b}| = 2.$$

$$\cos(\vec{a},\vec{b}) = \dfrac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

$$(\vec{a}, \vec{b}) = 135°.$$

Đáp án: C.

Bài 4.31 (trang 71)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$.

B. $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\vec{a},\vec{b})$.

D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} – \vec{a} \cdot \vec{c}$.

Lời giải:

• A. Sai. $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ là vectơ cùng phương với $\vec{c}$, còn $\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})$ là vectơ cùng phương với $\vec{a}$. Hai vế nói chung khác nhau.
• B. Sai. $(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \cos^2(\vec{a},\vec{b})$, còn $\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2$. Đẳng thức chỉ đúng khi $\cos^2 = 1$, tức $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương.
• C. Sai. Công thức đúng là $\cos$, không phải $\sin$.
• D. Đúng. Đây là tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép trừ.

Đáp án: D.

Bài 4.32 (trang 71)

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{AB}, \vec{BD}) = 45°$.

B. $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = a^2$.

C. $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a^2\sqrt{2}$.

D. $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = -a^2$.

Lời giải:

Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$: hai đường chéo dài $a\sqrt{2}$, vuông góc nhau, mỗi đường chéo tạo với cạnh một góc $45°$.

A. Xét $(\vec{AB}, \vec{BD})$: hai vectơ không cùng gốc. Vì $\vec{BA} = -\vec{AB}$, ta có:

$$(\vec{AB}, \vec{BD}) = 180° – (\vec{BA}, \vec{BD}).$$

Mà $(\vec{BA}, \vec{BD}) = \widehat{ABD} = 45°$ → $(\vec{AB}, \vec{BD}) = 135° \neq 45°$. Sai.

B. Xét $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$:

• $|\vec{AC}| = a\sqrt{2}, ;|\vec{BC}| = a$.
• $(\vec{AC}, \vec{BC}) = (\vec{CA}, \vec{CB}) = \widehat{ACB} = 45°$ (vì cùng đổi gốc về $C$).

$$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45° = a^2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = a^2. ;;\checkmark$$

Đúng.

C. Vì $AC \perp BD$ → $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0 \neq a^2\sqrt{2}$. Sai.

D. Xét $\vec{BA} \cdot \vec{BD}$: $\widehat{ABD} = 45°$, $|\vec{BA}| = a$, $|\vec{BD}| = a\sqrt{2}$.

$$\vec{BA} \cdot \vec{BD} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45° = a^2 \neq -a^2.$$

Sai.

Đáp án: B.

B – Tự luận

Bài 4.33 (trang 71)

Đề bài: Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC$.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{MB}$ và $\vec{MC}$.

b) Biểu thị vectơ $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Lời giải:

a) Mối quan hệ giữa $\vec{MB}$ và $\vec{MC}$:

$M$ nằm giữa $B$ và $C$ trên cạnh $BC$ → $\vec{MB}$ và $\vec{MC}$ ngược hướng (cùng gốc $M$, đi về hai phía).

$|MB| = 3|MC|$ → độ dài $\vec{MB}$ gấp $3$ lần độ dài $\vec{MC}$.

Kết hợp hai điều trên:

$$\vec{MB} = -3 \vec{MC}.$$

b) Biểu thị $\vec{AM}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$:

Xét trên đoạn $BC$: $BM + MC = BC$ và $BM = 3MC$ → $BC = 3MC + MC = 4MC$ → $BM = \dfrac{3}{4}BC$.

Vì $\vec{BM}$ cùng hướng $\vec{BC}$ và $BM = \dfrac{3}{4}BC$:

$$\vec{BM} = \dfrac{3}{4}\vec{BC}.$$

Áp dụng quy tắc ba điểm:

$$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \dfrac{3}{4}\vec{BC}.$$

Mà $\vec{BC} = \vec{AC} – \vec{AB}$ (quy tắc hiệu), nên:

$$\vec{AM} = \vec{AB} + \dfrac{3}{4}(\vec{AC} – \vec{AB}) = \left(1 – \dfrac{3}{4}\right)\vec{AB} + \dfrac{3}{4}\vec{AC}.$$

$$\boxed{\vec{AM} = \dfrac{1}{4}\vec{AB} + \dfrac{3}{4}\vec{AC}.}$$

Bài 4.34 (trang 72)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có:

$$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}.$$

Lời giải:

Xét hiệu hai vế:

$$\vec{MA} + \vec{MC} – \vec{MB} – \vec{MD} = (\vec{MA} – \vec{MB}) + (\vec{MC} – \vec{MD}).$$

Áp dụng quy tắc hiệu (với chung điểm gốc $M$):

$$\vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA}, \quad \vec{MC} – \vec{MD} = \vec{DC}.$$

Nên:

$$\vec{MA} + \vec{MC} – \vec{MB} – \vec{MD} = \vec{BA} + \vec{DC}.$$

Trong hình bình hành $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$ → $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{DC}$. Do đó:

$$\vec{BA} + \vec{DC} = -\vec{DC} + \vec{DC} = \vec{0}.$$

Vậy $\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}$. $;\square$

Bài 4.35 (trang 72)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A(2;,1), B(-2;,5), C(-5;,2)$.

a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.

b) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm toạ độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Toạ độ $\vec{BA}, \vec{BC}$:

$$\vec{BA} = (2 – (-2);;1 – 5) = (4;,-4).$$

$$\vec{BC} = (-5 – (-2);;2 – 5) = (-3;,-3).$$

b) Chứng minh tam giác vuông + diện tích, chu vi:

Tính tích vô hướng:

$$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot (-3) + (-4) \cdot (-3) = -12 + 12 = 0.$$

→ $\vec{BA} \perp \vec{BC}$ → tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Tính các cạnh:

$$BA = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$$

$$BC = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$

$$AC = \sqrt{(2-(-5))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$$

(Kiểm tra: $BA^2 + BC^2 = 32 + 18 = 50 = AC^2$ → khẳng định lại vuông tại $B$.)

Diện tích:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot BA \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 24 = 12.$$

Chu vi:

$$P = BA + BC + AC = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2}.$$

c) Trọng tâm $G$:

$$G = \left(\dfrac{2 + (-2) + (-5)}{3};;\dfrac{1 + 5 + 2}{3}\right) = \left(-\dfrac{5}{3};;\dfrac{8}{3}\right).$$

d) Tìm $D$ để $BCAD$ là hình bình hành:

Trong hình bình hành $BCAD$ theo thứ tự đỉnh $B \to C \to A \to D$, hai cạnh đối $BC$ và $AD$ song song và bằng nhau. Vì khi đi theo chiều ngược nhau dọc theo hai cạnh đối, ta có:

$$\vec{BC} = \vec{DA}.$$

Tính $\vec{DA} = (2 – x_D;;1 – y_D) = \vec{BC} = (-3;,-3)$:

$$\begin{cases} 2 – x_D = -3 \\ 1 – y_D = -3 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x_D = 5 \\ y_D = 4 \end{cases}.$$

Vậy $D(5;,4)$.

Bài 4.36 (trang 72)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A(1;,2), B(3;,4), C(-1;,-2)$ và $D(6;,5)$.

a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử $E$ là điểm có toạ độ $(a;,1)$. Tìm $a$ để các vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BE}$ cùng phương.

d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{AE}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Lời giải:

a)

$$\vec{AB} = (3-1;;4-2) = (2;,2).$$

$$\vec{CD} = (6-(-1);;5-(-2)) = (7;,7).$$

b) Cùng phương:

Kiểm tra điều kiện cùng phương: $2 \cdot 7 – 2 \cdot 7 = 0$ ✓.

Hoặc trực tiếp: $\vec{CD} = (7;,7) = \dfrac{7}{2} \cdot (2;,2) = \dfrac{7}{2}\vec{AB}$.

Vì tồn tại số $k = \dfrac{7}{2}$ sao cho $\vec{CD} = k\vec{AB}$, nên $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương.

c) Tìm $a$ để $\vec{AC}$ và $\vec{BE}$ cùng phương:

$$\vec{AC} = (-1 – 1;;-2 – 2) = (-2;,-4).$$

$$\vec{BE} = (a – 3;;1 – 4) = (a – 3;,-3).$$

Điều kiện cùng phương: $(-2)(-3) – (-4)(a-3) = 0$:

$$6 + 4(a – 3) = 0 ;\Leftrightarrow; 4(a-3) = -6 ;\Leftrightarrow; a – 3 = -\dfrac{3}{2} ;\Leftrightarrow; a = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy $a = \dfrac{3}{2}$.

d) Biểu thị $\vec{AE}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$:

Với $a = \dfrac{3}{2}$, $E\left(\dfrac{3}{2};,1\right)$:

$$\vec{AE} = \left(\dfrac{3}{2} – 1;;1 – 2\right) = \left(\dfrac{1}{2};,-1\right).$$

Gọi $\vec{AE} = m\vec{AB} + n\vec{AC}$ với $\vec{AB} = (2;,2), \vec{AC} = (-2;,-4)$:

$$\begin{cases} 2m – 2n = \dfrac{1}{2} \\ 2m – 4n = -1 \end{cases}.$$

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

$$(2m – 2n) – (2m – 4n) = \dfrac{1}{2} – (-1) ;\Leftrightarrow; 2n = \dfrac{3}{2} ;\Leftrightarrow; n = \dfrac{3}{4}.$$

Thay vào: $2m – 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $\vec{AE} = \vec{AB} + \dfrac{3}{4}\vec{AC}$.

Bài 4.37 (trang 72)

Đề bài: Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ (còn được viết là $\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$.

Lời giải:

Đặt $\vec{u} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} = k\vec{a}$ với $k = \dfrac{1}{|\vec{a}|}$.

Vì $\vec{a} \neq \vec{0}$ → $|\vec{a}| > 0$ → $k = \dfrac{1}{|\vec{a}|} > 0$.

Cùng hướng với $\vec{a}$: Vì $k > 0$, vectơ $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$.

Độ dài bằng $1$:

$$|\vec{u}| = |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = \dfrac{1}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = 1.$$

Vậy $\vec{u} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ là vectơ đơn vị (độ dài $1$) và cùng hướng với $\vec{a}$. $;\square$

Bài 4.38 (trang 72)

Đề bài: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Xét một hệ trục $Oxy$ với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có toạ độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a};,\vec{u} \cdot \vec{b})$.

b) $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}$.

Lời giải:

Vì $|\vec{a}| = 1$ → $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$. Tương tự $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1$.

Vì $\vec{a} \perp \vec{b}$ → $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

a) Giả sử trong hệ trục $Oxy$ (với $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$), vectơ $\vec{u}$ có toạ độ $(x;,y)$. Khi đó:

$$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} = x\vec{a} + y\vec{b}.$$

Tính tích vô hướng với $\vec{a}$:

$$\vec{u} \cdot \vec{a} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + y(\vec{b} \cdot \vec{a}) = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x.$$

Tương tự:

$$\vec{u} \cdot \vec{b} = x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0 + y = y.$$

Vậy $x = \vec{u} \cdot \vec{a}$ và $y = \vec{u} \cdot \vec{b}$, tức là vectơ $\vec{u}$ có toạ độ $(\vec{u} \cdot \vec{a};;\vec{u} \cdot \vec{b})$. $;\square$

b) Từ $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$ và $x = \vec{u}\cdot\vec{a}, y = \vec{u}\cdot\vec{b}$ (theo câu a), ta được:

$$\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}. ;;\square$$

Bài 4.39 (trang 72)

Đề bài: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $\mathrm{S}15°\mathrm{E}$ với vận tốc có độ lớn bằng $20$ km/h. Tính độ lớn của vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3$ km/h.

(Hướng $\mathrm{S}\alpha°\mathrm{E}$ là hướng tạo với hướng nam góc $\alpha°$ và tạo với hướng đông góc $90° – \alpha°$.)

Lời giải:

Dùng vectơ:

• $\vec{AB}$: vận tốc riêng của ca nô.
• $\vec{BC}$: vận tốc dòng nước (hướng đông, độ lớn $3$).
• $\vec{AC}$: vận tốc thực của ca nô = $\vec{AB} + \vec{BC}$ (hướng $\mathrm{S}15°\mathrm{E}$, độ lớn $20$).

Theo định nghĩa hướng $\mathrm{S}15°\mathrm{E}$: vectơ vận tốc thực $\vec{AC}$ tạo với hướng nam một góc $15°$, do đó tạo với hướng đông góc $90° – 15° = 75°$.

Trong tam giác $ABC$ (với $A$ là điểm xuất phát, $B$ là điểm trung gian, $C$ là điểm đến):

• $AC = 20$ (vận tốc thực).
• $BC = 3$ (vận tốc dòng nước).
• $\widehat{ACB} = 75°$ (góc giữa $\vec{CA}$ và $\vec{CB}$, tức góc giữa hướng từ $C$ về $A$ và hướng từ $C$ về $B$).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ tại đỉnh $C$:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 – 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 75°.$$

$$AB^2 = 20^2 + 3^2 – 2 \cdot 20 \cdot 3 \cdot \cos 75° = 400 + 9 – 120 \cdot \cos 75°.$$

Tính $\cos 75° \approx 0{,}2588$, nên $120 \cdot \cos 75° \approx 31{,}06$:

$$AB^2 \approx 409 – 31{,}06 \approx 377{,}94.$$

$$AB \approx \sqrt{377{,}94} \approx 19{,}44.$$

Vậy vận tốc riêng của ca nô xấp xỉ $19{,}44$ km/h.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh