A – Trắc nghiệm

Bài 9.13 (trang 88)

Đề bài: Một hộp có bốn loại bi: bi xanh, bi đỏ, bi trắng và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Gọi $E$ là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ”. Biến cố đối của $E$ là biến cố:

A. Lấy được viên bi xanh.
B. Lấy được viên bi vàng hoặc bi trắng.
C. Lấy được viên bi trắng.
D. Lấy được viên bi vàng hoặc bi trắng hoặc bi xanh.

Lời giải:

Biến cố đối $\overline{E}$ là “$E$ không xảy ra”, tức là “Lấy được viên bi không phải đỏ”. Trong $4$ loại bi, các loại khác đỏ là: xanh, trắng, vàng.

Vậy $\overline{E}$ = “Lấy được bi xanh hoặc trắng hoặc vàng”.

Chọn D.

Bài 9.14 (trang 88)

Đề bài: Rút ngẫu nhiên ra một thẻ từ một hộp có $30$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $30$. Xác suất để số trên tấm thẻ được rút ra chia hết cho $5$ là:

A. $\dfrac{1}{30}$. B. $\dfrac{1}{5}$. C. $\dfrac{1}{3}$. D. $\dfrac{2}{5}$.

Lời giải:

$n(\Omega) = 30$. Các số chia hết cho $5$ trong ${1; 2; \ldots; 30}$ là: $5,; 10,; 15,; 20,; 25,; 30$ – có $6$ số.

$$P = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}.$$

Chọn B.

Bài 9.15 (trang 88)

Đề bài: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn $4$ là:

A. $\dfrac{1}{7}$. B. $\dfrac{1}{6}$. C. $\dfrac{1}{8}$. D. $\dfrac{2}{9}$.

Lời giải:

$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. “Tổng không lớn hơn $4$” tức tổng $\leq 4$. Liệt kê:

• Tổng $= 2$: $(1;1)$ → $1$ cặp.
• Tổng $= 3$: $(1;2), (2;1)$ → $2$ cặp.
• Tổng $= 4$: $(1;3), (2;2), (3;1)$ → $3$ cặp.

Tổng: $1 + 2 + 3 = 6$ cặp.

$$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.$$

Chọn B.

Bài 9.16 (trang 88)

Đề bài: Một tổ trong lớp 10T có $4$ bạn nữ và $3$ bạn nam. Giáo viên chọn ngẫu nhiên hai bạn trong tổ đó tham gia đội làm báo của lớp. Xác suất để hai bạn được chọn có một bạn nam và một bạn nữ là:

A. $\dfrac{4}{7}$. B. $\dfrac{2}{7}$. C. $\dfrac{1}{6}$. D. $\dfrac{2}{21}$.

Lời giải:

Tổng số bạn: $4 + 3 = 7$. Chọn $2$ trong $7$: $n(\Omega) = C_{7}^{2} = 21$.

Chọn $1$ nam ($3$ cách) và $1$ nữ ($4$ cách): $n(E) = 3 \times 4 = 12$.

$$P = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}.$$

Chọn A.

B – Tự luận

Bài 9.17 (trang 88)

Đề bài: Một hộp đựng bảy thẻ màu xanh đánh số từ $1$ đến $7$; năm thẻ màu đỏ đánh số từ $1$ đến $5$ và hai thẻ màu vàng đánh số từ $1$ đến $2$. Rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố sau là tập con nào của không gian mẫu?

$A$: “Rút ra được thẻ màu đỏ hoặc màu vàng”;

$B$: “Rút ra được thẻ mang số hoặc là $2$ hoặc là $3$”.

Lời giải:

a) Kí hiệu mỗi thẻ là (màu, số). Tổng số thẻ: $7 + 5 + 2 = 14$.

$$\Omega = \{\underbrace{(\text{X},1), (\text{X},2), \ldots, (\text{X},7)}_{7 \text{ thẻ xanh}};\; \underbrace{(\text{Đ},1), \ldots, (\text{Đ},5)}_{5 \text{ thẻ đỏ}};\; \underbrace{(\text{V},1), (\text{V},2)}_{2 \text{ thẻ vàng}}\}.$$

$n(\Omega) = 14$.

b) Biến cố $A$ – “đỏ hoặc vàng”: gồm toàn bộ thẻ đỏ và thẻ vàng.

$$A = {(\text{Đ},1); (\text{Đ},2); (\text{Đ},3); (\text{Đ},4); (\text{Đ},5); (\text{V},1); (\text{V},2)}, \quad n(A) = 7.$$

Biến cố $B$ – “số là $2$ hoặc $3$”: lấy mọi thẻ có số $2$ hoặc $3$ ở bất kì màu nào.

• Thẻ xanh: $(\text{X},2), (\text{X},3)$.
• Thẻ đỏ: $(\text{Đ},2), (\text{Đ},3)$.
• Thẻ vàng: $(\text{V},2)$ (vàng không có thẻ số $3$).

$$B = {(\text{X},2); (\text{X},3); (\text{Đ},2); (\text{Đ},3); (\text{V},2)}, \quad n(B) = 5.$$

Bài 9.18 (trang 88)

Đề bài: Có hộp I và hộp II, mỗi hộp chứa $5$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $5$. Từ mỗi hộp, rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ. Tính xác suất để thẻ rút ra từ hộp II mang số lớn hơn số trên thẻ rút ra từ hộp I.

Lời giải:

Gọi $a$ = số trên thẻ hộp I, $b$ = số trên thẻ hộp II; $a,; b \in {1, 2, 3, 4, 5}$.

$$n(\Omega) = 5 \times 5 = 25.$$

Biến cố $E$: “$b > a$”. Đếm số cặp $(a; b)$ với $b > a$:

• $a = 1$: $b \in {2, 3, 4, 5}$ → $4$ cặp.
• $a = 2$: $b \in {3, 4, 5}$ → $3$ cặp.
• $a = 3$: $b \in {4, 5}$ → $2$ cặp.
• $a = 4$: $b = 5$ → $1$ cặp.
• $a = 5$: không có cặp nào.

Tổng: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

$$P(E) = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}.$$

Bài 9.19 (trang 88)

Đề bài: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng $8$;

b) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn $8$.

Lời giải:

$n(\Omega) = 36$.

a) “Tổng bằng $8$”: liệt kê các cặp $(a; b)$ với $a + b = 8$:

$$(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) \quad \to; 5 \text{ cặp.}$$

$$P = \dfrac{5}{36}.$$

b) “Tổng nhỏ hơn $8$”: tức tổng từ $2$ đến $7$. Đếm theo từng tổng:

Tổng cộng: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ cặp.

$$P = \dfrac{21}{36} = \dfrac{7}{12}.$$

Bài 9.20 (trang 89)

Đề bài: Dự báo thời tiết trong ba ngày thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư của tuần sau cho biết, trong mỗi ngày này, khả năng có mưa và không mưa như nhau.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất của các biến cố:

$F$: “Trong ba ngày, có đúng một ngày có mưa”;

$G$: “Trong ba ngày, có ít nhất hai ngày không mưa”.

Lời giải:

Kí hiệu $M$ = mưa, $K$ = không mưa.

a) Sơ đồ hình cây: Cây có $3$ tầng (thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư), mỗi tầng tách thành $2$ nhánh ($M,; K$). Tổng số lá: $2^3 = 8$.

$$\Omega = {MMM;; MMK;; MKM;; MKK;; KMM;; KMK;; KKM;; KKK}, \quad n(\Omega) = 8.$$

Theo giả thiết, các kết quả là đồng khả năng.

b) Tính xác suất:

Biến cố $F$ – “đúng $1$ ngày mưa”: trong bộ ba chữ cái, đúng $1$ chữ là $M$, $2$ chữ còn lại là $K$. Liệt kê:

$$F = {MKK;; KMK;; KKM}, \quad n(F) = 3.$$

$$P(F) = \dfrac{3}{8}.$$

Biến cố $G$ – “ít nhất $2$ ngày không mưa”: trong bộ ba, có $\geq 2$ chữ $K$, tức $2$ chữ $K$ hoặc $3$ chữ $K$.

• Đúng $2$ chữ $K$: ${MKK;; KMK;; KKM}$ → $3$ phần tử.
• Cả $3$ chữ $K$: ${KKK}$ → $1$ phần tử.

$n(G) = 3 + 1 = 4$.

$$P(G) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}.$$

Bài 9.21 (trang 89)

Đề bài: Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất để trong bốn lần gieo đó có hai lần xuất hiện mặt sấp và hai lần xuất hiện mặt ngửa.

Lời giải:

Kí hiệu $S$ = sấp, $N$ = ngửa.

a) Sơ đồ hình cây: Cây có $4$ tầng (4 lần gieo), mỗi tầng $2$ nhánh ($S,; N$). Tổng số lá: $2^4 = 16$.

Mỗi phần tử của $\Omega$ là một bộ $4$ chữ cái từ ${S, N}$:

$$\Omega = {SSSS;; SSSN;; SSNS;; SSNN;; \ldots;; NNNN}, \quad n(\Omega) = 16.$$

(Liệt kê đầy đủ $16$ kết quả, hoặc dùng sơ đồ cây như mô tả ở trên.)

b) Tính xác suất “$2$ lần sấp và $2$ lần ngửa”:

Trong bộ $4$ chữ, cần chọn $2$ vị trí cho chữ $S$ (chữ còn lại là $N$). Số cách chọn:

$$n(E) = C_{4}^{2} = 6.$$

(Cụ thể: $SSNN,; SNSN,; SNNS,; NSSN,; NSNS,; NNSS$.)

$$P(E) = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}.$$

Bài 9.22 (trang 89)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên $4$ viên bi từ một túi đựng $4$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh đôi một khác nhau. Gọi $A$ là biến cố: “Trong bốn viên bi đó có cả bi đỏ và cả bi xanh”. Tính $P(A)$ và $P(\overline{A})$.

Lời giải:

Tổng số bi: $4 + 6 = 10$. Chọn $4$ trong $10$:

$$n(\Omega) = C_{10}^{4} = 210.$$

Tính $P(\overline{A})$ trước (dễ hơn):

$\overline{A}$ = “$A$ không xảy ra” = “trong $4$ viên bi không có cả đỏ và xanh”, tức chỉ có một màu:

• Trường hợp 1: Cả $4$ viên đều đỏ → $C_{4}^{4} = 1$ (cách).
• Trường hợp 2: Cả $4$ viên đều xanh → $C_{6}^{4} = 15$ (cách).

$$n(\overline{A}) = 1 + 15 = 16.$$

$$P(\overline{A}) = \dfrac{16}{210} = \dfrac{8}{105}.$$

Tính $P(A)$ qua công thức biến cố đối:

$$P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{8}{105} = \dfrac{97}{105}.$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh