Khả năng xảy ra của một sự kiện

Ở Bài 42, ta đã biết khi thực hiện trò chơi hay thí nghiệm, một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Vậy làm sao để đo lường khả năng xảy ra của một sự kiện? Người ta dùng một con số từ 0 đến 1 để biểu diễn khả năng đó.

• Khả năng bằng 0 (hay 0%): sự kiện đó không bao giờ xảy ra.
• Khả năng bằng 1 (hay 100%): sự kiện đó chắc chắn xảy ra.
• Khả năng nằm giữa 0 và 1: sự kiện có thể xảy ra hoặc không, tùy thuộc vào kết quả cụ thể.

Ba loại sự kiện

Dựa vào khả năng xảy ra, ta phân biệt ba loại sự kiện:

• Sự kiện chắc chắn: là sự kiện luôn xảy ra mỗi khi thực hiện trò chơi hoặc thí nghiệm. Ví dụ: gieo 2 xúc xắc, sự kiện “tổng số chấm lớn hơn 1” luôn xảy ra (vì mỗi xúc xắc ít nhất 1 chấm, tổng nhỏ nhất là $1 + 1 = 2 > 1$).
• Sự kiện không thể: là sự kiện không bao giờ xảy ra. Ví dụ: gieo 2 xúc xắc, sự kiện “tổng số chấm bằng 1” không thể xảy ra (vì tổng nhỏ nhất là 2).
• Sự kiện có thể: là sự kiện có thể xảy ra hoặc không, tùy kết quả. Ví dụ: gieo 2 xúc xắc, sự kiện “hai mặt cùng số chấm” có thể xảy ra (khi cả hai đều ra mặt 3 chẳng hạn) nhưng cũng có thể không (khi ra 2 và 5).

Xác suất thực nghiệm là gì?

Khi ta lặp đi lặp lại một trò chơi hoặc thí nghiệm nhiều lần, tỉ số giữa số lần sự kiện xảy ra và tổng số lần thực hiện được gọi là xác suất thực nghiệm của sự kiện đó.

Công thức

$$P(A) = \frac{k}{n}$$

Trong đó:

• $P(A)$: xác suất thực nghiệm của sự kiện $A$.
• $k$: số lần sự kiện $A$ xảy ra.
• $n$: tổng số lần thực hiện trò chơi hoặc thí nghiệm.

Ví dụ nhanh: Quay tấm bìa 20 lần, thấy mũi tên chỉ vào ô màu vàng 7 lần. Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Mũi tên chỉ vào ô màu vàng” là:

$$P = \frac{7}{20} = 0{,}35 = 35%$$

Nhận xét quan trọng: Xác suất thực nghiệm phụ thuộc vào người thực hiện và số lần thực hiện. Cùng một thí nghiệm nhưng nếu người khác thực hiện, hoặc số lần thực hiện khác nhau, thì xác suất thực nghiệm có thể cho kết quả khác nhau. Ví dụ: Vuông gieo đồng xu 50 lần thấy 30 lần sấp → xác suất = $\dfrac{30}{50}$. Tròn gieo 100 lần thấy 55 lần sấp → xác suất = $\dfrac{55}{100}$. Cả hai đều đúng, chỉ là kết quả thực nghiệm khác nhau.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết sự kiện chắc chắn, không thể, có thể

Phương pháp giải

• Bước 1: Xác định tất cả kết quả có thể của trò chơi/thí nghiệm.
• Bước 2: Với mỗi sự kiện, kiểm tra:
  • Nếu sự kiện luôn đúng với mọi kết quả có thể → sự kiện chắc chắn.
  • Nếu sự kiện không đúng với bất kỳ kết quả nào → sự kiện không thể.
  • Nếu sự kiện đúng với một số kết quả và sai với một số kết quả khác → sự kiện có thể.

Ví dụ 1

Gieo 2 con xúc xắc cân đối và quan sát số chấm xuất hiện. Hãy đánh giá các sự kiện sau là chắc chắn, không thể hay có thể xảy ra:

1. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 1.
2. Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 1.
3. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 1.
4. Hai mặt con xúc xắc cùng số chấm.
5. Số chấm trên hai mặt con xúc xắc đều là số lẻ.

Lời giải chi tiết:

Trước hết, ta xác định: mỗi con xúc xắc có thể cho kết quả từ 1 đến 6. Vậy khi gieo 2 xúc xắc:

• Tổng nhỏ nhất: $1 + 1 = 2$. Tổng lớn nhất: $6 + 6 = 12$.
• Tích nhỏ nhất: $1 \times 1 = 1$. Tích lớn nhất: $6 \times 6 = 36$.

1) “Tổng số chấm bằng 1”:

Tổng nhỏ nhất là 2. Không có cách nào để tổng bằng 1.

→ Sự kiện không thể xảy ra. ✗

2) “Tích số chấm bằng 1”:

Tích bằng 1 khi cả hai xúc xắc đều ra mặt 1 chấm ($1 \times 1 = 1$). Điều này có thể xảy ra nhưng không phải lúc nào cũng xảy ra.

→ Sự kiện có thể xảy ra. ✓/✗

3) “Tổng số chấm lớn hơn 1”:

Tổng nhỏ nhất là 2, mà $2 > 1$. Dù gieo ra kết quả nào thì tổng cũng luôn lớn hơn 1.

→ Sự kiện chắc chắn xảy ra. ✓✓

4) “Hai mặt cùng số chấm”:

Có thể xảy ra (ví dụ cả hai đều ra 3), nhưng cũng có thể không (ví dụ ra 2 và 5).

→ Sự kiện có thể xảy ra. ✓/✗

5) “Số chấm trên hai mặt đều là số lẻ”:

Các số lẻ từ 1 đến 6: 1, 3, 5. Hoàn toàn có thể cả hai xúc xắc đều ra số lẻ (ví dụ: 1 và 3). Nhưng cũng có thể không (ví dụ: 2 và 5).

→ Sự kiện có thể xảy ra. ✓/✗

Ví dụ 2

Hộp có 10 lá thăm đánh số từ 0 đến 9. Lấy ra 2 lá thăm. Xét các sự kiện:

1. Tổng số ghi trên hai lá thăm bằng 1.
2. Tích số ghi trên hai lá thăm bằng 0.
3. Tổng số ghi trên hai lá thăm lớn hơn 18.

Lời giải chi tiết:

Các lá thăm ghi số từ 0 đến 9.

1) “Tổng bằng 1”:

Có thể lấy được lá thăm số 0 và lá thăm số 1 → tổng = $0 + 1 = 1$. Nhưng cũng có thể lấy 2 lá khác → tổng khác 1.

→ Sự kiện có thể xảy ra.

2) “Tích bằng 0”:

Tích bằng 0 khi ít nhất một lá thăm ghi số 0. Trong hộp có lá thăm số 0, nên hoàn toàn có thể lấy được nó. Nhưng cũng có thể không lấy được lá số 0.

→ Sự kiện có thể xảy ra.

3) “Tổng lớn hơn 18”:

Tổng lớn nhất có thể = $8 + 9 = 17$ (vì lấy 2 lá thăm khác nhau, hai số lớn nhất là 8 và 9). Mà $17 < 18$.

→ Sự kiện không thể xảy ra.

Dạng 2: Tính xác suất thực nghiệm

Phương pháp giải

• Bước 1: Xác định tổng số lần thực hiện trò chơi/thí nghiệm → đây là $n$.
• Bước 2: Đếm số lần sự kiện cần tính xảy ra → đây là $k$. Nếu sự kiện liên quan đến nhiều kết quả (ví dụ: “số chấm chẵn” gồm mặt 2, 4, 6), cộng số lần xuất hiện của tất cả các kết quả thỏa mãn.
• Bước 3: Áp dụng công thức:

$$P(A) = \frac{k}{n}$$

Có thể đổi ra phần trăm bằng cách nhân với 100%.

Ví dụ 1

Trong buổi thực hành môn Khoa học tự nhiên, lớp 6A có 40 học sinh thực hiện phép đo thể tích. Kết quả: 35 học sinh thực hiện thành công. Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện “Phép đo được thực hiện thành công”.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số lần thực hiện: $n = 40$ (40 học sinh thực hiện phép đo).

Bước 2: Số lần sự kiện xảy ra (đo thành công): $k = 35$.

Bước 3: Áp dụng công thức:

$$P = \frac{k}{n} = \frac{35}{40}$$

Rút gọn phân số: $\dfrac{35}{40} = \dfrac{7}{8}$.

Đổi ra phần trăm: $\dfrac{7}{8} = 0{,}875 = 87{,}5%$.

→ Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Phép đo thành công” là $\dfrac{35}{40} = 87{,}5%$.

Ví dụ 2

An gieo hai con xúc xắc cùng lúc 80 lần. Ở mỗi lần gieo, An cộng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc và ghi lại kết quả:

Nếu tổng số chấm lớn hơn 6 thì An thắng. Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện “An thắng”.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số lần gieo: $n = 80$.

Bước 2: An thắng khi tổng số chấm lớn hơn 6, tức là tổng $\geq 7$. Ta cộng số lần ứng với các tổng từ 7 trở lên:

$$k = 14 + 12 + 9 + 6 + 4 + 3 = 48$$

Kiểm tra: Tổng tất cả số lần = $2 + 5 + 6 + 8 + 11 + 14 + 12 + 9 + 6 + 4 + 3 = 80$ ✓ (đúng bằng $n$).

Bước 3: Áp dụng công thức:

$$P(\text{An thắng}) = \frac{k}{n} = \frac{48}{80}$$

Rút gọn: $\dfrac{48}{80} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60%$.

→ Xác suất thực nghiệm của sự kiện “An thắng” là $\dfrac{48}{80} = \dfrac{3}{5} = 60%$.

Ví dụ 3

Gieo con xúc xắc 6 mặt 100 lần, kết quả thu được:

a) Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện gieo được mặt có 6 chấm.

b) Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện gieo được mặt có số chấm chẵn.

c) Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện gieo được mặt có số chấm lẻ.

Lời giải chi tiết:

Tổng số lần gieo: $n = 100$.

a) Sự kiện “gieo được mặt 6 chấm”:

Số lần mặt 6 chấm xuất hiện: $k = 20$.

$$P(\text{6 chấm}) = \frac{20}{100} = 0{,}2 = 20%$$

b) Sự kiện “gieo được mặt có số chấm chẵn”:

Các mặt chẵn: 2 chấm, 4 chấm, 6 chấm. Ta cộng số lần xuất hiện:

$$k = 18 + 14 + 20 = 52$$

$$P(\text{chẵn}) = \frac{52}{100} = 0{,}52 = 52%$$

c) Sự kiện “gieo được mặt có số chấm lẻ”:

Các mặt lẻ: 1 chấm, 3 chấm, 5 chấm. Ta cộng:

$$k = 17 + 15 + 16 = 48$$

$$P(\text{lẻ}) = \frac{48}{100} = 0{,}48 = 48%$$

Kiểm tra: $P(\text{chẵn}) + P(\text{lẻ}) = 0{,}52 + 0{,}48 = 1$ ✓. Điều này hợp lí vì mỗi lần gieo, kết quả hoặc chẵn hoặc lẻ, tổng xác suất phải bằng 1.

Ví dụ 4

Tung hai đồng xu cân đối 50 lần, kết quả:

a) Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện “Có một đồng sấp một đồng ngửa”.

b) Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện “Hai đồng xu ngửa”.

Lời giải chi tiết:

Tổng số lần tung: $n = 50$.

Kiểm tra: $12 + 24 + 14 = 50$ ✓

a) Sự kiện “Một sấp một ngửa”:

Số lần xảy ra: $k = 24$.

$$P = \frac{24}{50} = 0{,}48 = 48%$$

b) Sự kiện “Hai đồng ngửa”:

Số lần xảy ra: $k = 14$.

$$P = \frac{14}{50} = 0{,}28 = 28%$$

Những sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Mẹo kiểm tra kết quả: Sau khi tính $P(A)$, kiểm tra $0 \leq P(A) \leq 1$. Nếu kết quả âm hoặc lớn hơn 1 thì chắc chắn đã tính sai.
• Mẹo kiểm tra bổ sung: Nếu đề cho đủ tất cả sự kiện bao trùm (ví dụ: chẵn + lẻ, hoặc sấp + ngửa), tổng xác suất thực nghiệm của chúng phải bằng 1. Nếu không bằng 1 thì đã đếm sai.
• Mẹo phân biệt 3 loại sự kiện: Tự hỏi: “Có trường hợp nào sự kiện KHÔNG xảy ra không?” và “Có trường hợp nào sự kiện xảy ra không?” Nếu luôn xảy ra → chắc chắn. Nếu không bao giờ → không thể. Nếu lúc có lúc không → có thể.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du