Mở đầu trang 72

Đề bài: Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.$$

Quan sát các đơn thức ở vế phải, hãy nhận xét về quy luật số mũ của $a$ và $b$. Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển $(a + b)^n$ khi $n \in {4;; 5}$ không?

Lời giải:

Quy luật về số mũ: Trong mỗi đơn thức, tổng số mũ của $a$ và $b$ luôn bằng $n$. Số mũ của $a$ giảm dần từ $n$ về $0$, đồng thời số mũ của $b$ tăng dần từ $0$ lên $n$.

Có thể tìm được hệ số của các đơn thức bằng cách sử dụng tổ hợp. Bài học sẽ chỉ rõ:

$$(a + b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 + C_4^3 ab^3 + C_4^4 b^4,$$

$$(a + b)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4 b + C_5^2 a^3 b^2 + C_5^3 a^2 b^3 + C_5^4 ab^4 + C_5^5 b^5.$$

1. Khai triển nhị thức Newton $(a+b)^4$

HĐ1 (trang 72)

Đề bài: Sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức $(a + b)(c + d)$ được xây dựng theo $3$ bước (xem Hình 8.6). Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích $(a + b)(c + d)$.

Lời giải:

Theo sơ đồ hình cây (Hình 8.6), $4$ tích nhận được tại các đầu mút là: $a \cdot c,; a \cdot d,; b \cdot c,; b \cdot d$.

Tổng của các tích này:

$$ac + ad + bc + bd.$$

Khai triển trực tiếp $(a + b)(c + d)$ bằng tính chất phân phối:

$$(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.$$

Hai kết quả trùng nhau. Vậy sơ đồ hình cây cho ta đúng khai triển.

HĐ2 (trang 72)

Đề bài: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (…) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích $(a + b)(a + b)(a + b)$. Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng $a^3,; a^2b,; ab^2,; b^3$? Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển $(a + b)^3$.

Lời giải:

Theo sơ đồ hình cây của $(a + b)^3$ có $3$ tầng (tương ứng $3$ nhị thức), mỗi tầng nhân với $a$ hoặc $b$. Tổng cộng có $2^3 = 8$ tích ở tầng cuối, mỗi tích là một dãy có $3$ kí hiệu thuộc ${a, b}$.

Đếm theo dạng:

• $a^3$ (cả $3$ kí hiệu đều là $a$): $1$ tích.
• $a^2 b$ ($2$ kí hiệu $a$, $1$ kí hiệu $b$): $3$ tích (chọn $1$ vị trí cho $b$ trong $3$ vị trí).
• $ab^2$ ($1$ kí hiệu $a$, $2$ kí hiệu $b$): $3$ tích.
• $b^3$ (cả $3$ đều $b$): $1$ tích.

Tổng cộng: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ tích.

So sánh với khai triển: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$. Các hệ số $1, 3, 3, 1$ chính là số tích đếm được ở mỗi loại.

HĐ3 (trang 73)

Đề bài: Sơ đồ hình cây của khai triển $(a + b)^4$ có $2^4 = 16$ đơn thức dạng $x \cdot y \cdot z \cdot t$, trong đó mỗi $x, y, z, t$ là $a$ hoặc $b$. Hãy cho biết có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau: $a^4,; a^3 b,; a^2 b^2,; ab^3,; b^4$.

Lời giải:

Mỗi đơn thức trong tổng có dạng “chọn $k$ nhân tử là $b$ trong $4$ nhân tử $x, y, z, t$” (và $4 – k$ nhân tử còn lại là $a$), cho ra đơn thức $a^{4-k} b^k$. Số đơn thức đồng dạng chính là $C_4^k$.

Tổng: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$ ✓.

Sau khi rút gọn các đơn thức đồng dạng:

$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4.$$

Luyện tập 1 (trang 73)

Đề bài: Khai triển $(x – 2)^4$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4$ với $a = x$ và $b = -2$:

$$(x – 2)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot x^2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot x \cdot (-2)^3 + (-2)^4.$$

Tính từng số hạng:

• $4 \cdot x^3 \cdot (-2) = -8x^3$.
• $6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$.
• $4 \cdot x \cdot (-8) = -32x$.
• $(-2)^4 = 16$.

Vậy:

$$(x – 2)^4 = x^4 – 8x^3 + 24x^2 – 32x + 16.$$

2. Khai triển $(a+b)^5$

HĐ4 (trang 74)

Đề bài: Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển $(a + b)^5$, ta thu được một tổng gồm $2^5$ đơn thức có dạng $x \cdot y \cdot z \cdot t \cdot u$. Hãy cho biết có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau: $a^5,; a^4 b,; a^3 b^2,; a^2 b^3,; ab^4,; b^5$.

Lời giải:

Mỗi đơn thức là kết quả “chọn $k$ nhân tử là $b$ trong $5$ nhân tử” $\to$ đơn thức $a^{5-k} b^k$. Số đơn thức đồng dạng là $C_5^k$.

Tổng: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ ✓. Sau rút gọn:

$$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5.$$

Luyện tập 2 (trang 74)

Đề bài: Khai triển $(3x – 2)^5$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $(a + b)^5$ với $a = 3x$ và $b = -2$:

$$(3x – 2)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-2) + 10(3x)^3(-2)^2 + 10(3x)^2(-2)^3 + 5(3x)(-2)^4 + (-2)^5.$$

Tính từng số hạng:

• $(3x)^5 = 243 x^5$.
• $5 \cdot (3x)^4 \cdot (-2) = 5 \cdot 81 x^4 \cdot (-2) = -810 x^4$.
• $10 \cdot (3x)^3 \cdot 4 = 10 \cdot 27 x^3 \cdot 4 = 1\,080 x^3$.
• $10 \cdot (3x)^2 \cdot (-8) = 10 \cdot 9 x^2 \cdot (-8) = -720 x^2$.
• $5 \cdot 3x \cdot 16 = 240 x$.
• $(-2)^5 = -32$.

Vậy:

$$(3x – 2)^5 = 243 x^5 – 810 x^4 + 1\,080 x^3 – 720 x^2 + 240 x – 32.$$

Vận dụng (trang 74)

Đề bài:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 0{,}05)^4$ để tính giá trị gần đúng của $1{,}05^4$.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1{,}05^4$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Lời giải:

a) Khai triển $(1 + 0{,}05)^4$ theo công thức:

$$(1 + 0{,}05)^4 = 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot 0{,}05 + 6 \cdot 1^2 \cdot 0{,}05^2 + 4 \cdot 1 \cdot 0{,}05^3 + 0{,}05^4.$$

Lấy hai số hạng đầu (bỏ qua các số hạng có $0{,}05$ mũ cao vì rất nhỏ):

$$1{,}05^4 \approx 1 + 4 \cdot 0{,}05 = 1 + 0{,}2 = 1{,}2.$$

b) Dùng máy tính:

$$1{,}05^4 = 1{,}21550625.$$

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng:

$$|1{,}21550625 – 1{,}2| = 0{,}01550625 \approx 0{,}0155.$$

Bài tập (trang 74 – 75)

Bài 8.12 (trang 74)

Đề bài: Khai triển các đa thức:

a) $(x – 3)^4$;
b) $(3x – 2y)^4$;
c) $(x + 5)^4 + (x – 5)^4$;
d) $(x – 2y)^5$.

Lời giải:

a) $(x – 3)^4$: áp dụng $(a + b)^4$ với $a = x,; b = -3$:

$$(x – 3)^4 = x^4 + 4x^3(-3) + 6x^2(-3)^2 + 4x(-3)^3 + (-3)^4$$

$$= x^4 – 12x^3 + 54x^2 – 108x + 81.$$

b) $(3x – 2y)^4$: với $a = 3x,; b = -2y$:

$$(3x – 2y)^4 = (3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2(-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 + (-2y)^4.$$

Tính từng số hạng:

• $(3x)^4 = 81 x^4$.
• $4 \cdot 27x^3 \cdot (-2y) = -216 x^3 y$.
• $6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 = 216 x^2 y^2$.
• $4 \cdot 3x \cdot (-8y^3) = -96 xy^3$.
• $(-2y)^4 = 16 y^4$.

$$(3x – 2y)^4 = 81 x^4 – 216 x^3 y + 216 x^2 y^2 – 96 xy^3 + 16 y^4.$$

c) $(x + 5)^4 + (x – 5)^4$:

$$(x + 5)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 5 + 6 \cdot x^2 \cdot 25 + 4 \cdot x \cdot 125 + 625 = x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625.$$

$$(x – 5)^4 = x^4 – 20x^3 + 150x^2 – 500x + 625.$$

Cộng hai vế, các số hạng bậc lẻ ($x^3,; x$) triệt tiêu:

$$(x + 5)^4 + (x – 5)^4 = 2x^4 + 300x^2 + 1\,250.$$

d) $(x – 2y)^5$: với $a = x,; b = -2y$:

$$(x – 2y)^5 = x^5 + 5x^4(-2y) + 10x^3(-2y)^2 + 10x^2(-2y)^3 + 5x(-2y)^4 + (-2y)^5.$$

Tính từng số hạng:

• $5x^4 \cdot (-2y) = -10 x^4 y$.
• $10 x^3 \cdot 4y^2 = 40 x^3 y^2$.
• $10 x^2 \cdot (-8y^3) = -80 x^2 y^3$.
• $5 x \cdot 16 y^4 = 80 xy^4$.
• $(-2y)^5 = -32 y^5$.

$$(x – 2y)^5 = x^5 – 10 x^4 y + 40 x^3 y^2 – 80 x^2 y^3 + 80 xy^4 – 32 y^5.$$

Bài 8.13 (trang 74)

Đề bài: Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x – 1)^5$.

