A – Trắc nghiệm

Bài 6.24 (trang 28)

Đề bài: Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\sqrt{x – 2}}$ là:

A. $D = [2;;+\infty)$. B. $D = (2;;+\infty)$. C. $D = \mathbb{R} \setminus {2}$. D. $D = \mathbb{R}$.

Lời giải:

Biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{x – 2}}$ có nghĩa khi:

• $x – 2 \geq 0$ (để căn có nghĩa) và
• $\sqrt{x – 2} \neq 0$ (để mẫu khác $0$).

Kết hợp: $x – 2 > 0 ;\Leftrightarrow; x > 2$.

Vậy $D = (2;;+\infty)$. Chọn B.

Bài 6.25 (trang 28)

Đề bài: Parabol $y = -x^2 + 2x + 3$ có đỉnh là:

A. $I(-1;;0)$. B. $I(3;;0)$. C. $I(0;;3)$. D. $I(1;;4)$.

Lời giải:

Với $a = -1,; b = 2,; c = 3$:

$$x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{-2} = 1; \quad y_I = -1 + 2 + 3 = 4.$$

Đỉnh là $I(1;; 4)$. Chọn D.

Bài 6.26 (trang 28)

Đề bài: Hàm số $y = x^2 – 5x + 4$:

A. Đồng biến trên khoảng $(1;;+\infty)$.
B. Đồng biến trên khoảng $(-\infty;;4)$.
C. Nghịch biến trên khoảng $(-\infty;;1)$.
D. Nghịch biến trên khoảng $(1;;4)$.

Lời giải:

Hàm số có $a = 1 > 0$, hoành độ đỉnh $x_I = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Theo định lí dấu:

• Nghịch biến trên $\left(-\infty;; \dfrac{5}{2}\right)$.
• Đồng biến trên $\left(\dfrac{5}{2};;+\infty\right)$.

Xét từng phương án:

• A: $(1;;+\infty)$ chứa cả phần nghịch biến (từ $1$ đến $\dfrac{5}{2}$) → SAI.
• B: $(-\infty;;4)$ chứa cả phần đồng biến (từ $\dfrac{5}{2}$ đến $4$) → SAI.
• C: $(-\infty;;1)$ là tập con của $\left(-\infty;; \dfrac{5}{2}\right)$ → hàm nghịch biến trên đó → ĐÚNG.
• D: $(1;;4)$ chứa cả phần đồng biến → SAI.

Chọn C.

Bài 6.27 (trang 28)

Đề bài: Bất phương trình $x^2 – 2mx + 4 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi:

A. $m = -1$. B. $m = -2$. C. $m = 2$. D. $m > 2$.

Lời giải:

Hệ số $a = 1 > 0$ (đã đảm bảo). Để tam thức dương với mọi $x$, cần $\Delta’ < 0$:

$$\Delta’ = m^2 – 4 < 0 ;\Leftrightarrow; -2 < m < 2.$$

Kiểm tra từng phương án:

• A: $m = -1 \in (-2;;2)$ → ĐÚNG.
• B: $m = -2$ không thuộc $(-2;;2)$ → SAI.
• C: $m = 2$ không thuộc $(-2;;2)$ → SAI.
• D: $m > 2$ → SAI.

Chọn A.

Bài 6.28 (trang 28)

Đề bài: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 – 3} = x – 1$ là:

A. ${-1 – \sqrt{5};; -1 + \sqrt{5}}$. B. ${-1 – \sqrt{5}}$. C. ${-1 + \sqrt{5}}$. D. $\varnothing$.

Lời giải:

Bình phương hai vế:

$$2x^2 – 3 = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1 ;\Leftrightarrow; x^2 + 2x – 4 = 0.$$

$\Delta’ = 1 + 4 = 5$, hai nghiệm $x = -1 \pm \sqrt{5}$.

Kiểm tra điều kiện vế phải $x – 1 \geq 0 ;\Leftrightarrow; x \geq 1$:

• $x = -1 + \sqrt{5} \approx 1{,}24 \geq 1$ ✓.
• $x = -1 – \sqrt{5} \approx -3{,}24 < 1$ → loại.

Chọn C.

B – Tự luận

Bài 6.29 (trang 28)

Đề bài: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{2x – 1} + \sqrt{5 – x}$;

b) $y = \dfrac{1}{\sqrt{x – 1}}$.

Lời giải:

a) Biểu thức $\sqrt{2x – 1} + \sqrt{5 – x}$ có nghĩa khi cả hai căn đều có nghĩa:

$$\begin{cases} 2x – 1 \geq 0 \\ 5 – x \geq 0 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x \geq \dfrac{1}{2} \\ x \leq 5 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \dfrac{1}{2} \leq x \leq 5.$$

Vậy $D = \left[\dfrac{1}{2};; 5\right]$.

b) Biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{x – 1}}$ có nghĩa khi $x – 1 > 0$ (vừa để căn có nghĩa, vừa để mẫu khác $0$), tức $x > 1$.

Vậy $D = (1;;+\infty)$.

Bài 6.30 (trang 28)

Đề bài: Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) $y = -x^2 + 6x – 9$;
b) $y = -x^2 – 4x + 1$;
c) $y = x^2 + 4x$;
d) $y = 2x^2 + 2x + 1$.

Lời giải:

a) $y = -x^2 + 6x – 9 = -(x – 3)^2$:

• $a = -1 < 0$ → parabol mở xuống.
• Đỉnh $I(3;; 0)$, trục đối xứng $x = 3$.
• Giao $Oy$: $(0;; -9)$.
• Vì $a < 0$, $y_I = 0$ là giá trị lớn nhất → tập giá trị $(-\infty;; 0]$.
• Đồng biến trên $(-\infty;; 3)$, nghịch biến trên $(3;;+\infty)$.

b) $y = -x^2 – 4x + 1$:

• $a = -1 < 0$, đỉnh: $x_I = -\dfrac{-4}{-2} = -2,; y_I = -4 + 8 + 1 = 5$.
• Đỉnh $I(-2;; 5)$, trục đối xứng $x = -2$, parabol mở xuống.
• Giao $Oy$: $(0;; 1)$.
• Tập giá trị: $(-\infty;; 5]$.
• Đồng biến trên $(-\infty;; -2)$, nghịch biến trên $(-2;;+\infty)$.

c) $y = x^2 + 4x = (x + 2)^2 – 4$:

• $a = 1 > 0$, đỉnh $I(-2;; -4)$, trục đối xứng $x = -2$, parabol mở lên.
• Giao $Oy$: $(0;; 0)$; giao $Ox$: $x = 0$ hoặc $x = -4$.
• Tập giá trị: $[-4;;+\infty)$.
• Nghịch biến trên $(-\infty;; -2)$, đồng biến trên $(-2;;+\infty)$.

d) $y = 2x^2 + 2x + 1$:

• $a = 2 > 0$, đỉnh: $x_I = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2},; y_I = 2 \cdot \dfrac{1}{4} – 1 + 1 = \dfrac{1}{2}$.
• Đỉnh $I\left(-\dfrac{1}{2};; \dfrac{1}{2}\right)$, trục đối xứng $x = -\dfrac{1}{2}$, parabol mở lên.
• $\Delta = 4 – 8 = -4 < 0$ → không cắt $Ox$. Giao $Oy$: $(0;; 1)$.
• Tập giá trị: $\left[\dfrac{1}{2};;+\infty\right)$.
• Nghịch biến trên $\left(-\infty;; -\dfrac{1}{2}\right)$, đồng biến trên $\left(-\dfrac{1}{2};;+\infty\right)$.

Bài 6.31 (trang 28)

Đề bài: Xác định parabol $(P): y = ax^2 + bx + 3$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;; 1)$ và $B(-1;; 0)$;

b) $(P)$ đi qua điểm $M(1;; 2)$ và nhận đường thẳng $x = 1$ làm trục đối xứng;

c) $(P)$ có đỉnh là $I(1;; 4)$.

Lời giải:

a) Thay tọa độ hai điểm:

• $A(1; 1)$: $a + b + 3 = 1 ;\Rightarrow; a + b = -2$. $(1)$
• $B(-1; 0)$: $a – b + 3 = 0 ;\Rightarrow; a – b = -3$. $(2)$

Cộng $(1)$ và $(2)$: $2a = -5 ;\Rightarrow; a = -\dfrac{5}{2}$. Thay vào $(1)$: $b = -2 – a = -2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}$.

Parabol: $y = -\dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x + 3$.

b) Trục đối xứng $x = 1$: $-\dfrac{b}{2a} = 1 ;\Rightarrow; b = -2a$. $(*)$

$M(1; 2)$: $a + b + 3 = 2 ;\Rightarrow; a + b = -1$.

Thay $(*)$: $a – 2a = -1 ;\Rightarrow; a = 1,; b = -2$.

Parabol: $y = x^2 – 2x + 3$.

c) Đỉnh $I(1; 4)$:

• Hoành độ đỉnh: $-\dfrac{b}{2a} = 1 ;\Rightarrow; b = -2a$.
• $y(1) = 4$: $a + b + 3 = 4 ;\Rightarrow; a + b = 1 ;\Rightarrow; a – 2a = 1 ;\Rightarrow; a = -1,; b = 2$.

Parabol: $y = -x^2 + 2x + 3$.

Bài 6.32 (trang 28)

Đề bài: Giải các bất phương trình sau:

a) $2x^2 – 3x + 1 > 0$;
b) $x^2 + 5x + 4 < 0$;
c) $-3x^2 + 12x – 12 \geq 0$;
d) $2x^2 + 2x + 1 < 0$.

Lời giải:

a) $2x^2 – 3x + 1 > 0$:

Xét $f(x) = 2x^2 – 3x + 1$ với $a = 2 > 0,; \Delta = 9 – 8 = 1 > 0$. Hai nghiệm: $x = \dfrac{3 + 1}{4} = 1$ và $x = \dfrac{3 – 1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Vì $a > 0$, $f(x) > 0$ khi $x < \dfrac{1}{2}$ hoặc $x > 1$.

Tập nghiệm: $S = \left(-\infty;; \dfrac{1}{2}\right) \cup (1;;+\infty)$.

b) $x^2 + 5x + 4 < 0$:

Xét $f(x) = x^2 + 5x + 4$ với $a = 1 > 0,; \Delta = 25 – 16 = 9 > 0$. Hai nghiệm: $x = -1$ và $x = -4$.

$f(x) < 0$ khi $-4 < x < -1$.

Tập nghiệm: $S = (-4;; -1)$.

c) $-3x^2 + 12x – 12 \geq 0$:

Xét $f(x) = -3x^2 + 12x – 12 = -3(x^2 – 4x + 4) = -3(x – 2)^2$.

Vì $(x – 2)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $-3(x – 2)^2 \leq 0$ với mọi $x$. Dấu “$=$” xảy ra khi $(x – 2)^2 = 0$, tức $x = 2$.

Vậy $f(x) \geq 0$ chỉ tại $x = 2$.

Tập nghiệm: $S = {2}$.

d) $2x^2 + 2x + 1 < 0$:

Xét $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ với $a = 2 > 0,; \Delta = 4 – 8 = -4 < 0$.

Theo định lí dấu, $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy $f(x) < 0$ không có nghiệm.

Tập nghiệm: $S = \varnothing$.

Bài 6.33 (trang 29)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2 – 14} = x – 1$;

b) $\sqrt{-x^2 – 5x + 2} = \sqrt{x^2 – 2x – 3}$.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế:

$$2x^2 – 14 = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1 ;\Leftrightarrow; x^2 + 2x – 15 = 0$$

$$\Leftrightarrow; x = 3 \text{ hoặc } x = -5.$$

Kiểm tra điều kiện $x – 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$:

• $x = 3 \geq 1$ ✓.
• $x = -5 < 1$ → loại.

Nghiệm: $x = 3$.

b) Bình phương hai vế:

$$-x^2 – 5x + 2 = x^2 – 2x – 3 ;\Leftrightarrow; 2x^2 + 3x – 5 = 0 ;\Leftrightarrow; x = 1 \text{ hoặc } x = -\dfrac{5}{2}.$$

Thử lại bằng cách kiểm tra biểu thức trong căn ≥ 0:

• $x = 1$: vế trái có $-1 – 5 + 2 = -4 < 0$ → căn không có nghĩa, loại.
• $x = -\dfrac{5}{2}$: vế trái có $-\dfrac{25}{4} + \dfrac{25}{2} + 2 = -\dfrac{25}{4} + \dfrac{50}{4} + \dfrac{8}{4} = \dfrac{33}{4} > 0$ ✓.

Nghiệm: $x = -\dfrac{5}{2}$.

Bài 6.34 (trang 29)

Đề bài: Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm $2018$. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp $2018$ và $2019$ lần lượt là $3{,}2$ nghìn và $4$ nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng $10$ năm kể từ năm $2018$, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được mô tả bởi một hàm số bậc hai.

Giả sử $t$ là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm $2018$. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm $2018$ và năm $2019$ lần lượt được biểu diễn bởi các điểm $(0;; 3{,}2)$ và $(1;; 4)$. Giả sử điểm $(0;; 3{,}2)$ là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.

a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.

b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm $2024$.

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức $52$ nghìn chiếc?

Lời giải:

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là $y = at^2 + bt + c$ (với $y$ là số lượng máy tính bán được, đơn vị nghìn chiếc; $t$ là số năm tính từ $2018$).

a) Lập công thức:

Đỉnh tại $(0;; 3{,}2)$: hoành độ đỉnh $-\dfrac{b}{2a} = 0 ;\Rightarrow; b = 0$. Tung độ đỉnh $y(0) = c = 3{,}2$.

Điểm $(1;; 4)$ thuộc đồ thị: $a \cdot 1 + b \cdot 1 + c = 4$. Thay $b = 0,; c = 3{,}2$:

$$a + 3{,}2 = 4 ;\Leftrightarrow; a = 0{,}8.$$

Vậy hàm số là:

$$y = 0{,}8t^2 + 3{,}2 \quad (\text{với } 0 \leq t \leq 10).$$

b) Năm 2024: Tương ứng $t = 2024 – 2018 = 6$.

$$y(6) = 0{,}8 \cdot 36 + 3{,}2 = 28{,}8 + 3{,}2 = 32 \text{ (nghìn chiếc).}$$

Vậy năm $2024$, công ty bán được $32$ nghìn chiếc máy tính.

c) Tìm năm để $y > 52$:

$$0{,}8 t^2 + 3{,}2 > 52 ;\Leftrightarrow; 0{,}8 t^2 > 48{,}8 ;\Leftrightarrow; t^2 > 61.$$

Vì $t \geq 0$, ta có $t > \sqrt{61} \approx 7{,}81$.

Vì $t$ là số nguyên (số năm), $t$ nhỏ nhất thoả mãn là $t = 8$.

Kiểm tra:

• $t = 7$: $y(7) = 0{,}8 \cdot 49 + 3{,}2 = 39{,}2 + 3{,}2 = 42{,}4 < 52$ (chưa đạt).
• $t = 8$: $y(8) = 0{,}8 \cdot 64 + 3{,}2 = 51{,}2 + 3{,}2 = 54{,}4 > 52$ ✓.

Vậy năm tương ứng là $2018 + 8 = 2026$. Đến năm $2026$, số lượng máy tính bán được trong năm sẽ vượt mức $52$ nghìn chiếc.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh