1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐ1 (trang 31)

Đề bài: Cho vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ và điểm $A$. Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\vec{n}$.

Lời giải:

Điểm $A$ luôn thoả mãn ($\overrightarrow{AA} = \vec{0}$, vuông góc với mọi vectơ).

Với mỗi điểm $M \neq A$, vectơ $\overrightarrow{AM}$ có giá là đường thẳng $AM$. Để $\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}$ thì đường thẳng $AM$ phải vuông góc với giá của $\vec{n}$.

Vậy tập hợp những điểm $M$ thoả mãn là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với giá của $\vec{n}$.

HĐ2 (trang 31)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;;b)$. Chứng minh rằng điểm $M(x;;y)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi:

$$a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0. \quad (1)$$

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AM} = (x – x_0;; y – y_0)$.

Theo HĐ1, điểm $M$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}$, tức là tích vô hướng bằng $0$:

$$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 ;\Leftrightarrow; a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0.$$

Đó chính là phương trình $(1)$. (đpcm)

Luyện tập 1 (trang 32)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh $A(-1;;5)$, $B(2;;3)$, $C(6;;1)$. Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với cạnh $BC$, nên nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

$$\overrightarrow{BC} = (6 – 2;; 1 – 3) = (4;; -2).$$

Để gọn, chọn vectơ pháp tuyến rút gọn: $\vec{n} = (2;; -1)$ (cùng phương với $\overrightarrow{BC}$).

Phương trình đường cao đi qua $A(-1;;5)$, nhận $\vec{n}(2;;-1)$ làm pháp tuyến:

$$2(x – (-1)) – 1(y – 5) = 0 ;\Leftrightarrow; 2x + 2 – y + 5 = 0 ;\Leftrightarrow; 2x – y + 7 = 0.$$

Kết luận: Phương trình đường cao kẻ từ $A$ là $2x – y + 7 = 0$.

Luyện tập 2 (trang 32)

Đề bài: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta: y = 3x + 4$.

Lời giải:

Chuyển về dạng tổng quát: $y = 3x + 4 ;\Leftrightarrow; 3x – y + 4 = 0$.

So sánh với dạng $ax + by + c = 0$, ta có $a = 3,; b = -1$. Vậy một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n} = (3;; -1)$.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ3 (trang 32)

Đề bài: Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng $\vec{v}$ và đi qua $A$ thì nó di chuyển trên đường nào?

Lời giải:

Quỹ đạo của vật là đường thẳng đi qua $A$ và có giá song song (hoặc trùng) với vectơ vận tốc $\vec{v}$. Theo Hình 7.2a, đó là đường thẳng $\Delta_1$.

HĐ4 (trang 33)

Đề bài: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng $Oxy$. Vật thể khởi hành từ $A(2;;1)$ và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\vec{v}(3;;4)$.

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm $t$ ($t > 0$) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có toạ độ là $(2 + 3t;;1 + 4t)$.

Lời giải:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm $A(2;;1)$ và có vectơ chỉ phương là vectơ vận tốc $\vec{v}(3;;4)$.

b) Gọi $M(x;;y)$ là vị trí của vật tại thời điểm $t$.

Trong chuyển động thẳng đều, độ dời sau thời gian $t$ là $\overrightarrow{AM} = t\cdot\vec{v}$.

Tính theo từng thành phần:

$$\overrightarrow{AM} = (x – 2;; y – 1) = t\cdot(3;;4) = (3t;;4t).$$

Suy ra:

$$\begin{cases} x – 2 = 3t \\ y – 1 = 4t \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 + 4t \end{cases}.$$

Vậy tại thời điểm $t$, vật thể ở vị trí có toạ độ $(2 + 3t;; 1 + 4t)$. (đpcm)

Luyện tập 3 (trang 33)

Đề bài: Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta: 2x – y + 1 = 0$.

Lời giải:

Từ $\Delta: 2x – y + 1 = 0$, một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(2;;-1)$.

Theo nhận xét trong SGK: nếu $\vec{n}(a;;b)$ là pháp tuyến thì $\vec{u}(-b;;a)$ (hoặc $\vec{u}(b;;-a)$) là vectơ chỉ phương.

Với $\vec{n}(2;;-1)$ (tức $a = 2,; b = -1$), một vectơ chỉ phương là:

$$\vec{u} = (-b;;a) = (1;;2).$$

Luyện tập 4 (trang 33)

Đề bài: Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1;;2)$ và song song với đường thẳng $d: 3x – 4y – 1 = 0$.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có pháp tuyến $\vec{n}_d(3;;-4)$, nên có chỉ phương $\vec{u}_d(4;;3)$.

Vì $\Delta$ song song với $d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{u}_d(4;;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của $\Delta$ qua $M(-1;;2)$, chỉ phương $(4;;3)$:

$$\begin{cases} x = -1 + 4t \\ y = 2 + 3t \end{cases}.$$

Luyện tập 5 (trang 33)

Đề bài: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_1;;y_1)$, $B(x_2;;y_2)$ cho trước.

