Quan hệ chia hết

Khi nào $a$ chia hết cho $b$?

Xét hai số 21 và 22. Khi chia 21 cho 7 ta được $21 : 7 = 3$, phép chia không dư – ta nói 21 chia hết cho 7. Còn khi chia 22 cho 7 ta được 22 chia 7 bằng 3 dư 1 – ta nói 22 không chia hết cho 7.

Từ đó ta có định nghĩa:

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ (với $b \neq 0$). Nếu tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $a = k \cdot b$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu $a ;\vdots; b$. Nếu $a$ không chia hết cho $b$, ta kí hiệu $a ;\not\vdots; b$.

Ví dụ: $21 ;\vdots; 7$ (vì $21 = 3 \cdot 7$); $\quad 22 ;\not\vdots; 7$.

Nhận xét quan trọng: Trong một tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì tích cũng chia hết cho số đó.

Ví dụ: Mẹ cho Hùng 15 gói bánh, mỗi gói có 28 chiếc. Lớp Hùng có 7 tổ, hỏi Hùng có thể chia đều số bánh cho các tổ không?

Tổng số bánh là $15 \cdot 28$. Vì $28 ;\vdots; 7$ nên $(15 \cdot 28) ;\vdots; 7$. Vậy Hùng có thể chia đều số bánh cho 7 tổ.

Ước và bội

Khi $a$ chia hết cho $b$, ta có hai cách nói:

• $b$ là ước của $a$.
• $a$ là bội của $b$.

Ví dụ: $21 ;\vdots; 7$ nên 7 là ước của 21 và 21 là bội của 7.

Ta kí hiệu $Ư(a)$ là tập hợp tất cả các ước của $a$, và $B(b)$ là tập hợp các bội của $b$.

Cách tìm ước

Muốn tìm tất cả các ước của một số $a$ (với $a > 1$), ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ 1 đến $a$. Số nào mà $a$ chia hết thì đó là ước của $a$.

Ví dụ: Tìm tất cả các ước của 18.

Lần lượt chia 18 cho các số từ 1 đến 18:

• $18 : 1 = 18$ ✓
• $18 : 2 = 9$ ✓
• $18 : 3 = 6$ ✓
• $18 : 4$ → không chia hết ✗
• $18 : 5$ → không chia hết ✗
• $18 : 6 = 3$ ✓
• $18 : 7$ → không chia hết ✗
• …
• $18 : 9 = 2$ ✓
• $18 : 18 = 1$ ✓

Vậy $Ư(18) = \lbrace 1;; 2;; 3;; 6;; 9;; 18 \rbrace$.

Mẹo: Khi tìm ước, ta chỉ cần thử đến khi thương nhỏ hơn hoặc bằng số chia. Ví dụ với 18: khi chia đến $18 : 4$ thì thương ($4,5$) đã nhỏ hơn số chia, nên các ước còn lại ($6, 9, 18$) đã xuất hiện ở cột thương trước đó rồi.

Cách tìm bội

Muốn tìm các bội của một số $b$ (với $b \neq 0$), ta nhân $b$ lần lượt với $0;; 1;; 2;; 3;; …$

Ví dụ: Tìm các bội của 7 nhỏ hơn 40.

Nhân 7 lần lượt với $0;; 1;; 2;; 3;; 4;; 5$:

$$7 \cdot 0 = 0;\quad 7 \cdot 1 = 7;\quad 7 \cdot 2 = 14;\quad 7 \cdot 3 = 21;\quad 7 \cdot 4 = 28;\quad 7 \cdot 5 = 35$$

$7 \cdot 6 = 42 > 40$ nên dừng lại.

Các bội của 7 nhỏ hơn 40 là: $0;; 7;; 14;; 21;; 28;; 35$.

Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1 – Trường hợp chia hết

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó.

Viết gọn:

• Nếu $a ;\vdots; m$ và $b ;\vdots; m$ thì $(a + b) ;\vdots; m$.
• Nếu $a ;\vdots; m$, $b ;\vdots; m$ và $c ;\vdots; m$ thì $(a + b + c) ;\vdots; m$.

Chú ý: Tính chất này cũng đúng với phép trừ (hiệu). Ví dụ: $36 ;\vdots; 4$ và $20 ;\vdots; 4$ nên $(36 – 20) ;\vdots; 4$.

Ví dụ: Không thực hiện phép tính, cho biết $9 + 21 + 42$ có chia hết cho 3 không.

Vì $9 ;\vdots; 3$, $21 ;\vdots; 3$ và $42 ;\vdots; 3$ nên $(9 + 21 + 42) ;\vdots; 3$.

Tính chất 2 – Trường hợp không chia hết

Nếu trong một tổng, có đúng một số hạng không chia hết cho một số đã cho, còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó, thì tổng không chia hết cho số đã cho.

Viết gọn:

• Nếu $a ;\vdots; m$ và $b ;\not\vdots; m$ thì $(a + b) ;\not\vdots; m$.
• Nếu $a ;\vdots; m$, $b ;\vdots; m$ và $c ;\not\vdots; m$ thì $(a + b + c) ;\not\vdots; m$.

Chú ý: Tính chất này cũng đúng với phép trừ. Ví dụ: $50 ;\vdots; 5$ và $8 ;\not\vdots; 5$ nên $(50 – 8) ;\not\vdots; 5$.

Ví dụ: Không thực hiện phép tính, cho biết $10 + 35 + 2023$ có chia hết cho 5 không.

Vì $10 ;\vdots; 5$, $35 ;\vdots; 5$ nhưng $2023 ;\not\vdots; 5$ nên $(10 + 35 + 2023) ;\not\vdots; 5$.

Lưu ý quan trọng: Tính chất 2 chỉ áp dụng được khi đúng một số hạng không chia hết. Nếu có hai số hạng trở lên cùng không chia hết, ta không thể kết luận ngay – cần xét kĩ hơn (xem phần sai lầm thường gặp).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xét tính chia hết của một tổng (hiệu)

Phương pháp giải

• Kiểm tra từng số hạng xem có chia hết cho số đã cho hay không.
• Nếu tất cả các số hạng đều chia hết → áp dụng Tính chất 1 → tổng chia hết.
• Nếu đúng một số hạng không chia hết, các số hạng còn lại đều chia hết → áp dụng Tính chất 2 → tổng không chia hết.
• Nếu có nhiều số hạng cùng không chia hết → thử gộp các số hạng không chia hết lại, xét xem tổng (hoặc hiệu) của chúng có chia hết không, rồi mới kết luận cho cả biểu thức.

Bài mẫu

Bài mẫu 1. Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho 8 không?

a) $25 + 24$ $\qquad$ b) $48 – 40$ $\qquad$ c) $46 + 24 – 14$

Giải:

a) Xét từng số hạng:

• $25 ;\not\vdots; 8$ (vì $25 = 8 \cdot 3 + 1$)
• $24 ;\vdots; 8$ (vì $24 = 8 \cdot 3$)

Có một số hạng ($25$) không chia hết cho 8, số hạng còn lại ($24$) chia hết cho 8.

Theo Tính chất 2: $(25 + 24) ;\not\vdots; 8$.

b) Xét từng số:

• $48 ;\vdots; 8$ (vì $48 = 8 \cdot 6$)
• $40 ;\vdots; 8$ (vì $40 = 8 \cdot 5$)

Cả hai số đều chia hết cho 8.

Theo Tính chất 1: $(48 – 40) ;\vdots; 8$.

c) Xét từng số hạng:

• $46 ;\not\vdots; 8$
• $24 ;\vdots; 8$
• $14 ;\not\vdots; 8$

Có hai số hạng ($46$ và $14$) không chia hết cho 8 → không áp dụng trực tiếp Tính chất 1 hay 2 được. Ta gộp hai số không chia hết lại:

$$46 – 14 = 32$$

Mà $32 ;\vdots; 8$ (vì $32 = 8 \cdot 4$).

Vậy $46 + 24 – 14 = (46 – 14) + 24 = 32 + 24$. Cả $32$ và $24$ đều chia hết cho 8.

Theo Tính chất 1: $(46 + 24 – 14) ;\vdots; 8$.

Bài mẫu 2. Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chia hết cho 7 không?

a) $56 + 28$ $\qquad$ b) $63 + 29$

Giải:

a) Xét từng số hạng:

• $56 ;\vdots; 7$ (vì $56 = 7 \cdot 8$)
• $28 ;\vdots; 7$ (vì $28 = 7 \cdot 4$)

Cả hai số hạng đều chia hết cho 7.

Theo Tính chất 1: $(56 + 28) ;\vdots; 7$.

b) Xét từng số hạng:

• $63 ;\vdots; 7$ (vì $63 = 7 \cdot 9$)
• $29 ;\not\vdots; 7$ (vì $29 = 7 \cdot 4 + 1$)

Có một số hạng ($29$) không chia hết cho 7, số hạng còn lại ($63$) chia hết cho 7.

Theo Tính chất 2: $(63 + 29) ;\not\vdots; 7$.

Dạng 2: Xét tính chia hết của một tích

Phương pháp giải

Để xét một tích có chia hết cho một số hay không, ta có hai cách:

• Cách 1: Kiểm tra xem trong tích có thừa số nào chia hết cho số đó không. Nếu có, thì tích chia hết cho số đó (vì trong tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì tích cũng chia hết cho số đó).
• Cách 2: Nếu không tìm được thừa số nào chia hết, ta tính tích ra kết quả rồi kiểm tra.

Bài mẫu

Bài mẫu 3. Các tích sau đây có chia hết cho 7 không?

a) $7 \cdot 2018$ $\qquad$ b) $2020 \cdot 56$ $\qquad$ c) $4 \cdot 23 \cdot 16$ $\qquad$ d) $12 \cdot 8 \cdot 721$

Giải:

a) Xét các thừa số: $7$ và $2018$.

Ta thấy $7 ;\vdots; 7$.

Vì trong tích có thừa số $7$ chia hết cho $7$ nên tích $7 \cdot 2018 ;\vdots; 7$.

b) Xét các thừa số: $2020$ và $56$.

Ta thấy $56 ;\vdots; 7$ (vì $56 = 7 \cdot 8$).

Vì trong tích có thừa số $56$ chia hết cho $7$ nên tích $2020 \cdot 56 ;\vdots; 7$.

c) Xét các thừa số: $4$, $23$, $16$.

• $4 ;\not\vdots; 7$
• $23 ;\not\vdots; 7$
• $16 ;\not\vdots; 7$

Không có thừa số nào chia hết cho 7. Ta tính tích:

$$4 \cdot 23 \cdot 16 = 92 \cdot 16 = 1472$$

Kiểm tra: $1472 : 7 = 210$ dư $2$. Vậy $1472 ;\not\vdots; 7$.

Tích $4 \cdot 23 \cdot 16$ không chia hết cho 7.

d) Xét các thừa số: $12$, $8$, $721$.

Ta thấy $721 ;\vdots; 7$ (vì $721 = 7 \cdot 103$).

Vì trong tích có thừa số $721$ chia hết cho $7$ nên tích $12 \cdot 8 \cdot 721 ;\vdots; 7$.

Bài mẫu 4. Các tích sau đây có chia hết cho 3 không?

a) $218 \cdot 3$ $\qquad$ b) $45 \cdot 121$ $\qquad$ c) $279 \cdot 7 \cdot 13$ $\qquad$ d) $37 \cdot 4 \cdot 16$

Giải:

a) Trong tích có thừa số $3 ;\vdots; 3$ nên $218 \cdot 3 ;\vdots; 3$.

b) Trong tích có thừa số $45 ;\vdots; 3$ (vì $45 = 3 \cdot 15$) nên $45 \cdot 121 ;\vdots; 3$.

c) Trong tích có thừa số $279 ;\vdots; 3$ (vì $279 = 3 \cdot 93$) nên $279 \cdot 7 \cdot 13 ;\vdots; 3$.

d) Xét các thừa số: $37 ;\not\vdots; 3$, $;4 ;\not\vdots; 3$, $;16 ;\not\vdots; 3$. Không có thừa số nào chia hết cho 3.

Tính tích: $37 \cdot 4 \cdot 16 = 148 \cdot 16 = 2368$.

Kiểm tra: $2368 : 3 = 789$ dư $1$. Vậy $2368 ;\not\vdots; 3$.

Tích $37 \cdot 4 \cdot 16$ không chia hết cho 3.

Dạng 3: Xét tính chia hết của tổng các lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải

Cho tổng dạng $a + a^2 + a^3 + \ldots + a^n$. Để chứng minh tổng chia hết cho một số $m$, ta có hai cách:

• Cách 1 (trực tiếp): Nếu mỗi số hạng đều chia hết cho $m$, thì tổng chia hết cho $m$ (Tính chất 1).
• Cách 2 (tách ghép): Nhóm các số hạng liên tiếp lại (thường nhóm 2 hoặc nhóm 3), sao cho mỗi nhóm đặt nhân tử chung xuất hiện thừa số chia hết cho $m$. Sau đó áp dụng Tính chất 1.

Bài mẫu

Bài mẫu 5. Cho $A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20}$. Chứng minh rằng:

a) $A$ chia hết cho 2; $\qquad$ b) $A$ chia hết cho 3; $\qquad$ c) $A$ chia hết cho 5.

Giải:

a) Chứng minh $A ;\vdots; 2$:

Xét từng số hạng: $2 ;\vdots; 2$, $;2^2 ;\vdots; 2$, $;2^3 ;\vdots; 2$, …, $;2^{20} ;\vdots; 2$.

Tất cả các số hạng đều chia hết cho 2. Theo Tính chất 1, $A ;\vdots; 2$.

b) Chứng minh $A ;\vdots; 3$:

Mỗi số hạng đơn lẻ (như $2$, $2^2 = 4$, …) không chia hết cho 3, nên Cách 1 không dùng được. Ta dùng Cách 2: nhóm hai số hạng liên tiếp.

$$A = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + \ldots + (2^{19} + 2^{20})$$

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

$$= 2(1 + 2) + 2^3(1 + 2) + \ldots + 2^{19}(1 + 2)$$

$$= 2 \cdot 3 + 2^3 \cdot 3 + \ldots + 2^{19} \cdot 3$$

$$= 3 \cdot (2 + 2^3 + \ldots + 2^{19})$$

Vì tổng $A$ bằng $3$ nhân với một số tự nhiên, nên $A ;\vdots; 3$.

c) Chứng minh $A ;\vdots; 5$:

Ta nhóm bốn số hạng liên tiếp (vì ta cần tìm tổng bằng bội của 5: $1 + 2 + 4 + 8 = 15 ;\vdots; 5$, nhưng thực ra ta thử nhóm 2 theo cách khác). Quan sát:

$$2 + 2^3 = 2 + 8 = 10 ;\vdots; 5$$

Vậy ta nhóm các số hạng cách nhau:

$$A = (2 + 2^3) + (2^2 + 2^4) + (2^5 + 2^7) + \ldots + (2^{18} + 2^{20})$$

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

$$= 2(1 + 2^2) + 2^2(1 + 2^2) + 2^5(1 + 2^2) + \ldots + 2^{18}(1 + 2^2)$$

$$= 2 \cdot 5 + 2^2 \cdot 5 + 2^5 \cdot 5 + \ldots + 2^{18} \cdot 5$$

$$= 5 \cdot (2 + 2^2 + 2^5 + \ldots + 2^{18})$$

Vì tổng $A$ bằng $5$ nhân với một số tự nhiên, nên $A ;\vdots; 5$.

Bài mẫu 6. Cho $B = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{120}$. Chứng minh rằng:

a) $B$ chia hết cho 3; $\qquad$ b) $B$ chia hết cho 4; $\qquad$ c) $B$ chia hết cho 13.

Giải:

a) Chứng minh $B ;\vdots; 3$:

Tất cả các số hạng $3, ; 3^2, ; 3^3, \ldots, ; 3^{120}$ đều chia hết cho 3.

Theo Tính chất 1, $B ;\vdots; 3$.

b) Chứng minh $B ;\vdots; 4$:

Ta nhóm hai số hạng liên tiếp:

$$B = (3 + 3^2) + (3^3 + 3^4) + \ldots + (3^{119} + 3^{120})$$

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

$$= 3(1 + 3) + 3^3(1 + 3) + \ldots + 3^{119}(1 + 3)$$

$$= 3 \cdot 4 + 3^3 \cdot 4 + \ldots + 3^{119} \cdot 4$$

$$= 4 \cdot (3 + 3^3 + \ldots + 3^{119})$$

Vì $B = 4 \cdot (3 + 3^3 + \ldots + 3^{119})$ nên $B ;\vdots; 4$.

c) Chứng minh $B ;\vdots; 13$:

Ta nhóm ba số hạng liên tiếp (vì $1 + 3 + 9 = 13$):

$$B = (3 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6) + \ldots + (3^{118} + 3^{119} + 3^{120})$$

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

$$= 3(1 + 3 + 3^2) + 3^4(1 + 3 + 3^2) + \ldots + 3^{118}(1 + 3 + 3^2)$$

$$= 3 \cdot 13 + 3^4 \cdot 13 + \ldots + 3^{118} \cdot 13$$

$$= 13 \cdot (3 + 3^4 + \ldots + 3^{118})$$

Vì $B = 13 \cdot (3 + 3^4 + \ldots + 3^{118})$ nên $B ;\vdots; 13$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo ghi nhớ

Phân biệt ước và bội: Ước thì ít (tập hợp hữu hạn), bội thì nhiều (vô hạn). Ước là số chia, bội là số bị chia: “$a$ chia hết cho $b$” → $b$ là ước, $a$ là bội.

Khi xét chia hết của tổng: Luôn kiểm tra từng số hạng trước. Nếu tất cả đều chia hết → tổng chia hết (Tính chất 1). Nếu đúng một cái “lệch” → tổng không chia hết (Tính chất 2). Nếu có nhiều cái “lệch” → cần gộp lại xét thêm, đừng vội kết luận.

Khi xét chia hết của tích: Chỉ cần tìm được một thừa số chia hết cho số đó là đủ kết luận cả tích chia hết. Không cần kiểm tra hết các thừa số.

Khi chứng minh tổng lũy thừa chia hết: Muốn chứng minh chia hết cho $m$, hãy tính $1 + a = ?$, $1 + a + a^2 = ?$ xem kết quả nào chia hết cho $m$, rồi nhóm theo số lượng tương ứng.

Tổng kết

Bài 8 cung cấp các kiến thức nền tảng về quan hệ chia hết:

Quan hệ chia hết: $a ;\vdots; b$ khi tồn tại $k$ sao cho $a = k \cdot b$. Khi đó $b$ là ước của $a$, $a$ là bội của $b$.

Tìm ước: Chia lần lượt từ 1 đến $a$.

Tìm bội: Nhân lần lượt với $0, 1, 2, 3, \ldots$

Tính chất 1: Mọi số hạng chia hết → tổng chia hết.

Tính chất 2: Đúng một số hạng không chia hết, còn lại đều chia hết → tổng không chia hết.

Tính chất của tích: Trong tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Nắm vững các tính chất này, em sẽ có nền tảng vững chắc để học tiếp các bài về dấu hiệu chia hết, ước chung và bội chung ở các bài tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du