1. Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$

HĐ1 (trang 25)

Đề bài: Cho phương trình $\sqrt{x^2 – 3x + 2} = \sqrt{-x^2 – 2x + 2}$.

a) Bình phương hai vế phương trình để khử căn và giải phương trình nhận được.

b) Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế:

$$x^2 – 3x + 2 = -x^2 – 2x + 2 ;\Leftrightarrow; 2x^2 – x = 0 ;\Leftrightarrow; x(2x – 1) = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0 \text{ hoặc } x = \dfrac{1}{2}.$$

b) Thử lại bằng cách thay vào phương trình ban đầu:

Với $x = 0$: vế trái $= \sqrt{0 – 0 + 2} = \sqrt{2}$; vế phải $= \sqrt{0 – 0 + 2} = \sqrt{2}$. Hai vế bằng nhau → $x = 0$ là nghiệm.

Với $x = \dfrac{1}{2}$: vế trái $= \sqrt{\dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{2} + 2} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}$; vế phải $= \sqrt{-\dfrac{1}{4} – 1 + 2} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}$. Hai vế bằng nhau → $x = \dfrac{1}{2}$ là nghiệm.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x = 0$ và $x = \dfrac{1}{2}$.

Luyện tập 1 (trang 25)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2 – 6x + 1} = \sqrt{-2x^2 – 9x + 1}$;

b) $\sqrt{2x^2 – 3x – 5} = \sqrt{x^2 – 7}$.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế:

$$3x^2 – 6x + 1 = -2x^2 – 9x + 1 ;\Leftrightarrow; 5x^2 + 3x = 0 ;\Leftrightarrow; x(5x + 3) = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0 \text{ hoặc } x = -\dfrac{3}{5}.$$

Thử lại $x = 0$: trong căn $= 3 \cdot 0 – 0 + 1 = 1 \geq 0$ ✓. Vế trái $= \sqrt{1} = 1$, vế phải $= \sqrt{1} = 1$ → thoả mãn.

Thử lại $x = -\dfrac{3}{5}$: trong căn $= 3 \cdot \dfrac{9}{25} + \dfrac{18}{5} + 1 = \dfrac{27}{25} + \dfrac{90}{25} + \dfrac{25}{25} = \dfrac{142}{25} \geq 0$ ✓. Hai vế bằng nhau → thoả mãn.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x = 0$ và $x = -\dfrac{3}{5}$.

b) Bình phương hai vế:

$$2x^2 – 3x – 5 = x^2 – 7 ;\Leftrightarrow; x^2 – 3x + 2 = 0 ;\Leftrightarrow; x = 1 \text{ hoặc } x = 2.$$

Thử lại $x = 1$: biểu thức trong căn (vế trái) $= 2 – 3 – 5 = -6 < 0$ → căn không có nghĩa. Loại.

Thử lại $x = 2$: biểu thức trong căn (vế trái) $= 8 – 6 – 5 = -3 < 0$ → căn không có nghĩa. Loại.

Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

2. Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$

HĐ2 (trang 25)

Đề bài: Cho phương trình $\sqrt{26x^2 – 63x + 38} = 5x – 6$.

a) Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.

b) Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế:

$$26x^2 – 63x + 38 = (5x – 6)^2 = 25x^2 – 60x + 36 ;\Leftrightarrow; x^2 – 3x + 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow; x = 1 \text{ hoặc } x = 2.$$

b) Thử lại:

Với $x = 1$: vế trái $= \sqrt{26 – 63 + 38} = \sqrt{1} = 1$; vế phải $= 5 \cdot 1 – 6 = -1$. Hai vế khác nhau ($1 \neq -1$) → loại.

Với $x = 2$: vế trái $= \sqrt{104 – 126 + 38} = \sqrt{16} = 4$; vế phải $= 5 \cdot 2 – 6 = 4$. Hai vế bằng nhau → thoả mãn.

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$.

Lưu ý quan trọng: Khi giải dạng phương trình này, chỉ cần kiểm tra điều kiện $dx + e \geq 0$ (vế phải không âm) là đủ; nếu vế phải âm thì loại ngay không cần thay vào tính căn.

Luyện tập 2 (trang 26)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 – x$;

b) $\sqrt{3x^2 – 13x + 14} = x – 3$.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế:

$$2x^2 + x + 3 = (1 – x)^2 = 1 – 2x + x^2 ;\Leftrightarrow; x^2 + 3x + 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow; x = -1 \text{ hoặc } x = -2.$$

Thử lại $x = -1$: vế trái $= \sqrt{2 – 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$; vế phải $= 1 – (-1) = 2$. Thoả mãn.

Thử lại $x = -2$: vế trái $= \sqrt{8 – 2 + 3} = \sqrt{9} = 3$; vế phải $= 1 – (-2) = 3$. Thoả mãn.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x = -1$ và $x = -2$.

b) Bình phương hai vế:

$$3x^2 – 13x + 14 = (x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9 ;\Leftrightarrow; 2x^2 – 7x + 5 = 0.$$

Tính $\Delta = 49 – 40 = 9$, hai nghiệm: $x = \dfrac{7 + 3}{4} = \dfrac{5}{2}$ và $x = \dfrac{7 – 3}{4} = 1$.

Thử lại $x = \dfrac{5}{2}$: vế phải $= \dfrac{5}{2} – 3 = -\dfrac{1}{2} < 0$ → loại ngay (vế phải âm trong khi vế trái là căn không âm).

Thử lại $x = 1$: vế phải $= 1 – 3 = -2 < 0$ → loại.

Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

Vận dụng (trang 26)

Đề bài: Bác Việt sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển $4$ km. Hằng tuần bác chèo thuyền vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bính để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở thôn Hoành, bên bờ biển cách bến Bính $9{,}25$ km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bính bằng xe kéo. Bác Việt đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó giữa bến Bính và thôn Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Giả thiết rằng đường dọc bờ biển là thẳng và bác Việt cũng di chuyển theo một đường thẳng để tới điểm hẹn. Tìm vị trí hai người hẹn gặp, biết rằng vận tốc của anh Nam là $5$ km/h và của bác Việt là $4$ km/h.

Hướng dẫn: Gọi $M$ là điểm hẹn, đặt $BM = x$ (km) với $0 < x < 9{,}25$. Phương trình theo Hình 6.20:

$$\dfrac{\sqrt{x^2 + 16}}{4} = \dfrac{9{,}25 – x}{5}.$$

Lời giải:

Phương trình: $\dfrac{\sqrt{x^2 + 16}}{4} = \dfrac{9{,}25 – x}{5}$.

Bước 1: Quy đồng để loại mẫu.

Nhân chéo:

$$5\sqrt{x^2 + 16} = 4(9{,}25 – x) ;\Leftrightarrow; \sqrt{x^2 + 16} = \dfrac{4(9{,}25 – x)}{5} = \dfrac{37 – 4x}{5}.$$

Bước 2: Điều kiện vế phải không âm: $\dfrac{37 – 4x}{5} \geq 0 ;\Leftrightarrow; x \leq \dfrac{37}{4} = 9{,}25$. (Phù hợp với điều kiện thực tế.)

Bước 3: Bình phương hai vế:

$$x^2 + 16 = \dfrac{(37 – 4x)^2}{25} ;\Leftrightarrow; 25(x^2 + 16) = (37 – 4x)^2$$

$$\Leftrightarrow; 25x^2 + 400 = 1369 – 296x + 16x^2$$

$$\Leftrightarrow; 9x^2 + 296x – 969 = 0.$$

Tính $\Delta = 296^2 + 4 \cdot 9 \cdot 969 = 87\,616 + 34\,884 = 122\,500 = 350^2$. Hai nghiệm:

$$x = \dfrac{-296 + 350}{18} = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{-296 – 350}{18} = -\dfrac{323}{9} \approx -35{,}9.$$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện $0 < x < 9{,}25$. Loại $x \approx -35{,}9$. Còn $x = 3$ thoả mãn.

Kết luận: Điểm hẹn gặp nhau cách bến Bính $3$ km (về phía thôn Hoành).

Bài tập (trang 27)

Bài 6.20 (trang 27)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2 – 4x – 1} = \sqrt{2x^2 – 4x + 3}$;

b) $\sqrt{x^2 + 2x – 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}$;

c) $\sqrt{2x^2 + 3x – 3} = \sqrt{-x^2 – x + 1}$;

d) $\sqrt{-x^2 + 5x – 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}$.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế:

$$3x^2 – 4x – 1 = 2x^2 – 4x + 3 ;\Leftrightarrow; x^2 = 4 ;\Leftrightarrow; x = 2 \text{ hoặc } x = -2.$$

Thử $x = 2$: trong căn (trái) $= 12 – 8 – 1 = 3 \geq 0$ ✓ → thoả mãn.

Thử $x = -2$: trong căn (trái) $= 12 + 8 – 1 = 19 \geq 0$ ✓ → thoả mãn.

Nghiệm: $x = 2$ và $x = -2$.

b) Bình phương:

$$x^2 + 2x – 3 = -2x^2 + 5 ;\Leftrightarrow; 3x^2 + 2x – 8 = 0.$$

$\Delta’ = 1 + 24 = 25$, hai nghiệm $x = \dfrac{-1 + 5}{3} = \dfrac{4}{3}$ và $x = \dfrac{-1 – 5}{3} = -2$.

Thử $x = \dfrac{4}{3}$: trong căn (trái) $= \dfrac{16}{9} + \dfrac{8}{3} – 3 = \dfrac{16 + 24 – 27}{9} = \dfrac{13}{9} \geq 0$ ✓.

Thử $x = -2$: trong căn (trái) $= 4 – 4 – 3 = -3 < 0$ → loại.

Nghiệm: $x = \dfrac{4}{3}$.

c) Bình phương:

$$2x^2 + 3x – 3 = -x^2 – x + 1 ;\Leftrightarrow; 3x^2 + 4x – 4 = 0.$$

$\Delta’ = 4 + 12 = 16$, hai nghiệm $x = \dfrac{-2 + 4}{3} = \dfrac{2}{3}$ và $x = -2$.

Thử $x = \dfrac{2}{3}$: trong căn (trái) $= 2 \cdot \dfrac{4}{9} + 2 – 3 = \dfrac{8}{9} – 1 = -\dfrac{1}{9} < 0$ → loại.

Thử $x = -2$: trong căn (trái) $= 8 – 6 – 3 = -1 < 0$ → loại.

Phương trình vô nghiệm.

d) Bình phương:

$$-x^2 + 5x – 4 = -2x^2 + 4x + 2 ;\Leftrightarrow; x^2 + x – 6 = 0 ;\Leftrightarrow; x = 2 \text{ hoặc } x = -3.$$

Thử $x = 2$: trong căn (trái) $= -4 + 10 – 4 = 2 \geq 0$ ✓ → thoả mãn.

Thử $x = -3$: trong căn (trái) $= -9 – 15 – 4 = -28 < 0$ → loại.

Nghiệm: $x = 2$.

Bài 6.21 (trang 27)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$;

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 – x$;

c) $\sqrt{3x^2 – 17x + 23} = x – 3$;

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x – 2$.

Lời giải:

Lưu ý chung: Với dạng $\sqrt{\ldots} = dx + e$, chỉ cần kiểm tra điều kiện $dx + e \geq 0$ cho mỗi nghiệm tìm được.

a) Bình phương:

$$6x^2 + 13x + 13 = (2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16 ;\Leftrightarrow; 2x^2 – 3x – 3 = 0.$$

$\Delta = 9 + 24 = 33$, hai nghiệm $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Kiểm tra điều kiện $2x + 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$:

• $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{4} \approx 2{,}19 > -2$ ✓.
• $x_2 = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{4} \approx -0{,}69 > -2$ ✓.

Nghiệm: $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$.

b) Bình phương:

$$2x^2 + 5x + 3 = (-3 – x)^2 = x^2 + 6x + 9 ;\Leftrightarrow; x^2 – x – 6 = 0 ;\Leftrightarrow; x = 3 \text{ hoặc } x = -2.$$

Kiểm tra điều kiện $-3 – x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -3$:

• $x = 3$: $3 > -3$ → loại.
• $x = -2$: $-2 > -3$ → loại.

Phương trình vô nghiệm.

c) Bình phương:

$$3x^2 – 17x + 23 = (x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9 ;\Leftrightarrow; 2x^2 – 11x + 14 = 0.$$

$\Delta = 121 – 112 = 9$, hai nghiệm $x = \dfrac{11 + 3}{4} = \dfrac{7}{2}$ và $x = \dfrac{11 – 3}{4} = 2$.

Kiểm tra điều kiện $x – 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$:

• $x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5 \geq 3$ ✓.
• $x = 2 < 3$ → loại.

Nghiệm: $x = \dfrac{7}{2}$.

d) Bình phương:

$$-x^2 + 2x + 4 = (x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4 ;\Leftrightarrow; 2x^2 – 6x = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0 \text{ hoặc } x = 3.$$

Kiểm tra điều kiện $x – 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$:

• $x = 0 < 2$ → loại.
• $x = 3 \geq 2$ ✓.

Nghiệm: $x = 3$.

Bài 6.22 (trang 27)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$; $AB = 2$; $BC = 13$; $CD = 8$; $DA = 5$ (Hình 6.21). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và đặt $x = AH$. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài $x$, từ đó tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Lời giải:

Phân tích: Theo Hình 6.21, đường thẳng $AB$ và đường thẳng $CD$ vuông góc với nhau, cắt nhau tại $H$. $H$ nằm trên kéo dài của $BA$ (về phía $A$, tức $B – A – H$), và $H$ nằm bên $D$ trên đường thẳng $CD$ (tức $H – D – C$). Đặt $x = AH$ ($x > 0$).

Bước 1: Thiết lập phương trình theo $x$.

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$: $AH^2 + HD^2 = AD^2$

$$x^2 + HD^2 = 25 ;\Rightarrow; HD = \sqrt{25 – x^2}. \quad (1)$$

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$: cạnh $BH = BA + AH = 2 + x$ (do $B – A – H$), và $HC = HD + DC = HD + 8$ (do $H – D – C$). Áp dụng định lí Pythagore:

$$BH^2 + HC^2 = BC^2 ;\Leftrightarrow; (x + 2)^2 + (HD + 8)^2 = 169. \quad (2)$$

Thay $HD = \sqrt{25 – x^2}$ vào $(2)$:

$$(x + 2)^2 + \left(\sqrt{25 – x^2} + 8\right)^2 = 169.$$

Khai triển:

$$x^2 + 4x + 4 + (25 – x^2) + 16\sqrt{25 – x^2} + 64 = 169$$

$$\Leftrightarrow; 4x + 93 + 16\sqrt{25 – x^2} = 169$$

$$\Leftrightarrow; 16\sqrt{25 – x^2} = 76 – 4x$$

$$\Leftrightarrow; 4\sqrt{25 – x^2} = 19 – x. \quad (*)$$

Bước 2: Giải phương trình $(*)$.

Điều kiện: $25 – x^2 \geq 0$ và $19 – x \geq 0$, tức $0 < x \leq 5$.

Bình phương hai vế:

$$16(25 – x^2) = (19 – x)^2 ;\Leftrightarrow; 400 – 16x^2 = 361 – 38x + x^2$$

$$\Leftrightarrow; 17x^2 – 38x – 39 = 0.$$

$\Delta’ = 19^2 + 17 \cdot 39 = 361 + 663 = 1024 = 32^2$. Hai nghiệm:

$$x = \dfrac{19 + 32}{17} = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{19 – 32}{17} = -\dfrac{13}{17} < 0 ;(\text{loại}).$$

Vậy $x = AH = 3$.

Bước 3: Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Với $x = 3$: $HD = \sqrt{25 – 9} = 4$, $BH = 3 + 2 = 5$, $HC = 4 + 8 = 12$.

Tứ giác $ABCD$ thu được bằng cách lấy tam giác $BHC$ (vuông tại $H$) và bỏ đi tam giác $AHD$ (vuông tại $H$). Tức:

$$S_{ABCD} = S_{\triangle BHC} – S_{\triangle AHD} = \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot HC – \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot HD = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 – \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 30 – 6 = 24.$$

Kết luận: $x = 3$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $24$ (đơn vị diện tích).

Bài 6.23 (trang 27)

Đề bài: Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường một khoảng $50$ m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$, cách mình một đoạn $200$ m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là $5$ km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là $15$ km/h. Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Bước 1: Mô hình hoá.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống lề đường. Theo đề: $AH = 50$ m, $AB = 200$ m.

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$:

$$BH = \sqrt{AB^2 – AH^2} = \sqrt{200^2 – 50^2} = \sqrt{40\,000 – 2\,500} = \sqrt{37\,500} = 50\sqrt{15} \text{ (m).}$$

Đặt $HC = x$ (m), với $C$ nằm giữa $B$ và $H$ trên lề đường ($0 \leq x \leq 50\sqrt{15}$). Khi đó:

• Quãng đường Minh đi (từ $A$ đến $C$, đi chéo): $AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{2\,500 + x^2}$ (m).
• Quãng đường Hùng đi (từ $B$ đến $C$, dọc lề): $BC = BH – HC = 50\sqrt{15} – x$ (m).

Bước 2: Lập phương trình.

Để hai bạn không ai phải chờ, thời gian Minh đi bộ $=$ thời gian Hùng đạp xe:

$$\dfrac{AC}{v_{\text{Minh}}} = \dfrac{BC}{v_{\text{Hùng}}} ;\Leftrightarrow; \dfrac{AC}{5} = \dfrac{BC}{15} ;\Leftrightarrow; 3 \cdot AC = BC.$$

Thay vào:

$$3\sqrt{2\,500 + x^2} = 50\sqrt{15} – x. \quad (*)$$

Bước 3: Giải phương trình $(*)$.

Điều kiện: vế phải không âm, tức $x \leq 50\sqrt{15} \approx 193{,}65$ m.

Bình phương hai vế:

$$9(2\,500 + x^2) = \left(50\sqrt{15} – x\right)^2 = 37\,500 – 100x\sqrt{15} + x^2$$

$$\Leftrightarrow; 22\,500 + 9x^2 = 37\,500 – 100x\sqrt{15} + x^2$$

$$\Leftrightarrow; 8x^2 + 100x\sqrt{15} – 15\,000 = 0$$

$$\Leftrightarrow; 2x^2 + 25x\sqrt{15} – 3\,750 = 0.$$

Tính $\Delta = (25\sqrt{15})^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3\,750 = 9\,375 + 30\,000 = 39\,375$.

$\sqrt{39\,375} = \sqrt{625 \cdot 63} = 25\sqrt{63} = 75\sqrt{7}$.

Hai nghiệm:

$$x = \dfrac{-25\sqrt{15} + 75\sqrt{7}}{4} \approx \dfrac{-96{,}82 + 198{,}43}{4} \approx 25{,}4 \text{ (m)},$$

$$x = \dfrac{-25\sqrt{15} – 75\sqrt{7}}{4} < 0 ;(\text{loại}).$$

Bước 4: Kết luận.

Vị trí $C$ nằm trên lề đường, cách chân đường vuông góc $H$ một khoảng $HC \approx 25{,}4$ m (về phía $B$).

(Khi đó: $BC = 50\sqrt{15} – 25{,}4 \approx 168{,}2$ m và $AC \approx 56{,}1$ m. Kiểm tra: $\dfrac{56{,}1}{5} \approx \dfrac{168{,}2}{15} \approx 11{,}2$ phút – hai bạn đến $C$ cùng lúc.)

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh