Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng Và Đường Tròn
Cắt nhau, tiếp xúc, không giao nhau và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ ($d = OH$, với $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $a$).
Tuỳ vào quan hệ giữa $d$ và $R$, có ba vị trí tương đối:
Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$ cách $a$ một khoảng $d = 4$ cm. Xác định vị trí tương đối của các đường tròn sau với $a$:
a) $(O; 3\text{ cm})$ b) $(O; 4\text{ cm})$ c) $(O; 5\text{ cm})$
• $R$ nhỏ hơn $d$ → đường tròn không "với tới" đường thẳng → không giao.
• $R = d$ → vừa chạm tới → tiếp xúc.
• $R$ lớn hơn $d$ → đường tròn "vượt qua" đường thẳng → cắt 2 điểm.
🔵 Khái niệm tiếp tuyến: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn được gọi là tiếp tuyến của đường tròn đó. Điểm chung duy nhất gọi là tiếp điểm.
Cụ thể: Nếu $A \in (O)$ và đường thẳng $a$ đi qua $A$ sao cho $a \perp OA$ thì $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$.
🔵 Hai cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến:
Cho đường tròn $(O)$ đi qua ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác cân tại $A$. Chứng minh đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ là một tiếp tuyến của $(O)$.
Bước 1 — Chứng minh $OA \perp BC$:
Bước 2 — Áp dụng Định lí 1:
Cho hình vuông có cạnh $6$ cm, hai đường chéo cắt nhau tại $I$. Chứng minh đường tròn $(I; 3\text{ cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh.
Khi từ một điểm nằm ngoài đường tròn, ta kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn đó, hai tiếp tuyến này có những tính chất rất hay:
$$\widehat{AOB} + \widehat{AMB} = 360° - 90° - 90° = 180°$$
→ Mẹo cực nhanh để tính các góc liên quan.
Cho hai tiếp tuyến $MA, MB$ của $(O; R)$ với $A, B$ là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh $OM \perp AB$.
b) Tính $MA, MB$ biết $R = 3$ cm và $MO = 5$ cm.
Câu a:
Câu b: $\triangle OAM$ vuông tại $A$ (do $OA \perp MA$):
Hai tiếp tuyến tại $A, B$ của $(O)$ cắt nhau tại $M$, biết $\widehat{AMB} = 50°$. Tính $\widehat{AOB}$.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn xuất hiện rất nhiều trong thực tế: đồng xu rơi trên giấy có kẻ ô, hình tròn dán trên đường vẽ, bánh xe lăn trên đường thẳng,...
🔵 Quy trình giải:
Một đồng xu hình tròn bán kính $1$ cm được đặt trên tờ giấy có vẽ những đường thẳng song song cách đều nhau $2$ cm. Có thể xảy ra trường hợp nào sau đây?
a) Đồng xu đè lên một đường thẳng.
b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào.
c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.
Bốn hình tròn có bán kính lần lượt $4$ cm, $6$ cm, $7$ cm và $8$ cm có tâm cùng nằm trên đường thẳng $b$. Đường thẳng $a$ song song với $b$ cách $b$ một khoảng $6$ cm. Hỏi hình tròn nào sẽ che khuất một phần đường thẳng $a$?
Kết luận: Hai hình tròn bán kính $7$ và $8$ cm sẽ che khuất một phần đường thẳng $a$.
| Vị trí tương đối | Số điểm chung | Điều kiện |
|---|---|---|
| Cắt nhau | $2$ | $d < R$ |
| Tiếp xúc | $1$ (tiếp điểm) | $d = R$ |
| Không giao nhau | $0$ | $d > R$ |
| Định lí | Nội dung |
|---|---|
| Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết) | Đường thẳng qua điểm trên $(O)$ và vuông góc bán kính tại điểm đó là tiếp tuyến. |
| Định lí 2 (Hai tiếp tuyến cắt nhau) | $MA = MB$; $MO$ phân giác $\widehat{AMB}$; $OM$ phân giác $\widehat{AOB}$. |
| Hệ quả tứ giác | $\widehat{AOB} + \widehat{AMB} = 180°$ (vì 2 góc vuông tại $A, B$). |
Luyện tập vị trí tương đối & tiếp tuyến!
22 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du