Hình chữ nhật

Các yếu tố cơ bản

Hình chữ nhật có 4 đỉnh, 4 cạnh và 2 đường chéo. Hai cạnh đối diện nhau gọi là hai cạnh đối.

Tính chất của hình chữ nhật

Trong một hình chữ nhật:

• Bốn góc bằng nhau và đều bằng $90°$.
• Các cạnh đối bằng nhau.
• Hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình chữ nhật $MNPQ$, ta có: $MN = QP$, $MQ = NP$, và $\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = \widehat{Q} = 90°$. Hai đường chéo $MP = NQ$.

Cách vẽ hình chữ nhật

Để vẽ hình chữ nhật $ABCD$ có một cạnh bằng $5$ cm, một cạnh bằng $3$ cm, ta thực hiện:

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB = 5$ cm.
• Bước 2: Vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $A$. Trên đường thẳng đó lấy điểm $D$ sao cho $AD = 3$ cm.
• Bước 3: Vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$. Trên đường thẳng đó lấy điểm $C$ sao cho $BC = 3$ cm.
• Bước 4: Nối $D$ với $C$, ta được hình chữ nhật $ABCD$.

Hình thoi

Các yếu tố cơ bản

Hình thoi có 4 đỉnh, 4 cạnh, 2 đường chéo. Hai cạnh chung đỉnh gọi là hai cạnh kề, hai cạnh không chung đỉnh gọi là hai cạnh đối. Hai góc đối diện nhau gọi là hai góc đối.

Tính chất của hình thoi

Trong một hình thoi:

• Bốn cạnh bằng nhau.
• Hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Các cạnh đối song song với nhau.
• Các góc đối bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình thoi $EFGH$, ta có: $EF = FG = GH = HE$. Hai đường chéo $EG \perp FH$. Các cạnh đối song song: $EF \parallel GH$, $FG \parallel EH$. Các góc đối bằng nhau: $\widehat{E} = \widehat{G}$, $\widehat{F} = \widehat{H}$.

Cách vẽ hình thoi

Để vẽ hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $3$ cm, ta thực hiện:

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB = 3$ cm.
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua $B$. Lấy điểm $C$ trên đường thẳng đó sao cho $BC = 3$ cm.
• Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua $C$ và song song với cạnh $AB$. Vẽ đường thẳng đi qua $A$ và song song với cạnh $BC$.
• Bước 4: Hai đường thẳng này cắt nhau tại $D$, ta được hình thoi $ABCD$.

Mẹo: Ta cũng có thể gấp và cắt hình thoi từ tờ giấy hình chữ nhật bằng cách gấp đôi hai lần (tạo góc vuông với cạnh là các nếp gấp), sau đó vẽ một đoạn thẳng nối hai điểm trên hai cạnh của góc vuông rồi cắt theo đường đó.

Hình bình hành

Các yếu tố cơ bản

Hình bình hành có 4 đỉnh, 4 cạnh, 2 đường chéo. Tương tự hình thoi, hình bình hành cũng có các cạnh kề, cạnh đối và góc đối.

Tính chất của hình bình hành

Trong một hình bình hành:

• Các cạnh đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Các cạnh đối song song với nhau.
• Các góc đối bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Ta có: $AB = CD$, $BC = AD$, $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, và $OA = OC$, $OB = OD$.

Cách vẽ hình bình hành

Để vẽ hình bình hành $ABCD$ có $AB = 5$ cm, $BC = 3$ cm, ta thực hiện:

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB = 5$ cm.
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua $B$. Trên đường thẳng đó lấy điểm $C$ sao cho $BC = 3$ cm.
• Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$, đường thẳng qua $C$ và song song với $AB$. Hai đường thẳng này cắt nhau tại $D$, ta được hình bình hành $ABCD$.

Hình thang cân

Các yếu tố cơ bản

Hình thang cân có 4 đỉnh, 2 cạnh đáy (đáy lớn và đáy nhỏ), 2 cạnh bên và 2 đường chéo. Hai góc cùng kề một đáy gọi là hai góc kề đáy.

Tính chất của hình thang cân

Trong một hình thang cân:

• Hai cạnh bên bằng nhau.
• Hai đường chéo bằng nhau.
• Hai cạnh đáy song song với nhau.
• Hai góc kề một đáy bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình thang cân $ABCD$ có đáy lớn $DC$ và đáy nhỏ $AB$, ta có: cạnh bên $AD = BC$, đường chéo $AC = BD$, $AB \parallel DC$, $\widehat{A} = \widehat{B}$ (hai góc kề đáy nhỏ), $\widehat{D} = \widehat{C}$ (hai góc kề đáy lớn).

