Trước khi vào lời giải, các em nhớ lại các công thức chính:

• Sai số tuyệt đối: $\Delta_a = |\overline{a} – a|$. Nếu $\Delta_a \leq d$ thì $\overline{a} = a \pm d$ và $\overline{a} \in [a – d;; a + d]$. Khi đó $d$ là độ chính xác của $a$.
• Sai số tương đối: $\delta_a = \dfrac{\Delta_a}{|a|} \leq \dfrac{d}{|a|}$ (thường viết dưới dạng phần trăm).
• Quy tròn: làm tròn số $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị của hàng đó.

1. Số gần đúng

HĐ1 (trang 74)

Đề bài: Ngày $8$-$12$-$2020$, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là $8\,848{,}86$ m. Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu ($8\,848$ m; $8\,848{,}13$ m; $8\,844{,}43$ m; $8\,850$ m), số nào gần nhất với số được công bố ở trên?

Lời giải:

Tính độ chênh lệch (sai số tuyệt đối so với $8\,848{,}86$ m) của từng số:

• $|8\,848 – 8\,848{,}86| = 0{,}86$ m.
• $|8\,848{,}13 – 8\,848{,}86| = 0{,}73$ m.
• $|8\,844{,}43 – 8\,848{,}86| = 4{,}43$ m.
• $|8\,850 – 8\,848{,}86| = 1{,}14$ m.

So sánh: $0{,}73 < 0{,}86 < 1{,}14 < 4{,}43$.

Vậy số $8\,848{,}13$ m gần nhất với số công bố $8\,848{,}86$ m.

HĐ2 (trang 74)

Đề bài: Trang và Hoà thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.

Lời giải:

Quan sát Hình 5.1:

• Ống đong thứ nhất (chia vạch thưa, chỉ chia đến từng đơn vị $\text{cm}^3$): mực nước nằm ở vạch $13$. Số đo thể tích là $13$ cm³.
• Ống đong thứ hai (chia vạch dày hơn, chia đến phần mười $\text{cm}^3$): mực nước nằm ở vạch $13{,}1$. Số đo thể tích là $13{,}1$ cm³.

Câu hỏi (trang 74)

Đề bài: Hãy lấy một ví dụ khác về số gần đúng.

Lời giải:

Một số ví dụ về số gần đúng:

• Số $\pi \approx 3{,}14$ (số đúng là $\pi = 3{,}141592\ldots$).
• Số $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ (số đúng là $\sqrt{2} = 1{,}414213\ldots$).
• Khối lượng một quả táo cân được trên cân nhà bếp: $150$ g.

(Các em có thể lấy ví dụ khác phù hợp.)

Luyện tập 1 (trang 74)

Đề bài: Gọi $P$ là chu vi của đường tròn bán kính $1$ cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của $P$.

Lời giải:

Công thức chu vi đường tròn: $P = 2\pi R = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ cm.

Vì $\pi$ là số vô tỉ (không thể viết chính xác bằng số thập phân), ta lấy giá trị gần đúng $\pi \approx 3{,}14$:

$$P \approx 2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28 \text{ (cm)}.$$

Vậy một giá trị gần đúng của $P$ là $6{,}28$ cm.

(Có thể chọn $\pi \approx 3{,}1416$ thì $P \approx 6{,}2832$ cm – càng nhiều chữ số thập phân càng chính xác.)

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

HĐ3 (trang 74)

Đề bài: Trong HĐ2, Hoà dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu $\overline{a}$ (cm³) là số đo thể tích của nước. Quan sát hình vẽ để so sánh $|13 – \overline{a}|$ và $|13{,}1 – \overline{a}|$ rồi cho biết trong hai số đo thể tích $13$ cm³ và $13{,}1$ cm³, số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.

Lời giải:

Quan sát qua kính lúp ở Hình 5.2: mực nước thực tế ở rất gần vạch $13{,}1$ (và cách xa vạch $13$).

Vậy:

$$|13{,}1 – \overline{a}| < |13 – \overline{a}|.$$

Do đó số đo $13{,}1$ cm³ gần với thể tích thực của cốc nước hơn.

Luyện tập 2 (trang 75)

Đề bài: Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là $5 \pm 0{,}3 \text{ μm}$. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?

Lời giải:

Theo cách viết $\overline{a} = a \pm d$, ta có:

• Số gần đúng: $a = 5$ μm.
• Độ chính xác: $d = 0{,}3$ μm.

Đường kính thực $\overline{a}$ thuộc đoạn $[a – d;; a + d]$:

$$\overline{a} \in [5 – 0{,}3;; 5 + 0{,}3] = [4{,}7;; 5{,}3] \text{ (μm)}.$$

HĐ4 (trang 75)

Đề bài: Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng mong muốn là $20$ kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là $20 \pm 0{,}5$ kg. Khẳng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là đúng hay sai?

Lời giải:

Lập bảng so sánh:

Nếu chỉ so sánh sai số tuyệt đối (độ chính xác), ta thấy $0{,}2 < 0{,}5$ nên dây chuyền A có sai số nhỏ hơn.

Tuy nhiên, bao gạo của dây chuyền B nặng hơn nhiều (gấp $4$ lần) bao gạo của dây chuyền A. So sánh kiểu này là không công bằng: cùng một sai số tuyệt đối thì ảnh hưởng đến bao càng nhẹ sẽ lớn hơn.

Vậy khẳng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là chưa chắc đúng. Để so sánh chính xác, ta phải dùng sai số tương đối (xem Luyện tập 3).

Luyện tập 3 (trang 76)

Đề bài: Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn?

Lời giải:

Áp dụng công thức $\delta_a \leq \dfrac{d}{|a|}$.

Dây chuyền A ($a = 5$ kg, $d = 0{,}2$ kg):

$$\delta_a \leq \dfrac{0{,}2}{5} = 0{,}04 = 4\%.$$

Dây chuyền B ($a = 20$ kg, $d = 0{,}5$ kg):

$$\delta_a \leq \dfrac{0{,}5}{20} = 0{,}025 = 2{,}5\%.$$

So sánh: $2{,}5\% < 4\%$, tức sai số tương đối của dây chuyền B nhỏ hơn.

Kết luận: Dây chuyền B tốt hơn dây chuyền A.

3. Quy tròn số gần đúng

Luyện tập 4 (trang 77)

Đề bài: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) $11\,251\,900 \pm 300$;

b) $18{,}2857 \pm 0{,}01$.

Lời giải:

Quy tắc: làm tròn số $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị của hàng đó.

a) $a = 11\,251\,900$, $d = 300$.

So sánh:

• $d = 300 < 1\,000$ ✓ → $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng nghìn.
• $d = 300$ không nhỏ hơn $100$ → $d$ không nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng trăm.

Vậy hàng thấp nhất là hàng nghìn. Làm tròn $11\,251\,900$ đến hàng nghìn:

• Chữ số hàng nghìn là $1$ (trong $11\,2\underline{51},900$, chữ số hàng nghìn là $1$).
• Chữ số ngay bên phải hàng nghìn là $9$ (trong số $11\,251,\underline{9}00$), $9 \geq 5$ → tăng $1$ đơn vị.

Số quy tròn: $\boxed{11\,252\,000}$.

b) $a = 18{,}2857$, $d = 0{,}01$.

So sánh:

• $d = 0{,}01 < 0{,}1$ ✓ → $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng phần mười.
• $d = 0{,}01$ không nhỏ hơn $0{,}01$ → $d$ không nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng phần trăm.

Vậy hàng thấp nhất là hàng phần mười. Làm tròn $18{,}2857$ đến hàng phần mười:

• Chữ số hàng phần mười là $2$.
• Chữ số ngay bên phải là $8$, $8 \geq 5$ → tăng $1$ đơn vị.

Số quy tròn: $\boxed{18{,}3}$.

Vận dụng (trang 77)

Đề bài: Các nhà vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả là: $13{,}807 \pm 0{,}026$ và $13{,}799 \pm 0{,}021$. Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?

Lời giải:

Áp dụng $\delta_a \leq \dfrac{d}{|a|}$.

Phương pháp 1 ($a_1 = 13{,}807$, $d_1 = 0{,}026$):

$$\delta_{a_1} \leq \dfrac{0{,}026}{13{,}807} \approx 0{,}00188 \approx 0{,}19\%.$$

Phương pháp 2 ($a_2 = 13{,}799$, $d_2 = 0{,}021$):

$$\delta_{a_2} \leq \dfrac{0{,}021}{13{,}799} \approx 0{,}00152 \approx 0{,}15\%.$$

So sánh: $0{,}15\% < 0{,}19\%$.

Kết luận: Phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.

Bài tập (trang 77)

Bài 5.1 (trang 77)

Đề bài: Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là $10{,}2$ kg;

b) Bán kính Trái Đất là $6\,371$ km;

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất $365$ ngày.

Lời giải:

Số gần đúng là số ta dùng thay cho số đúng (khi không biết hoặc khó biết số đúng).

• a) $10{,}2$ kg là kết quả của phép cân (phép đo), luôn có sai số → số gần đúng.
• b) $6\,371$ km là bán kính Trái Đất, nhưng Trái Đất không phải hình cầu lý tưởng và việc đo có sai số → số gần đúng.
• c) $365$ ngày: thực tế Trái Đất quay quanh Mặt Trời mất khoảng $365{,}25$ ngày, ta lấy $365$ ngày cho gọn → số gần đúng.

Vậy cả ba số đều là số gần đúng.

Bài 5.2 (trang 77)

Đề bài: Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là $1\,235 \pm 5$ m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Lời giải:

Giải thích: Kết quả $1\,235 \pm 5$ m có nghĩa:

• Số gần đúng (kết quả đo) là $a = 1\,235$ m.
• Độ chính xác là $d = 5$ m.
• Độ cao thực $\overline{a}$ thoả $\overline{a} \in [1\,235 – 5;; 1\,235 + 5] = [1\,230;; 1\,240]$ m.

Vậy độ cao thực của ngọn núi nằm trong khoảng từ $1\,230$ m đến $1\,240$ m.

Làm tròn: $d = 5$.

• $d = 5 < 10$ ✓ → $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng chục.
• $d = 5$ không nhỏ hơn $1$ → $d$ không nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng đơn vị.

Vậy ta làm tròn đến hàng chục:

• Chữ số hàng chục của $1\,235$ là $3$.
• Chữ số ngay bên phải là $5$, $5 \geq 5$ → tăng $1$ đơn vị.

Số quy tròn: $\boxed{1\,240}$ m.

Bài 5.3 (trang 77)

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác $0{,}0005$.

Lời giải:

Dùng máy tính cầm tay, ta có:

$$\sqrt[3]{7} = 1{,}9129311827\ldots$$

Áp dụng quy tắc làm tròn với $d = 0{,}0005$:

• $d = 0{,}0005 < 0{,}001$ ✓ → $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng phần nghìn.
• $d = 0{,}0005$ không nhỏ hơn $0{,}0001$ → không nhỏ hơn $1$ đơn vị hàng phần vạn.

Vậy làm tròn đến hàng phần nghìn:

• Chữ số hàng phần nghìn là $2$ (trong $1{,}91\underline{2}9\ldots$).
• Chữ số ngay bên phải là $9$, $9 \geq 5$ → tăng $1$ đơn vị.

Số quy tròn: $\sqrt[3]{7} \approx \boxed{1{,}913}$.

Bài 5.4 (trang 77)

Đề bài: Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau: $67{,}31 \pm 0{,}96$; $67{,}90 \pm 0{,}55$; $67{,}74 \pm 0{,}46$. Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Lời giải:

Áp dụng $\delta_a \leq \dfrac{d}{|a|}$ cho từng phương pháp:

Phương pháp 1 ($a_1 = 67{,}31$, $d_1 = 0{,}96$):

$$\delta_{a_1} \leq \dfrac{0{,}96}{67{,}31} \approx 0{,}01426 \approx 1{,}43\%.$$

Phương pháp 2 ($a_2 = 67{,}90$, $d_2 = 0{,}55$):

$$\delta_{a_2} \leq \dfrac{0{,}55}{67{,}90} \approx 0{,}00810 \approx 0{,}81\%.$$

Phương pháp 3 ($a_3 = 67{,}74$, $d_3 = 0{,}46$):

$$\delta_{a_3} \leq \dfrac{0{,}46}{67{,}74} \approx 0{,}00679 \approx 0{,}68\%.$$

So sánh: $0{,}68\% < 0{,}81\% < 1{,}43\%$.

Kết luận: Phương pháp thứ ba ($67{,}74 \pm 0{,}46$) chính xác nhất.

Bài 5.5 (trang 77)

Đề bài: An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính $2$ cm với hai kết quả như sau:

Kết quả của An: $S_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2 = 12{,}56$ cm;

Kết quả của Bình: $S_2 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}1 \cdot 2 = 12{,}4$ cm.

Hỏi:

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

Lời giải:

a) Vì $\pi$ là số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn), không thể viết chính xác bằng số thập phân hữu hạn. Cả An và Bình đều dùng giá trị gần đúng của $\pi$ ($3{,}14$ và $3{,}1$) để tính.

→ Cả hai giá trị $S_1 = 12{,}56$ cm và $S_2 = 12{,}4$ cm đều là số gần đúng của chu vi đường tròn.

b) Chu vi đúng là $S = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12{,}5664$ cm.

So sánh sai số tuyệt đối:

$$|S_1 – 4\pi| = |12{,}56 – 12{,}5664| \approx 0{,}0064 \text{ cm}.$$

$$|S_2 – 4\pi| = |12{,}4 – 12{,}5664| \approx 0{,}1664 \text{ cm}.$$

Vì $0{,}0064 < 0{,}1664$, kết quả của An ($S_1 = 12{,}56$ cm) chính xác hơn.

(Lý do: An lấy $\pi \approx 3{,}14$ – có $2$ chữ số thập phân chính xác, còn Bình lấy $\pi \approx 3{,}1$ – chỉ có $1$ chữ số thập phân chính xác.)

Bài 5.6 (trang 77)

Đề bài: Làm tròn số $8\,316{,}4$ đến hàng chục và $9{,}754$ đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Lời giải:

Số $8\,316{,}4$ làm tròn đến hàng chục:

• Chữ số hàng chục là $1$ (trong $8\,3\underline{1}6{,}4$).
• Chữ số ngay bên phải hàng chục là $6$, $6 \geq 5$ → tăng $1$ đơn vị: $31 \to 32$.
• Các chữ số sau hàng chục trở thành $0$, phần thập phân bỏ đi.

Số quy tròn: $8\,320$.

Sai số tuyệt đối: $|8\,316{,}4 – 8\,320| = 3{,}6$.

Số $9{,}754$ làm tròn đến hàng phần trăm:

• Chữ số hàng phần trăm là $5$ (trong $9{,}7\underline{5}4$).
• Chữ số ngay bên phải là $4$, $4 < 5$ → giữ nguyên.
• Bỏ đi chữ số $4$ ở hàng phần nghìn.

Số quy tròn: $9{,}75$.

Sai số tuyệt đối: $|9{,}754 – 9{,}75| = 0{,}004$.

Tóm tắt kết quả:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh