Mở rộng khái niệm phân số

Ở bậc Tiểu học, các em đã làm quen với phân số có tử và mẫu đều là số tự nhiên, chẳng hạn $\dfrac{3}{4}$ hay $\dfrac{7}{10}$. Khi học lên lớp 6, khái niệm phân số được mở rộng sang tập hợp số nguyên.

Định nghĩa phân số

Với $a, b$ là các số nguyên và $b \neq 0$, biểu thức $\dfrac{a}{b}$ được gọi là một phân số. Trong đó:

• $a$ gọi là tử số (hay gọi tắt là tử).
• $b$ gọi là mẫu số (hay gọi tắt là mẫu).

Phân số $\dfrac{a}{b}$ chính là kết quả của phép chia $a$ cho $b$.

Ví dụ: Phép chia $(-3) : 7$ cho ta phân số $\dfrac{-3}{7}$ (đọc là “âm ba phần bảy”).

Ví dụ: Phân số $\dfrac{4}{-11}$ có tử số là $4$, mẫu số là $-11$ (đọc là “bốn phần âm mười một”).

Lưu ý quan trọng:

• Mẫu số luôn phải khác 0 (vì không thể chia cho 0).
• Tử và mẫu phải là số nguyên. Chẳng hạn $\dfrac{2{,}5}{-4}$ không phải là phân số vì $2{,}5$ không phải số nguyên.

Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số

Bất kỳ số nguyên $a$ nào cũng có thể biểu diễn thành phân số $\dfrac{a}{1}$.

Ví dụ: $5 = \dfrac{5}{1}$, $;-7 = \dfrac{-7}{1}$, $;0 = \dfrac{0}{1}$.

Hai phân số bằng nhau

Quy tắc nhận biết

Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau khi tích chéo của chúng bằng nhau:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c$$

Nói cách khác, ta nhân tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia, rồi so sánh hai tích. Nếu hai tích bằng nhau thì hai phân số bằng nhau.

Ví dụ: Xét hai phân số $\dfrac{-6}{8}$ và $\dfrac{3}{-4}$.

Ta tính tích chéo:

• $(-6) \times (-4) = 24$
• $8 \times 3 = 24$

Hai tích bằng nhau nên $\dfrac{-6}{8} = \dfrac{3}{-4}$.

Ví dụ: Xét hai phân số $\dfrac{2}{7}$ và $\dfrac{5}{12}$.

Ta tính tích chéo:

• $2 \times 12 = 24$
• $7 \times 5 = 35$

Hai tích khác nhau ($24 \neq 35$) nên $\dfrac{2}{7} \neq \dfrac{5}{12}$.

Tính chất cơ bản của phân số

Phân số có hai tính chất cơ bản giúp ta tạo ra các phân số bằng nhau hoặc rút gọn phân số.

Tính chất 1 – Nhân cả tử và mẫu với cùng một số

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số nguyên khác 0, ta được một phân số bằng phân số đã cho:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} \quad \text{với } m \in \mathbb{Z},; m \neq 0$$

Ví dụ: $\dfrac{3}{-7} = \dfrac{3 \times (-2)}{(-7) \times (-2)} = \dfrac{-6}{14}$

Tính chất 2 – Chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung

Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một ước chung của chúng, ta được một phân số bằng phân số đã cho:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : n}{b : n} \quad \text{với } n \text{ là ước chung của } a \text{ và } b$$

Ví dụ: $\dfrac{-15}{20} = \dfrac{(-15) : 5}{20 : 5} = \dfrac{-3}{4}$

Chuyển phân số có mẫu âm thành mẫu dương

Mọi phân số đều có thể viết dưới dạng mẫu số dương. Cách làm: nhân cả tử và mẫu với $(-1)$ (tức là đổi dấu cả tử lẫn mẫu).

Ví dụ: $\dfrac{5}{-9} = \dfrac{5 \times (-1)}{(-9) \times (-1)} = \dfrac{-5}{9}$

Ví dụ: $\dfrac{-7}{-3} = \dfrac{(-7) \times (-1)}{(-3) \times (-1)} = \dfrac{7}{3}$

Rút gọn phân số

Rút gọn phân số là chia cả tử và mẫu cho một ước chung (khác $\pm 1$) của chúng để được phân số đơn giản hơn.

Phân số được gọi là tối giản khi tử và mẫu không còn ước chung nào khác $1$ và $-1$.

Ví dụ: Rút gọn $\dfrac{-18}{24}$.

Ước chung lớn nhất của $18$ và $24$ là $6$.

$$\dfrac{-18}{24} = \dfrac{(-18) : 6}{24 : 6} = \dfrac{-3}{4}$$

Phân số $\dfrac{-3}{4}$ là phân số tối giản vì $3$ và $4$ không có ước chung nào khác $1$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm các cặp phân số bằng nhau

Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân chéo. Với hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$, ta tính hai tích chéo $a \cdot d$ và $b \cdot c$. Nếu hai tích bằng nhau thì hai phân số bằng nhau; ngược lại thì không bằng nhau.

Bài mẫu 1: Kiểm tra $\dfrac{-1}{3}$ và $\dfrac{3}{-9}$ có bằng nhau không?

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân chéo, ta tính:

• Tích thứ nhất: $(-1) \times (-9) = 9$
• Tích thứ hai: $3 \times 3 = 9$

So sánh: $9 = 9$ → Hai tích chéo bằng nhau.

Kết luận: $\dfrac{-1}{3} = \dfrac{3}{-9}$. ✓

Bài mẫu 2: Kiểm tra $\dfrac{-8}{5}$ và $\dfrac{-16}{10}$ có bằng nhau không?

Lời giải:

Ta tính hai tích chéo:

• Tích thứ nhất: $(-8) \times 10 = -80$
• Tích thứ hai: $5 \times (-16) = -80$

So sánh: $-80 = -80$ → Hai tích chéo bằng nhau.

Kết luận: $\dfrac{-8}{5} = \dfrac{-16}{10}$. ✓

Bài mẫu 3: Kiểm tra $\dfrac{5}{7}$ và $\dfrac{9}{13}$ có bằng nhau không?

Lời giải:

Ta tính hai tích chéo:

• Tích thứ nhất: $5 \times 13 = 65$
• Tích thứ hai: $7 \times 9 = 63$

So sánh: $65 \neq 63$ → Hai tích chéo không bằng nhau.

Kết luận: $\dfrac{5}{7} \neq \dfrac{9}{13}$. ✗

Dạng 2: Điền số thích hợp vào ô trống

Phương pháp: Xem xét tử hoặc mẫu đã được nhân (hoặc chia) với bao nhiêu, rồi thực hiện phép tính tương tự cho số còn lại. Nếu không nhận ra ngay, ta dùng tích chéo để tìm số chưa biết.

Bài mẫu 1: Điền số thích hợp: $\dfrac{-1}{3} = \dfrac{3}{?}$

Lời giải:

Quan sát tử số: từ $-1$ sang $3$, ta đã nhân với $(-3)$ (vì $(-1) \times (-3) = 3$).

Theo tính chất cơ bản, mẫu cũng phải nhân với $(-3)$:

$$3 \times (-3) = -9$$

Vậy: $\dfrac{-1}{3} = \dfrac{3}{-9}$.

Kiểm tra lại: $(-1) \times (-9) = 9$ và $3 \times 3 = 9$. ✓

Bài mẫu 2: Điền số thích hợp: $\dfrac{5}{7} = \dfrac{?}{-28}$

Lời giải:

Quan sát mẫu số: từ $7$ sang $-28$, ta đã nhân với $(-4)$ (vì $7 \times (-4) = -28$).

Theo tính chất cơ bản, tử cũng phải nhân với $(-4)$:

$$5 \times (-4) = -20$$

Vậy: $\dfrac{5}{7} = \dfrac{-20}{-28}$.

Bài mẫu 3: Điền số thích hợp: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{?} = \dfrac{?}{18} = \dfrac{20}{?}$

Lời giải:

• Ô thứ nhất: Tử từ $2$ sang $8$, nhân với $4$. Mẫu: $3 \times 4 = 12$. → $\dfrac{8}{12}$
• Ô thứ hai: Mẫu từ $3$ sang $18$, nhân với $6$. Tử: $2 \times 6 = 12$. → $\dfrac{12}{18}$
• Ô thứ ba: Tử từ $2$ sang $20$, nhân với $10$. Mẫu: $3 \times 10 = 30$. → $\dfrac{20}{30}$

Vậy: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{20}{30}$.

Dạng 3: Lập các cặp phân số bằng nhau từ đẳng thức

Phương pháp: Từ đẳng thức $a \cdot d = b \cdot c$, ta xem $a, b, c, d$ lần lượt đóng vai trò tử–mẫu của hai phân số. Bốn số cho ta nhiều cặp phân số bằng nhau, cụ thể:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d};\quad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d};\quad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a};\quad \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$$

(Mỗi thừa số của vế này lập thành phân số với thừa số tương ứng của vế kia.)

Bài mẫu 1: Lập các cặp phân số bằng nhau từ đẳng thức $(-4) \cdot 6 = 3 \cdot (-8)$.

Lời giải:

Ta có: $(-4) \cdot 6 = 3 \cdot (-8) = -24$.

Từ đẳng thức này, ta xác định: $a = -4,; d = 6,; b = 3,; c = -8$.

Các cặp phân số bằng nhau:

$$\dfrac{-4}{3} = \dfrac{-8}{6};\quad \dfrac{-4}{-8} = \dfrac{3}{6};\quad \dfrac{6}{3} = \dfrac{-8}{-4};\quad \dfrac{6}{-8} = \dfrac{3}{-4}$$

Bài mẫu 2: Lập các cặp phân số bằng nhau từ đẳng thức $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$.

Lời giải:

Ta có: $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9 = 18$.

Các cặp phân số bằng nhau:

$$\dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{6};\quad \dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{6};\quad \dfrac{6}{2} = \dfrac{9}{3};\quad \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$$

Dạng 4: Tìm số nguyên x

Phương pháp: Dùng quy tắc nhân chéo $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ để thiết lập phương trình, sau đó giải tìm $x$.

Bài mẫu 1: Tìm số nguyên $x$, biết $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2}{6}$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân chéo:

$$x \cdot 6 = 3 \cdot 2$$

$$6x = 6$$

$$x = 1$$

Kiểm tra: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ vì $1 \times 6 = 3 \times 2 = 6$. ✓

Bài mẫu 2: Tìm số nguyên $x$, biết $\dfrac{x-1}{4} = \dfrac{1}{-2}$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân chéo:

$$(x – 1) \cdot (-2) = 4 \cdot 1$$

$$-2(x – 1) = 4$$

$$-2x + 2 = 4$$

$$-2x = 2$$

$$x = -1$$

Kiểm tra: $\dfrac{-1 – 1}{4} = \dfrac{-2}{4}$ và $\dfrac{1}{-2} = \dfrac{-1}{2}$.

Nhân chéo: $(-2) \times 2 = -4$ và $4 \times (-1) = -4$. ✓

Bài mẫu 3: Tìm số nguyên $x$, biết $\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{3}{x+1}$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân chéo:

$$(x + 1) \cdot (x + 1) = 3 \cdot 3$$

$$(x + 1)^2 = 9$$

Từ đây suy ra:

• $x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$
• $x + 1 = -3 \Rightarrow x = -4$

Kiểm tra:

• Với $x = 2$: $\dfrac{3}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$. ✓
• Với $x = -4$: $\dfrac{-3}{3} = \dfrac{3}{-3} = -1$. ✓

Vậy $x = 2$ hoặc $x = -4$.

Dạng 5: Giải thích sự bằng nhau của phân số

Phương pháp: Phân tích tử và mẫu để tìm ước chung, sau đó rút gọn cả hai phân số về cùng dạng tối giản. Nếu kết quả giống nhau thì hai phân số bằng nhau.

Bài mẫu 1: Giải thích tại sao $\dfrac{-4040}{6060} = \dfrac{-2}{3}$.

Lời giải:

Ta nhận thấy $4040 = 2 \times 2020$ và $6060 = 3 \times 2020$.

Rút gọn phân số bên trái bằng cách chia cả tử và mẫu cho $2020$:

$$\dfrac{-4040}{6060} = \dfrac{(-4040) : 2020}{6060 : 2020} = \dfrac{-2}{3}$$

Vậy $\dfrac{-4040}{6060} = \dfrac{-2}{3}$. ✓

Bài mẫu 2: Giải thích tại sao $\dfrac{-1111}{2222} = \dfrac{-1}{2}$.

Lời giải:

Ta nhận thấy $1111$ là thừa số chung: $1111 = 1 \times 1111$ và $2222 = 2 \times 1111$.

Chia cả tử và mẫu cho $1111$:

$$\dfrac{-1111}{2222} = \dfrac{(-1111) : 1111}{2222 : 1111} = \dfrac{-1}{2}$$

Vậy $\dfrac{-1111}{2222} = \dfrac{-1}{2}$. ✓

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Chuyển mẫu âm sang dương: Chỉ cần “đổi dấu cả trên lẫn dưới” (nhân cả tử và mẫu với $-1$).

Kiểm tra phân số bằng nhau: Nhân chéo rồi so sánh — đây là cách nhanh nhất và ít sai nhất.

Rút gọn về tối giản trong một bước: Tìm ƯCLN (ước chung lớn nhất) của giá trị tuyệt đối tử và mẫu, rồi chia cả hai cho ƯCLN đó.

Lập phân số bằng nhau từ đẳng thức: Nhớ quy tắc “hai thừa số ở cùng một vế — một số làm tử, số kia làm mẫu”.

Điền ô trống nhanh: Xác định tử (hoặc mẫu) đã nhân/chia với bao nhiêu, rồi làm tương tự cho số còn lại. Không cần dùng nhân chéo nếu nhận ra ngay hệ số.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du