Mẹo thực hành: Ta có thể cắt hình thang cân từ tờ giấy hình chữ nhật bằng cách gấp đôi tờ giấy, vẽ đoạn thẳng nối hai điểm trên hai cạnh đối diện (cạnh không chứa nếp gấp), cắt theo đường vẽ rồi mở ra.

So sánh bốn hình

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân

Phương pháp giải:

Dựa vào các tính chất đặc trưng để nhận biết:

• Hình chữ nhật: Có 4 góc vuông và các cạnh đối bằng nhau.
• Hình thoi: Có 4 cạnh bằng nhau.
• Hình bình hành: Có các cạnh đối song song và bằng nhau.
• Hình thang cân: Có hai đáy song song, hai cạnh bên bằng nhau.

Bài mẫu 1: Quan sát và cho biết hình nào là hình chữ nhật, hình bình hành.

Lời giải:

Để nhận biết, ta dựa vào các tính chất:

• Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau, góc đối bằng nhau.
• Hình chữ nhật là hình bình hành đặc biệt có thêm 4 góc vuông.

Kết quả:

• Hình a: là hình bình hành (các cạnh đối song song và bằng nhau, nhưng các góc không vuông).
• Hình b: không phải hình bình hành (các cạnh đối không song song).
• Hình c: là hình chữ nhật (có 4 góc vuông và các cạnh đối bằng nhau).
• Hình d: không phải hình chữ nhật (các góc không bằng $90°$).

Bài mẫu 2: Quan sát và kiểm tra xem tứ giác $MNPQ$ có là hình chữ nhật không, tứ giác $DEFG$ có là hình thoi không.

Lời giải:

Để kiểm tra tứ giác $MNPQ$ có phải hình chữ nhật không, ta kiểm tra hai điều kiện:

• Các cạnh đối có bằng nhau không? → Dùng thước đo: $MN = QP$ và $MQ = NP$. ✓
• Các góc có bằng $90°$ không? → Dùng thước đo góc: $\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = \widehat{Q} = 90°$. ✓

→ Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Để kiểm tra tứ giác $DEFG$ có phải hình thoi không, ta kiểm tra:

• Bốn cạnh có bằng nhau không? → Dùng thước hoặc compa đo: $DE = EF = FG = GD$. ✓

→ Tứ giác $DEFG$ là hình thoi.

Dạng 2. Vẽ hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành

Phương pháp giải:

• Vẽ hình chữ nhật: Vẽ một cạnh, dựng hai đường vuông góc tại hai đầu mút, lấy các điểm trên đường vuông góc với độ dài bằng cạnh kia, nối lại.
• Vẽ hình thoi (biết cạnh): Vẽ một cạnh, vẽ cạnh kề bằng nhau, dựng hai đường song song để tìm đỉnh thứ tư.
• Vẽ hình thoi (biết cạnh và đường chéo): Vẽ đường chéo, dùng compa vẽ hai đường tròn có bán kính bằng cạnh, hai giao điểm là hai đỉnh còn lại.
• Vẽ hình bình hành: Vẽ hai cạnh kề, dựng đường song song để tìm đỉnh thứ tư.

Bài mẫu 1: Nêu cách vẽ hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3$ cm, $AD = 2$ cm.

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB = 3$ cm.
• Bước 2: Dùng ê-ke vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $A$. Trên đường thẳng đó lấy điểm $D$ sao cho $AD = 2$ cm.
• Bước 3: Vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$. Trên đường thẳng đó lấy điểm $C$ sao cho $BC = 2$ cm.
• Bước 4: Nối $C$ với $D$, ta được hình chữ nhật $ABCD$.

Bài mẫu 2: Nêu cách vẽ hình thoi $EFPQ$ có $EF = 3$ cm, đường chéo $EP = 5$ cm.

Lời giải:

• Bước 1: Dùng thước thẳng vẽ đoạn $EP = 5$ cm.
• Bước 2: Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm $E$ bán kính $3$ cm, rồi vẽ một phần đường tròn tâm $P$ bán kính $3$ cm. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm $F$ và $Q$.
• Bước 3: Nối $F$ với $E$, $F$ với $P$, $Q$ với $E$, $Q$ với $P$, ta được hình thoi $EFPQ$.

Bài mẫu 3: Nêu cách vẽ hình bình hành $MNPQ$ có $MN = 6$ cm, $NP = 3$ cm.

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $MN = 6$ cm.
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua $N$. Trên đường thẳng đó lấy điểm $P$ sao cho $NP = 3$ cm.
• Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua $M$ và song song với $NP$, đồng thời vẽ đường thẳng qua $P$ và song song với $MN$. Hai đường thẳng này cắt nhau tại $Q$, ta được hình bình hành $MNPQ$.

Dạng 3. Mô tả yếu tố cơ bản của hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ và tính chất đã học, gọi tên các yếu tố:

• Hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi: đỉnh, cạnh, cạnh đối, đường chéo, cạnh bằng nhau.
• Hình thang cân: đỉnh, đáy lớn, đáy nhỏ, cạnh bên, đường chéo, các góc bằng nhau.

Bài mẫu 1: Nêu tên đỉnh, cạnh, đường chéo, hai cạnh đối của hình chữ nhật $MNPQ$.

Lời giải:

• Đỉnh: $M$, $N$, $P$, $Q$.
• Cạnh: $MN$, $NP$, $PQ$, $QM$.
• Đường chéo: $MP$ và $NQ$.
• Cạnh đối: $MN$ và $PQ$; $NP$ và $MQ$.

Bài mẫu 2: Nêu tên đỉnh, cạnh, các cạnh bằng nhau của hình bình hành $DEFG$.

Lời giải:

• Đỉnh: $D$, $E$, $F$, $G$.
• Cạnh: $DE$, $EF$, $FG$, $GD$.
• Đường chéo: $DF$ và $EG$.
• Cạnh bằng nhau: $DE = FG$ (hai cạnh đối) và $EF = DG$ (hai cạnh đối).

Bài mẫu 3: Nêu tên cạnh đáy, cạnh bên, các góc bằng nhau của hình thang cân $ABFG$.

Lời giải:

• Cạnh đáy: $AB$ (đáy nhỏ) và $GF$ (đáy lớn).
• Cạnh bên: $AG$ và $BF$.
• Các góc bằng nhau:
  • Góc đỉnh $A$ bằng góc đỉnh $B$ (hai góc kề đáy nhỏ).
  • Góc đỉnh $G$ bằng góc đỉnh $F$ (hai góc kề đáy lớn).

Dạng 4. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân

Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất đã học để suy ra độ dài cạnh chưa biết:

• Hình chữ nhật, hình bình hành: Các cạnh đối bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (nên nửa đường chéo bằng khoảng cách từ giao điểm đến đỉnh).
• Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau.
• Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau.

Bài mẫu 1: Cho hình thang cân $IJHK$ có đáy là $IJ$ và $KH$, biết $IJ = 4$ cm, $KH = 8$ cm, $IK = 5$ cm. Tính $JH$.

Lời giải:

Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Hai cạnh bên của hình thang cân $IJHK$ là $IK$ và $JH$.

Vì hai cạnh bên bằng nhau nên:

$$JH = IK = 5 \text{ cm}$$

Bài mẫu 2: Cho hình bình hành $ABCD$ có $I$ là giao điểm của hai đường chéo, biết $AB = 8$ cm, $BC = 2$ cm, $OA = 3$ cm. Tính độ dài $CD$, $AD$ và $AC$.

Lời giải:

Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau, nên:

$$CD = AB = 8 \text{ cm}$$

$$AD = BC = 2 \text{ cm}$$

Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Giao điểm $I$ là trung điểm của $AC$, nghĩa là $IA = IC$. Ta có $OA = 3$ cm, nên:

$$AC = 2 \times OA = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$$

Bài mẫu 3: Cho hình thoi $MNOP$ với $I$ là giao điểm của hai đường chéo, biết $MP = 6$ cm. Tính độ dài $MN$, $NO$ và $OP$.

Lời giải:

Trong hình thoi, bốn cạnh bằng nhau.

Ta đã biết $MP$ là một cạnh (hoặc đường chéo). Tuy nhiên, $M$ và $P$ là hai đỉnh đối diện trong hình thoi $MNOP$, nên $MP$ chính là đường chéo, không phải cạnh.

Nhưng trong hình thoi $MNOP$, thứ tự các đỉnh liên tiếp là $M$, $N$, $O$, $P$. Vậy $MN$ là cạnh, còn $MO$ và $NP$ là hai đường chéo. Suy ra $MP$ là một cạnh (từ $P$ kề $M$).

Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau:

$$MN = NO = OP = PM = 6 \text{ cm}$$

Sai lầm thường gặp

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du