Lời giải:

Áp dụng $(a + b)^5$ với $a = 3x,; b = -1$:

$$(3x – 1)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-1) + 10(3x)^3(-1)^2 + 10(3x)^2(-1)^3 + 5(3x)(-1)^4 + (-1)^5.$$

Số hạng chứa $x^4$ là $5(3x)^4(-1) = 5 \cdot 81 x^4 \cdot (-1) = -405 x^4$.

Vậy hệ số của $x^4$ là $-405$.

Bài 8.14 (trang 74)

Đề bài: Biểu diễn $(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5$ dưới dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a, b$ là các số nguyên.

Lời giải:

Bước 1: Khai triển $(3 + \sqrt{2})^5$ theo công thức $(a + b)^5$ với $a = 3,; b = \sqrt{2}$:

$$(3 + \sqrt{2})^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^3 \cdot (\sqrt{2})^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^5.$$

Tương tự $(3 – \sqrt{2})^5$ chỉ khác dấu của các số hạng có lũy thừa $\sqrt{2}$ lẻ. Khi lấy hiệu:

$$(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5 = 2 \cdot \left[5 \cdot 3^4 \sqrt{2} + 10 \cdot 3^2 (\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2})^5\right].$$

(Các số hạng có $\sqrt{2}$ mũ chẵn triệt tiêu, các số hạng mũ lẻ nhân đôi.)

Bước 2: Tính từng số hạng:

• $5 \cdot 3^4 \sqrt{2} = 5 \cdot 81 \sqrt{2} = 405 \sqrt{2}$.
• $10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 = 10 \cdot 9 \cdot 2\sqrt{2} = 180 \sqrt{2}$.
• $(\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Tổng trong ngoặc: $405\sqrt{2} + 180\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 589\sqrt{2}$.

Nhân với $2$:

$$(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5 = 2 \cdot 589\sqrt{2} = 1\,178\sqrt{2}.$$

Vậy dưới dạng $a + b\sqrt{2}$: $a = 0,; b = 1\,178$.

Bài 8.15 (trang 75)

Đề bài:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 0{,}02)^5$ để tính giá trị gần đúng của $1{,}02^5$.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1{,}02^5$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Lời giải:

a) Khai triển $(1 + 0{,}02)^5$:

$$(1 + 0{,}02)^5 = 1 + 5 \cdot 0{,}02 + 10 \cdot 0{,}02^2 + 10 \cdot 0{,}02^3 + 5 \cdot 0{,}02^4 + 0{,}02^5.$$

Lấy hai số hạng đầu:

$$1{,}02^5 \approx 1 + 5 \cdot 0{,}02 = 1 + 0{,}1 = 1{,}1.$$

b) Dùng máy tính: $1{,}02^5 = 1{,}1040808032$.

Sai số tuyệt đối:

$$|1{,}1040808032 – 1{,}1| = 0{,}0040808032 \approx 0{,}004.$$

Bài 8.16 (trang 75)

Đề bài: Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng $800$ nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là $r\%$.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau $1$ năm, sau $2$ năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau $5$ năm nữa là $P = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^5$ (nghìn người).

b) Với $r = 1{,}5$, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của $(1 + 0{,}015)^5$, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau $5$ năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Lời giải:

a) Gọi $P_k$ là số dân sau $k$ năm.

Sau $1$ năm: dân số tăng thêm $r\%$ so với ban đầu:

$$P_1 = 800 + 800 \cdot \dfrac{r}{100} = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) \text{ (nghìn người).}$$

Sau $2$ năm: dân số tăng thêm $r\%$ so với $P_1$:

$$P_2 = P_1 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^2 \text{ (nghìn người).}$$

Tổng quát, sau $n$ năm:

$$P_n = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n.$$

Đặc biệt sau $5$ năm:

$$P = P_5 = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^5 \text{ (nghìn người).}$$

b) Với $r = 1{,}5$ thì $\dfrac{r}{100} = 0{,}015$. Khai triển $(1 + 0{,}015)^5$ và lấy hai số hạng đầu:

$$(1 + 0{,}015)^5 \approx 1 + 5 \cdot 0{,}015 = 1 + 0{,}075 = 1{,}075.$$

Số dân sau $5$ năm:

$$P \approx 800 \cdot 1{,}075 = 860 \text{ (nghìn người).}$$

Vậy ước tính số dân của tỉnh đó sau $5$ năm nữa là khoảng $860$ nghìn người.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh