Hình tam giác đều

Các yếu tố cơ bản

Hình tam giác đều là hình tam giác có ba cạnh bằng nhau. Trong thực tế, ta gặp hình tam giác đều ở nhiều nơi: biển báo giao thông cảnh báo, kệ trang trí, mặt bên của kim tự tháp…

Cho tam giác đều $ABC$:

• Ba đỉnh: $A$, $B$, $C$.
• Ba cạnh: $AB$, $BC$, $CA$.
• Ba góc: góc $A$, góc $B$, góc $C$.

Tính chất của tam giác đều:

• Ba cạnh bằng nhau: $AB = BC = CA$.
• Ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng $60°$.

Cách vẽ hình tam giác đều

Để vẽ tam giác đều cạnh $a$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng $AB = a$.

Bước 2. Dùng ê ke có góc $60°$, đặt tại đỉnh $A$, vẽ tia $Ax$ sao cho góc $BAx = 60°$.

Bước 3. Dùng ê ke đặt tại đỉnh $B$, vẽ tia $By$ sao cho góc $ABy = 60°$. Hai tia $Ax$ và $By$ cắt nhau tại $C$.

Ta được tam giác đều $ABC$.

Sau khi vẽ xong, em có thể kiểm tra lại bằng thước thẳng (đo ba cạnh) và thước đo góc (đo ba góc) để xác nhận hình đã vẽ đúng.

Hình vuông

Các yếu tố cơ bản

Hình vuông xuất hiện rất phổ biến trong đời sống: ô bàn cờ, viên gạch lát nền, khung tranh, mặt đáy kim tự tháp Kheops…

Cho hình vuông $ABCD$:

• Bốn đỉnh: $A$, $B$, $C$, $D$.
• Bốn cạnh: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
• Bốn góc: góc $A$, góc $B$, góc $C$, góc $D$.
• Hai đường chéo: $AC$ và $BD$.

Tính chất của hình vuông:

• Bốn cạnh bằng nhau: $AB = BC = CD = DA$.
• Bốn góc bằng nhau và mỗi góc bằng $90°$.
• Hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$.

Cách vẽ hình vuông

Để vẽ hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng $AB = a$.

Bước 2. Tại $A$, vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$. Trên đường thẳng đó, xác định điểm $D$ sao cho $AD = a$.

Bước 3. Tại $B$, vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$. Trên đường thẳng đó, xác định điểm $C$ sao cho $BC = a$.

Bước 4. Nối $C$ với $D$, ta được hình vuông $ABCD$.

Kiểm tra lại: đo bốn cạnh xem có bằng nhau không, đo các góc xem có bằng $90°$ không.

Chu vi và diện tích hình vuông

Với hình vuông cạnh $a$:

$$\text{Chu vi} = 4a$$

$$\text{Diện tích} = a^2 = a \times a$$

Hình lục giác đều

Các yếu tố cơ bản

Hình lục giác đều là hình có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau. Trong tự nhiên, hình lục giác đều xuất hiện ở bề mặt tổ ong — cấu trúc giúp tiết kiệm nguyên liệu và tận dụng tối đa không gian. Ngày nay, cấu trúc này được ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc, hàng không…

Cho hình lục giác đều $ABCDEF$:

• Sáu đỉnh: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$.
• Sáu cạnh: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$.
• Sáu góc: mỗi góc tại các đỉnh.
• Ba đường chéo chính: $AD$, $BE$, $CF$ (nối hai đỉnh đối diện).
• Sáu đường chéo phụ: $AC$, $BD$, $CE$, $DF$, $EA$, $FB$.

Tính chất của hình lục giác đều:

• Sáu cạnh bằng nhau.
• Sáu góc bằng nhau, mỗi góc bằng $120°$.
• Ba đường chéo chính bằng nhau.

Mối liên hệ giữa lục giác đều và tam giác đều

Một tính chất rất quan trọng: 6 hình tam giác đều ghép lại thành hình lục giác đều. Nếu nối tâm (giao điểm ba đường chéo chính) với sáu đỉnh của hình lục giác đều, ta chia được hình lục giác đều thành 6 tam giác đều bằng nhau.

Chu vi hình lục giác đều

Với hình lục giác đều cạnh $a$:

$$\text{Chu vi} = 6a$$

Đặc điểm chung của ba hình

Cả tam giác đều, hình vuông và lục giác đều đều thuộc nhóm đa giác đều — tức là các hình có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. So sánh cạnh và nhận biết yếu tố hình học

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất các cạnh bằng nhau và công thức chu vi:

• Tam giác đều cạnh $a$: chu vi $= 3a$, suy ra $a = \dfrac{\text{chu vi}}{3}$.
• Hình vuông cạnh $b$: chu vi $= 4b$, suy ra $b = \dfrac{\text{chu vi}}{4}$.
• Lục giác đều cạnh $c$: chu vi $= 6c$, suy ra $c = \dfrac{\text{chu vi}}{6}$.

Bài mẫu 1: Một hình tam giác đều, một hình vuông và một hình lục giác đều có cùng chu vi. Hãy so sánh độ dài cạnh của ba hình đó.

Lời giải:

Gọi chu vi chung của ba hình là $P$.

• Cạnh tam giác đều: $a = \dfrac{P}{3}$
• Cạnh hình vuông: $b = \dfrac{P}{4}$
• Cạnh lục giác đều: $c = \dfrac{P}{6}$

So sánh ba phân số: vì $P > 0$ nên ta chỉ cần so sánh mẫu số. Mẫu số càng nhỏ thì giá trị phân số càng lớn:

$$\frac{P}{3} > \frac{P}{4} > \frac{P}{6}$$

Vậy $a > b > c$, tức cạnh tam giác đều lớn nhất, rồi đến cạnh hình vuông, và cạnh lục giác đều nhỏ nhất.

Bài mẫu 2: Hai tam giác đều bằng nhau, cạnh dài $5$ cm, đặt trùng nhau $1$ cặp cạnh và $2$ cặp đỉnh, $2$ đỉnh còn lại không trùng nhau.

a) Tính chu vi hình được tạo thành.

b) Hình được tạo thành có điểm gì giống và khác với hình vuông?

Lời giải:

a) Khi ghép hai tam giác đều chung một cạnh, hình tạo thành có 4 cạnh (cạnh chung nằm bên trong, không thuộc chu vi).

Mỗi tam giác đều đóng góp 2 cạnh vào chu vi, tổng cộng 4 cạnh, mỗi cạnh dài $5$ cm.

$$\text{Chu vi} = 4 \times 5 = 20 \text{ cm}$$

b) So sánh với hình vuông:

• Giống: Hình tạo thành có 4 cạnh bằng nhau (giống hình vuông).
• Khác: Các góc của hình tạo thành không bằng $90°$. Hai góc tại đỉnh chung bằng $60° + 60° = 120°$, hai góc còn lại bằng $60°$. Vậy hình tạo thành là hình thoi chứ không phải hình vuông.

Dạng 2. Bài toán tính toán thực tế

Phương pháp giải:

• Xác định hình dạng liên quan (vuông, tam giác đều, lục giác đều).
• Sử dụng công thức chu vi và diện tích phù hợp.
• Với hình vuông: chu vi $= 4a$, diện tích $= a^2$.
• Đọc kĩ đề để tìm đúng đại lượng cần tính.

Bài mẫu 1: Một bức tường hình vuông có cạnh dài $4{,}5$ m cần sơn chống thấm. Biết mỗi $m^2$ tường cần chi phí $70$ nghìn đồng tiền mua sơn và $12$ nghìn đồng tiền thi công. Tính chi phí để hoàn thành sơn bức tường đó.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích bức tường.

$$S = 4{,}5 \times 4{,}5 = 20{,}25 \ (m^2)$$

Bước 2: Tính chi phí cho mỗi $m^2$.

$$70 + 12 = 82 \ (\text{nghìn đồng}/m^2)$$

Bước 3: Tính tổng chi phí.

$$20{,}25 \times 82 = 1\ 660{,}5 \ (\text{nghìn đồng})$$

Vậy chi phí để sơn bức tường là $1\ 660{,}5$ nghìn đồng, tức $1\ 660\ 500$ đồng.

Bài mẫu 2: Bạn Bình đi bộ quanh mép một sân chơi hình vuông. Đếm bước chân đi hết một vòng sân được $488$ bước. Mỗi bước chân Bình di chuyển được $60$ cm. Tính chu vi và diện tích sân chơi.

Lời giải:

Bước 1: Tính chu vi sân chơi.

$$\text{Chu vi} = 488 \times 60 = 29\ 280 \ (\text{cm}) = 292{,}8 \ (\text{m})$$

Bước 2: Tính cạnh sân chơi.

$$\text{Cạnh} = \frac{292{,}8}{4} = 73{,}2 \ (\text{m})$$

Bước 3: Tính diện tích.

$$S = 73{,}2 \times 73{,}2 = 5\ 358{,}24 \ (m^2)$$

Vậy sân chơi có chu vi $292{,}8$ m và diện tích $5\ 358{,}24$ $m^2$.

Bài mẫu 3: Một mảnh đất hình vuông có diện tích $144$ $m^2$. Người ta muốn xây tường bao quanh, chừa ra cổng vào rộng $2{,}2$ m. Tính độ dài phần tường bao.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh mảnh đất.

$$\text{Cạnh} = \sqrt{144} = 12 \ (\text{m})$$

Bước 2: Tính chu vi mảnh đất.

$$\text{Chu vi} = 4 \times 12 = 48 \ (\text{m})$$

Bước 3: Trừ đi phần cổng.

$$\text{Độ dài tường bao} = 48 – 2{,}2 = 45{,}8 \ (\text{m})$$

Vậy phần tường bao dài $45{,}8$ m.

Bài mẫu 4: Một cái bể nuôi cá cảnh có miệng và đáy là hình lục giác đều bằng nhau. Xung quanh thành bể gắn các tấm kính cường lực hình vuông. Biết chu vi đáy bể là $7{,}2$ m. Tính tổng diện tích kính cường lực để dựng phần thành bể.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh lục giác đều (cũng chính là cạnh mỗi tấm kính vuông).

$$a = \frac{7{,}2}{6} = 1{,}2 \ (\text{m})$$

Bước 2: Xác định số tấm kính.

Thành bể gồm 6 mặt (ứng với 6 cạnh của lục giác đều), mỗi mặt là một tấm kính hình vuông cạnh $1{,}2$ m.

Bước 3: Tính diện tích mỗi tấm kính.

$$S_1 = 1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44 \ (m^2)$$

Bước 4: Tính tổng diện tích kính.

$$S = 6 \times 1{,}44 = 8{,}64 \ (m^2)$$

Vậy tổng diện tích kính cường lực cần dùng là $8{,}64$ $m^2$.

Dạng 3. Vẽ hình và ghép hình

Phương pháp giải:

• Vẽ tam giác đều: Dùng ê ke $60°$ theo các bước đã học (vẽ cạnh đáy → vẽ hai góc $60°$ tại hai đầu → giao điểm hai tia là đỉnh thứ ba).
• Vẽ hình vuông: Dùng ê ke vuông theo các bước đã học (vẽ cạnh đáy → dựng vuông góc tại hai đầu → đo cạnh bằng nhau → nối).
• Chia hình: Nối trung điểm các cạnh hoặc nối đỉnh với tâm để chia đều.

Bài mẫu 1: Hãy chia một tam giác đều thành 4 phần bằng nhau và chứng tỏ cách chia đó là đúng.

Lời giải:

Lấy trung điểm $M$, $N$, $P$ lần lượt của ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$.

Nối $M$ với $N$, $N$ với $P$, $P$ với $M$.

Ta được 4 tam giác nhỏ: $\triangle AMP$, $\triangle MBN$, $\triangle PNC$, $\triangle MNP$.

Chứng tỏ: Vì $M$, $N$, $P$ là trung điểm nên $AM = MB = MN = \ldots = \dfrac{AB}{2}$. Mỗi tam giác nhỏ đều có ba cạnh bằng nhau và bằng nửa cạnh tam giác lớn, nên mỗi tam giác nhỏ cũng là tam giác đều. Do đó 4 phần bằng nhau.

Bài mẫu 2: Vẽ hình tam giác đều có cạnh bằng $2$ cm.

Lời giải:

• Bước 1: Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng $AB = 2$ cm.
• Bước 2: Đặt ê ke góc $60°$ tại $A$, vẽ tia $Ax$ tạo với $AB$ góc $60°$.
• Bước 3: Đặt ê ke góc $60°$ tại $B$, vẽ tia $By$ tạo với $BA$ góc $60°$.
• Bước 4: Tia $Ax$ và $By$ cắt nhau tại $C$. Tam giác $ABC$ là tam giác đều cần vẽ.

Kiểm tra: đo $AC$ và $BC$ bằng thước, cả hai đều bằng $2$ cm.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

• Tam giác đều — 3 — 60°: 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng $60°$.
• Hình vuông — 4 — 90°: 4 cạnh bằng nhau, 4 góc bằng $90°$, 2 đường chéo bằng nhau.
• Lục giác đều — 6 — 120°: 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng $120°$, 3 đường chéo chính bằng nhau.
• Quy luật góc: $60° \to 90° \to 120°$, tức mỗi hình tăng thêm $30°$ theo thứ tự tam giác đều → vuông → lục giác đều.
• 6 tam giác đều = 1 lục giác đều. Nhớ điều này để giải nhanh các bài ghép hình và tính toán liên quan đến lục giác đều.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du