Hàm Số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)
Khái niệm, đồ thị parabol và ứng dụng thực tế của hàm số bậc hai
Trong thực tế, nhiều đại lượng có mối liên hệ theo dạng bình phương:
① Rơi tự do: Quãng đường $s$ (m) phụ thuộc thời gian $t$ (giây): $s = 4{,}9t^2$.
② Diện tích hình tròn: Diện tích $S$ (cm²) theo bán kính $r$ (cm): $S = \pi r^2 \approx 3{,}14r^2$.
→ Cả hai công thức đều có dạng: biến phụ thuộc bằng hằng số nhân với bình phương biến độc lập. Đó chính là dạng hàm số $y = ax^2$.
🔵 Cách lập bảng giá trị: Thay lần lượt từng giá trị $x$ vào công thức $y = ax^2$ để tính $y$ tương ứng.
Cho hàm số $y = \dfrac{5}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị với $x \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.
Cách tính: Thay từng giá trị $x$ vào công thức:
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \dfrac{5}{2}x^2$ | $\dfrac{45}{2}$ | $10$ | $\dfrac{5}{2}$ | $0$ | $\dfrac{5}{2}$ | $10$ | $\dfrac{45}{2}$ |
🔵 Cách vẽ đồ thị: Để vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$), ta thực hiện 2 bước:
Bước 1 — Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-8$ | $-2$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-2$ | $-8$ |
Bước 2 — Biểu diễn các điểm và nối lại: Vì $a = -\dfrac{1}{2} < 0$, đường cong nằm phía dưới trục hoành.
- Là một đường cong gọi là đường parabol.
- Có đỉnh là gốc toạ độ $O(0; 0)$.
- Có trục đối xứng là trục tung $Oy$ — nghĩa là hai điểm $(x; y)$ và $(-x; y)$ luôn đối xứng nhau qua $Oy$.
- Khi $a > 0$: parabol nằm phía trên trục hoành (mở lên).
- Khi $a < 0$: parabol nằm phía dưới trục hoành (mở xuống).
🔵 Tìm hệ số $a$ khi biết một điểm thuộc parabol:
Parabol $y = ax^2$ đi qua điểm $(1; 0{,}5)$. Tìm hệ số $a$.
🔵 Tìm tung độ khi biết hoành độ: Thay $x$ vào $y = ax^2$ để tính $y$.
🔵 Tìm hoành độ khi biết tung độ: Giải phương trình $ax^2 = y_0$:
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$. Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ $y = 8$.
🔵 Quy luật $k^2$ lần — Một tính chất quan trọng của hàm $y = ax^2$:
Hàm số $y = ax^2$. Nếu $x$ tăng lên 3 lần thì $y$ thay đổi như thế nào?
Hàm số $y = ax^2$ xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế: thể tích, diện tích, hình dạng dây cáp cầu treo, cổng vòm…
🔵 Phương pháp giải:
• Diện tích hình vuông cạnh $a$: $S = a^2$
• Diện tích toàn phần hình lập phương cạnh $a$: $S_{tp} = 6a^2$
• Diện tích hình tròn bán kính $r$: $S = \pi r^2$
• Thể tích hình lập phương: $V = a^3$
Diện tích toàn phần $S$ (cm²) của hình lập phương cạnh $a$ (cm) là hàm số của $a$. Tìm cạnh của hình lập phương có diện tích toàn phần là $54$ cm².
Bước 1 — Viết công thức: Hình lập phương có 6 mặt vuông cạnh $a$ → $S = 6a^2$ (dạng $y = ax^2$ với hệ số $6$).
Bước 2 — Tìm $a$ khi $S = 54$:
Kết luận: Cạnh hình lập phương là $3$ cm.
Cầu treo có trụ tháp đôi cao $75$ m so với mặt cầu, hai trụ cách nhau $400$ m. Dây cáp có dạng $y = ax^2$. Tìm chiều cao dây cáp tại điểm cách tâm $O$ là $100$ m.
Đặt hệ trục $Oxy$: gốc $O$ ở điểm thấp nhất của dây cáp (tâm cầu), trục $Ox$ dọc mặt cầu. Khi đó dây cáp có dạng $y = ax^2$.
Bước 1 — Tìm $a$: Mỗi trụ cách $O$ là $200$ m, đỉnh ở độ cao $75$ m → điểm $(200; 75)$ thuộc đồ thị.
Bước 2 — Tính $y$ tại $x = 100$:
Kết luận: Chiều cao dây cáp tại điểm cách tâm $100$ m là $18{,}75$ m.
Cổng vòm dạng parabol $y = ax^2$. Chiều rộng chân cổng $AB = 6$ m, chiều cao $OI = 4{,}5$ m. Tìm hệ số $a$.
Đặt: Đỉnh parabol tại $O$, parabol mở xuống. Chân cổng nằm ở $y = -4{,}5$, $AB = 6$ m → $B(3; -4{,}5)$ thuộc parabol.
Vậy hệ số $a = -\dfrac{1}{2}$ (âm vì parabol mở xuống).
| Nội dung | Kiến thức cần nhớ |
|---|---|
| Khái niệm | $y = ax^2$ ($a \neq 0$) xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ |
| Đồ thị | Đường parabol, đỉnh tại $O(0; 0)$, trục đối xứng $Oy$ |
| Hướng mở | $a > 0$: mở lên (trên trục $Ox$); $a < 0$: mở xuống (dưới trục $Ox$) |
| Tính đối xứng | $(x; y)$ và $(-x; y)$ đối xứng qua $Oy$ |
| Tìm hệ số $a$ | $a = \dfrac{y_0}{x_0^2}$ khi parabol qua $(x_0; y_0)$, $x_0 \neq 0$ |
| Quy luật $k^2$ | $x$ tăng $k$ lần $\Rightarrow y$ tăng $k^2$ lần |
Luyện tập hàm số $y = ax^2$ nào!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du