Lý thuyết luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Phép nâng lên luỹ thừa

Luỹ thừa bậc $n$ của số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$ (với $n \in \mathbb{N}^*$):

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a}_{n \text{ thừa số}}$$

Trong đó:

• $a^n$ đọc là “$a$ mũ $n$” hoặc “$a$ luỹ thừa $n$”.
• $a$ gọi là cơ số.
• $n$ gọi là số mũ.

Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên luỹ thừa.

Ví dụ: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Ở đây cơ số là $2$, số mũ là $4$.

Một số quy ước và thuật ngữ

• $a^1 = a$ (luỹ thừa bậc 1 của $a$ chính là $a$).
• $a^0 = 1$ (với $a \neq 0$).
• $a^2$ còn gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$).
• $a^3$ còn gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$).

Các số $0, 1, 4, 9, 16, 25, …$ được gọi là các số chính phương (là bình phương của các số tự nhiên $0, 1, 2, 3, 4, 5, …$).

Viết số tự nhiên bằng luỹ thừa của 10

Ta có: $10^2 = 100$, $10^3 = 1\ 000$, $10^4 = 10\ 000$, …

Nhờ đó, mọi số tự nhiên đều có thể viết thành tổng giá trị các chữ số bằng cách dùng luỹ thừa của $10$.

Ví dụ: $5\ 381 = 5 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 1$

Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

Ví dụ: $3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$

Quy tắc này cũng áp dụng khi nhân nhiều luỹ thừa cùng cơ số:

$$10^3 \cdot 10^5 \cdot 10^2 = 10^{3+5+2} = 10^{10}$$

Chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ đi số mũ của số chia:

$$a^m : a^n = a^{m – n} \qquad (\text{với } a \neq 0, \ m \geq n)$$

Ví dụ: $5^8 : 5^3 = 5^{8-3} = 5^5$

Luỹ thừa của luỹ thừa và tích

Ngoài ra, ta còn có hai công thức quan trọng:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$$

Ví dụ: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ và $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1\ 000$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Thực hiện phép tính, viết dưới dạng luỹ thừa

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:

• $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot … \cdot a}_{n \text{ thừa số}}$
• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $a^m : a^n = a^{m-n}$ (với $a \neq 0$, $m \geq n$)
• $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$

Khi gặp các số như $4, 8, 16, 25, 27, 32, 64, 125, 243, …$ hãy nhớ viết chúng dưới dạng luỹ thừa ($4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $25 = 5^2$, $27 = 3^3$, …) để có thể áp dụng công thức.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Viết các tích sau dưới dạng một luỹ thừa:

a) $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$   b) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Lời giải:

a) Ta đếm thấy có 6 thừa số bằng $7$ nhân với nhau.

Theo định nghĩa luỹ thừa, tích của $n$ thừa số bằng $a$ là $a^n$.

$$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^6$$

b) Ở đây có hai nhóm thừa số khác nhau: ba thừa số $3$ và bốn thừa số $5$.

Ta viết riêng từng nhóm:

$$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5^4$$

Ví dụ 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng một luỹ thừa:

a) $64 : 2^3$   b) $7^5 : 343$   c) $243 : 3^3 : 3$

Lời giải:

a) Trước tiên, ta cần viết $64$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $2$.

Ta biết $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Bây giờ áp dụng công thức chia hai luỹ thừa cùng cơ số:

$$64 : 2^3 = 2^6 : 2^3 = 2^{6-3} = 2^3$$

b) Trước tiên, viết $343$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $7$.

Ta biết $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$.

$$7^5 : 343 = 7^5 : 7^3 = 7^{5-3} = 7^2$$

c) Viết $243 = 3^5$. Sau đó chia lần lượt:

$$243 : 3^3 : 3 = 3^5 : 3^3 : 3$$

Chia từ trái sang phải: $3^5 : 3^3 = 3^{5-3} = 3^2$.

Tiếp tục: $3^2 : 3 = 3^2 : 3^1 = 3^{2-1} = 3^1 = 3$.

Ví dụ 3: Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa của một số:

a) $A = 4^2 \cdot 16^3$   b) $B = 9^3 \cdot 27^2 \cdot 3$

Lời giải:

a) Ý tưởng: đưa tất cả về cùng cơ số. Ta biết $4 = 2^2$ và $16 = 2^4$.

$$A = 4^2 \cdot 16^3 = (2^2)^2 \cdot (2^4)^3$$

Áp dụng $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$= 2^{2 \cdot 2} \cdot 2^{4 \cdot 3} = 2^4 \cdot 2^{12}$$

Áp dụng $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$= 2^{4+12} = 2^{16}$$

b) Đưa tất cả về cơ số $3$. Ta biết $9 = 3^2$ và $27 = 3^3$.

$$B = 9^3 \cdot 27^2 \cdot 3 = (3^2)^3 \cdot (3^3)^2 \cdot 3^1$$

$$= 3^6 \cdot 3^6 \cdot 3^1 = 3^{6+6+1} = 3^{13}$$

Ví dụ 4: Thực hiện phép tính:

a) $4 \cdot 3^2 – 24 : 4$   b) $20 – [25 – (4 – 1)^2]$

Lời giải:

a) Theo thứ tự phép tính: tính luỹ thừa trước, rồi nhân chia, cuối cùng cộng trừ.

Bước 1: Tính luỹ thừa: $3^2 = 9$.

Bước 2: Tính nhân chia: $4 \cdot 9 = 36$ và $24 : 4 = 6$.

Bước 3: Tính trừ: $36 – 6 = 30$.

b) Tính từ trong ngoặc ra ngoài.

Bước 1: Tính ngoặc tròn trước: $4 – 1 = 3$, nên $(4 – 1)^2 = 3^2 = 9$.

Bước 2: Tính ngoặc vuông: $25 – 9 = 16$.

Bước 3: Tính kết quả: $20 – 16 = 4$.

Ví dụ 5: Tìm các số mũ $n$ sao cho luỹ thừa $2^n$ thoả mãn: $15 < 2^n < 130$

Lời giải:

Ta tính lần lượt các luỹ thừa của $2$ để xem giá trị nào nằm trong khoảng từ $15$ đến $130$:

• $2^3 = 8$ → nhỏ hơn $15$ → không thoả mãn.
• $2^4 = 16$ → $15 < 16$ ✓ và $16 < 130$ ✓ → thoả mãn.
• $2^5 = 32$ → $15 < 32$ ✓ và $32 < 130$ ✓ → thoả mãn.
• $2^6 = 64$ → $15 < 64$ ✓ và $64 < 130$ ✓ → thoả mãn.
• $2^7 = 128$ → $15 < 128$ ✓ và $128 < 130$ ✓ → thoả mãn.
• $2^8 = 256$ → $256 > 130$ → không thoả mãn.

Vậy các giá trị của $n$ thoả mãn là $n \in {4;\ 5;\ 6;\ 7}$.

Dạng 2: So sánh các luỹ thừa

Phương pháp giải

Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường biến đổi về hai luỹ thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ, sau đó áp dụng quy tắc:

• Nếu cùng cơ số (lớn hơn $1$): luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. Tức là: $a^m > a^n \Leftrightarrow m > n$ (khi $a > 1$).
• Nếu cùng số mũ (lớn hơn $0$): luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. Tức là: $a^n > b^n \Leftrightarrow a > b$ (khi $n > 0$).
• Nếu $a = 0$ hoặc $a = 1$ thì $a^m = a^n$ (với mọi $m, n \neq 0$).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: So sánh:

a) $555^{12}$ và $555^{19}$   b) $2\ 011^8$ và $2\ 012^8$

Lời giải:

a) Hai luỹ thừa có cùng cơ số $555$ (lớn hơn $1$).

Ta so sánh số mũ: $12 < 19$.

Vì cùng cơ số lớn hơn $1$, số mũ nào lớn hơn thì luỹ thừa đó lớn hơn.

$$\text{Vậy } 555^{12} < 555^{19}$$

b) Hai luỹ thừa có cùng số mũ $8$ (lớn hơn $0$).

Ta so sánh cơ số: $2\ 011 < 2\ 012$.

Vì cùng số mũ lớn hơn $0$, cơ số nào lớn hơn thì luỹ thừa đó lớn hơn.

$$\text{Vậy } 2\ 011^8 < 2\ 012^8$$

Ví dụ 2: So sánh $2^{400}$ và $3^{300}$.

Lời giải:

Hai luỹ thừa này có cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau. Ta cần biến đổi để đưa về cùng số mũ.

Bước 1: Tìm cách viết lại sao cho cùng số mũ. Ta thấy $400 = 4 \times 100$ và $300 = 3 \times 100$.

$$2^{400} = 2^{4 \times 100} = (2^4)^{100} = 16^{100}$$

$$3^{300} = 3^{3 \times 100} = (3^3)^{100} = 27^{100}$$

Bước 2: Bây giờ hai luỹ thừa có cùng số mũ $100$. So sánh cơ số: $16 < 27$.

Vì cùng số mũ $100 > 0$ và $16 < 27$, nên $16^{100} < 27^{100}$.

$$\text{Vậy } 2^{400} < 3^{300}$$

Ví dụ 3: So sánh $A = 32^5$ và $B = 128^3$.

Lời giải:

Bước 1: Cả $32$ và $128$ đều là luỹ thừa của $2$. Ta viết lại:

• $32 = 2^5$, nên $A = (2^5)^5 = 2^{25}$.
• $128 = 2^7$, nên $B = (2^7)^3 = 2^{21}$.

Bước 2: Bây giờ cả hai có cùng cơ số $2 > 1$. So sánh số mũ: $25 > 21$.

$$\text{Vậy } A = 2^{25} > 2^{21} = B, \text{ tức } 32^5 > 128^3$$

Dạng 3: Tìm số chưa biết trong luỹ thừa

Phương pháp giải

Khi giải bài toán tìm $x$ có luỹ thừa, ta thường dùng một trong ba cách:

• Cách 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số, rồi so sánh số mũ.
• Cách 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ, rồi so sánh cơ số.
• Cách 3: Biến đổi về dạng tích các luỹ thừa, rồi dùng quy tắc nhân/chia.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm $x$, biết: $3^x \cdot 9 = 729$

Lời giải:

Bước 1: Viết $9$ và $729$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $3$.

Ta biết $9 = 3^2$ và $729 = 3^6$ (vì $3^6 = 729$).

Bước 2: Thay vào phương trình:

$$3^x \cdot 3^2 = 3^6$$

Bước 3: Vế trái là tích hai luỹ thừa cùng cơ số, áp dụng $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$3^{x + 2} = 3^6$$

Bước 4: Hai luỹ thừa cùng cơ số $3$ bằng nhau thì số mũ phải bằng nhau:

$$x + 2 = 6$$

$$x = 6 – 2 = 4$$

Thử lại: $3^4 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$ ✓

Ví dụ 2: Tìm $x$, biết: $2^x – 14 = 18$

Lời giải:

Bước 1: Tìm $2^x$ bằng cách chuyển vế. Vì $2^x$ trừ đi $14$ bằng $18$, nên:

$$2^x = 18 + 14 = 32$$

Bước 2: Viết $32$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $2$:

$$32 = 2^5$$

Bước 3: Vậy $2^x = 2^5$, suy ra $x = 5$.

Thử lại: $2^5 – 14 = 32 – 14 = 18$ ✓

Ví dụ 3: Tìm $x$, biết: $125 \cdot 5^x = 5^7$

Lời giải:

Bước 1: Viết $125$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $5$.

$$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$$

Bước 2: Thay vào phương trình:

$$5^3 \cdot 5^x = 5^7$$

Bước 3: Áp dụng công thức nhân luỹ thừa cùng cơ số:

$$5^{3 + x} = 5^7$$

Bước 4: Suy ra $3 + x = 7$, tức $x = 7 – 3 = 4$.

Thử lại: $125 \cdot 5^4 = 125 \cdot 625 = 78\ 125 = 5^7$ ✓

Ví dụ 4: Tìm $x$, biết: $4^3 \cdot 4^x = 4^{10}$

Lời giải:

Bước 1: Vế trái là tích hai luỹ thừa cùng cơ số $4$:

$$4^{3 + x} = 4^{10}$$

Bước 2: Cùng cơ số $4$, suy ra số mũ bằng nhau:

$$3 + x = 10$$

$$x = 10 – 3 = 7$$

Ví dụ 5: Tìm $x \in \mathbb{N}$, biết: $2^x \cdot 16^2 = 512$

Lời giải:

Bước 1: Viết $16$ và $512$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $2$.

$16 = 2^4$, nên $16^2 = (2^4)^2 = 2^8$.

$512 = 2^9$.

Bước 2: Thay vào phương trình:

$$2^x \cdot 2^8 = 2^9$$

Bước 3: Vế trái: $2^{x + 8} = 2^9$.

Bước 4: Suy ra $x + 8 = 9$, tức $x = 1$.

Thử lại: $2^1 \cdot 16^2 = 2 \cdot 256 = 512$ ✓

Những sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ và giải nhanh

Ghi nhớ các luỹ thừa thường gặp:

Nhân cùng cơ số → cộng mũ, chia cùng cơ số → trừ mũ. Đây là quy tắc cốt lõi, ghi nhớ bằng: “nhân thì cộng, chia thì trừ” (nói về số mũ).

So sánh luỹ thừa: Luôn tìm cách đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Nếu khác cả hai, tìm cách viết lại bằng $(a^m)^n = a^{mn}$.

Viết số dưới dạng luỹ thừa: Khi gặp $4, 8, 16, 32, 64, …$ → nghĩ đến cơ số $2$. Gặp $9, 27, 81, 243, …$ → nghĩ đến cơ số $3$. Gặp $25, 125, 625, …$ → nghĩ đến cơ số $5$.

Tổng kết

Bài Luỹ thừa với số mũ tự nhiên giới thiệu một phép tính mới quan trọng trong chương trình Toán lớp 6:

• Luỹ thừa $a^n$ là tích của $n$ thừa số bằng $a$. Trong đó $a$ là cơ số, $n$ là số mũ.
• $a^2$ gọi là bình phương của $a$; $a^3$ gọi là lập phương của $a$. Quy ước $a^1 = a$ và $a^0 = 1$ ($a \neq 0$).
• Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: giữ cơ số, cộng số mũ ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
• Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: giữ cơ số, trừ số mũ ($a^m : a^n = a^{m-n}$, $a \neq 0$, $m \geq n$).
• Luỹ thừa của luỹ thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• Thứ tự phép tính: luỹ thừa → nhân chia → cộng trừ.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du