Lời giải:

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB} = (x_2 – x_1;; y_2 – y_1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số (qua $A$, chỉ phương $\overrightarrow{AB}$):

$$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 – x_1)\,t \\ y = y_1 + (y_2 – y_1)\,t \end{cases}.$$

Phương trình tổng quát: Vì $\vec{u}(a;;b)$ là chỉ phương thì $\vec{n}(b;;-a)$ là pháp tuyến. Với $\vec{u} = (x_2 – x_1;; y_2 – y_1)$, lấy pháp tuyến:

$$\vec{n} = (y_2 – y_1;; -(x_2 – x_1)) = (y_2 – y_1;; x_1 – x_2).$$

Phương trình tổng quát qua $A(x_1;;y_1)$:

$$(y_2 – y_1)(x – x_1) – (x_2 – x_1)(y – y_1) = 0.$$

Vận dụng (trang 34)

Đề bài: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ $\text{C}$ (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ $\text{F}$ (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:

• Nước đóng băng ở $0,^\circ\text{C}$, $32,^\circ\text{F}$;
• Nước sôi ở $100,^\circ\text{C}$, $212,^\circ\text{F}$.

Trong quy đổi đó, nếu $a,^\circ\text{C}$ tương ứng với $b,^\circ\text{F}$ thì trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(a;;b)$ thuộc đường thẳng đi qua $A(0;;32)$ và $B(100;;212)$. Hỏi $0,^\circ\text{F}$, $100,^\circ\text{F}$ tương ứng với bao nhiêu độ $\text{C}$?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng $AB$.

Đường thẳng đi qua $A(0;;32)$ và $B(100;;212)$ có vectơ chỉ phương:

$$\overrightarrow{AB} = (100;; 180).$$

Rút gọn: chia cho $20$ được $\vec{u}(5;;9)$. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}(9;;-5)$.

Phương trình tổng quát qua $A(0;;32)$:

$$9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 ;\Leftrightarrow; 9x – 5y + 160 = 0.$$

Với điểm $M(a;;b)$, ta có quan hệ: $9a – 5b + 160 = 0$.

Bước 2: Tính nhiệt độ.

Với $b = 0$ (tức $0,^\circ\text{F}$): $9a – 0 + 160 = 0 ;\Leftrightarrow; a = -\dfrac{160}{9} \approx -17{,}78,^\circ\text{C}$.

Với $b = 100$ (tức $100,^\circ\text{F}$): $9a – 500 + 160 = 0 ;\Leftrightarrow; 9a = 340 ;\Leftrightarrow; a = \dfrac{340}{9} \approx 37{,}78,^\circ\text{C}$.

Kết luận:

• $0,^\circ\text{F}$ tương ứng với $-\dfrac{160}{9} \approx -17{,}78,^\circ\text{C}$.
• $100,^\circ\text{F}$ tương ứng với $\dfrac{340}{9} \approx 37{,}78,^\circ\text{C}$.

Bài tập (trang 34 – 35)

Bài 7.1 (trang 34)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho $\vec{n} = (2;;1)$, $\vec{v} = (3;;2)$, $A(1;;3)$, $B(-2;;1)$.

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.

Lời giải:

a) $\Delta_1$ qua $A(1;;3)$, pháp tuyến $\vec{n}(2;;1)$:

$$2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 ;\Leftrightarrow; 2x + y – 5 = 0.$$

b) $\Delta_2$ qua $B(-2;;1)$, chỉ phương $\vec{v}(3;;2)$:

$$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases}.$$

c) Đường thẳng $AB$ có $\overrightarrow{AB} = (-2 – 1;; 1 – 3) = (-3;;-2)$ làm vectơ chỉ phương. Lấy điểm đi qua là $A(1;;3)$:

$$\begin{cases} x = 1 – 3t \\ y = 3 – 2t \end{cases}.$$

Bài 7.2 (trang 34)

Đề bài: Lập phương trình tổng quát của các trục toạ độ.

Lời giải:

• Trục $Ox$: là đường thẳng đi qua $O(0;;0)$ và chứa mọi điểm có tung độ bằng $0$. Phương trình: $y = 0$.
• Trục $Oy$: là đường thẳng đi qua $O(0;;0)$ và chứa mọi điểm có hoành độ bằng $0$. Phương trình: $x = 0$.

Bài 7.3 (trang 34)

Đề bài: Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$ và $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$.

a) Lập phương trình tổng quát của $\Delta_1$.

b) Lập phương trình tham số của $\Delta_2$.

Lời giải:

a) $\Delta_1$: Từ phương trình tham số, ta có điểm $A(1;;3)$ thuộc $\Delta_1$ (cho $t = 0$) và vectơ chỉ phương $\vec{u}(2;;5)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (5;;-2)$.

Phương trình tổng quát:

$$5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 ;\Leftrightarrow; 5x – 2y + 1 = 0.$$

b) $\Delta_2$: $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$ có pháp tuyến $\vec{n}(2;;3)$, suy ra chỉ phương $\vec{u}(3;;-2)$.

Tìm một điểm thuộc $\Delta_2$: cho $x = 1$ thì $2 + 3y – 5 = 0 \Rightarrow y = 1$. Vậy $B(1;;1) \in \Delta_2$.

Phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 – 2t \end{cases}.$$

Bài 7.4 (trang 34)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1;;2)$, $B(3;;0)$ và $C(-2;;-1)$.

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.

Lời giải:

a) Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}$ làm pháp tuyến.

$$\overrightarrow{BC} = (-2 – 3;; -1 – 0) = (-5;;-1).$$

Để gọn, lấy pháp tuyến $\vec{n}(5;;1)$ (cùng phương).

Phương trình đường cao qua $A(1;;2)$:

$$5(x – 1) + 1(y – 2) = 0 ;\Leftrightarrow; 5x + y – 7 = 0.$$

b) Đường trung tuyến kẻ từ $B$ đi qua $B$ và trung điểm $M$ của $AC$.

Trung điểm $M$ của $AC$: $M\left(\dfrac{1 + (-2)}{2};; \dfrac{2 + (-1)}{2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2};; \dfrac{1}{2}\right)$.

Vectơ chỉ phương của đường trung tuyến:

$$\overrightarrow{BM} = \left(-\dfrac{1}{2} – 3;; \dfrac{1}{2} – 0\right) = \left(-\dfrac{7}{2};; \dfrac{1}{2}\right).$$

Để gọn, nhân $-2$ ta được $\vec{u}(7;;-1)$ là chỉ phương; suy ra pháp tuyến $\vec{n}(1;;7)$.

Phương trình tổng quát qua $B(3;;0)$:

$$1(x – 3) + 7(y – 0) = 0 ;\Leftrightarrow; x + 7y – 3 = 0.$$

Bài 7.5 (trang 34)

Đề bài: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A(a;;0)$, $B(0;;b)$ với $ab \neq 0$ (Hình 7.3) có phương trình là:

$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1.$$

Lời giải:

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương:

$$\overrightarrow{AB} = (0 – a;; b – 0) = (-a;;b).$$

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (b;;a)$.

Phương trình tổng quát qua $A(a;;0)$:

$$b(x – a) + a(y – 0) = 0 ;\Leftrightarrow; bx + ay – ab = 0 ;\Leftrightarrow; bx + ay = ab.$$

Vì $ab \neq 0$, chia cả hai vế cho $ab$:

$$\dfrac{bx}{ab} + \dfrac{ay}{ab} = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1. \quad \text{(đpcm)}$$

Bài 7.6 (trang 34 – 35)

Đề bài: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ $21{,}2^\circ$ Bắc, kinh độ $105{,}8^\circ$ Đông; sân bay Đà Nẵng có vĩ độ $16{,}1^\circ$ Bắc, kinh độ $108{,}2^\circ$ Đông. Một máy bay bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm $t$ giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ $x^\circ$ Bắc, kinh độ $y^\circ$ Đông được tính theo công thức:

$$\begin{cases} x = 21{,}2 – \dfrac{153}{40}\,t \\ y = 105{,}8 + \dfrac{9}{5}\,t. \end{cases}$$

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm $1$ giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến $17$ ($17^\circ$ Bắc) chưa?

Lời giải:

a) Thời gian bay:

Khi máy bay đến sân bay Đà Nẵng, vĩ độ $x = 16{,}1$ và kinh độ $y = 108{,}2$.

Dùng phương trình thứ nhất:

$$21{,}2 – \dfrac{153}{40},t = 16{,}1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{153}{40},t = 21{,}2 – 16{,}1 = 5{,}1 ;\Leftrightarrow; t = 5{,}1 \cdot \dfrac{40}{153} = \dfrac{204}{153} = \dfrac{4}{3} \text{ (giờ).}$$

Kiểm tra bằng phương trình thứ hai:

$$105{,}8 + \dfrac{9}{5},t = 108{,}2 ;\Leftrightarrow; \dfrac{9}{5},t = 2{,}4 ;\Leftrightarrow; t = 2{,}4 \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3} \text{ (giờ).} ;\checkmark$$

Vậy chuyến bay mất $\dfrac{4}{3}$ giờ $= 1$ giờ $20$ phút.

b) Tại $t = 1$ giờ:

$$x(1) = 21{,}2 – \dfrac{153}{40} \cdot 1 = 21{,}2 – 3{,}825 = 17{,}375.$$

Vĩ độ tại $t = 1$ là $17{,}375^\circ$ Bắc.

Vì máy bay bay từ vĩ độ cao ($21{,}2^\circ$) xuống vĩ độ thấp ($16{,}1^\circ$), nên máy bay “bay qua vĩ tuyến $17$” khi $x \leq 17$.

Tại $t = 1$: $x = 17{,}375 > 17$ → máy bay chưa bay qua vĩ tuyến $17$.

(Nếu cần, có thể tính thời điểm máy bay qua vĩ tuyến $17$: giải $21{,}2 – \dfrac{153}{40}t = 17$ được $t = \dfrac{56}{51} \approx 1{,}098$ giờ, tức khoảng $1$ giờ $6$ phút.)

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh