Lớp 9 · Toán
Bài 28
Đường Tròn Ngoại Tiếp & Nội Tiếp Tam Giác
Khái niệm, công thức và các trường hợp đặc biệt (vuông, đều)
1
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
▼
📐 Định nghĩa
Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Nếu $(O)$ ngoại tiếp $\triangle ABC$
thì $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$.
thì $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$.
Hình 1: Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ — ba đường trung trực đồng quy tại $O$
🔵 Cách xác định tâm:
Tâm đường tròn ngoại tiếp
Tâm $O$ là giao điểm của ba đường trung trực
của ba cạnh tam giác.
Bán kính: $OA = OB = OC = R$
của ba cạnh tam giác.
Bán kính: $OA = OB = OC = R$
🔵 Vì sao tâm là giao 3 đường trung trực?
→Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu mút.
→$O$ trên trung trực của $AB$ $\Rightarrow OA = OB$.
→$O$ trên trung trực của $BC$ $\Rightarrow OB = OC$.
→Suy ra $OA = OB = OC$ — ba đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R = OA$.
📌Lưu ý vị trí tâm:
• Tam giác nhọn → tâm $O$ nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông → tâm $O$ nằm trên cạnh huyền (tại trung điểm).
• Tam giác tù → tâm $O$ nằm bên ngoài tam giác.
• Tam giác nhọn → tâm $O$ nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông → tâm $O$ nằm trên cạnh huyền (tại trung điểm).
• Tam giác tù → tâm $O$ nằm bên ngoài tam giác.
2
Đường tròn ngoại tiếp — Trường hợp đặc biệt
▼
🔵 a) Tam giác vuông
⭐ Tính chất quan trọng
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có:
• Tâm là trung điểm cạnh huyền
• Bán kính bằng nửa cạnh huyền
• Tâm là trung điểm cạnh huyền
• Bán kính bằng nửa cạnh huyền
$R = \dfrac{\text{cạnh huyền}}{2}$
Hình 2: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ — tâm $O$ là trung điểm $BC$, $R = \dfrac{BC}{2}$
Ví dụ 1 — Tam giác vuông
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3$ cm, $AC = 6$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.
①Áp dụng định lí Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 36 = 45$
→$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ (cm)
②$R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ (cm)
🔵 b) Tam giác đều
⭐ Công thức cho tam giác đều
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có:
• Tâm là trọng tâm của tam giác
• Bán kính:
• Tâm là trọng tâm của tam giác
• Bán kính:
$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,a$
Hình 3: Tam giác đều $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ (trọng tâm)
💡Vì sao tâm là trọng tâm? Trong tam giác đều, các đường trung trực, trung tuyến, đường cao, phân giác từ cùng một đỉnh đều trùng nhau. Do đó giao điểm 3 đường trung trực chính là trọng tâm.
Ví dụ 2 — Tam giác đều
Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $6$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
→$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 2\sqrt{3}$ (cm)
3
Đường tròn nội tiếp tam giác
▼
📐 Định nghĩa
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Hình 4: Tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ với 3 tiếp điểm $D$, $E$, $F$
🔵 Cách xác định tâm:
Tâm đường tròn nội tiếp
Tâm $I$ là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Bán kính $r$ = khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh.
Bán kính $r$ = khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh.
🔵 Vì sao tâm là giao 3 đường phân giác?
→Điểm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó.
→$I$ là giao 3 phân giác $\Rightarrow$ $I$ cách đều ba cạnh: $ID = IE = IF = r$.
→Vì các bán kính vuông góc với cạnh tại tiếp điểm nên đường tròn $(I)$ tiếp xúc với cả 3 cạnh.
⚠️Lưu ý:
• Mỗi tam giác có duy nhất MỘT đường tròn nội tiếp (vì 3 phân giác cắt nhau tại 1 điểm duy nhất).
• Có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước.
• Mỗi tam giác có duy nhất MỘT đường tròn nội tiếp (vì 3 phân giác cắt nhau tại 1 điểm duy nhất).
• Có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước.
🔵 Tam giác đều ngoại tiếp đường tròn
⭐ Công thức cho tam giác đều
Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$:
• Tâm là trọng tâm (trùng tâm ngoại tiếp)
• Bán kính:
• Tâm là trọng tâm (trùng tâm ngoại tiếp)
• Bán kính:
$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\,a$
⚡ Mối liên hệ đặc biệt
$r = \dfrac{R}{2}$
(Bán kính nội tiếp = nửa bán kính ngoại tiếp — chỉ đúng cho tam giác đều)
Ví dụ 3 — Tính các góc tại tâm $I$
Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Biết $\widehat{A} = 50°$, $\widehat{B} = 70°$. Tính $\widehat{BIC}$, $\widehat{CIA}$, $\widehat{AIB}$.
①Tổng 3 góc: $\widehat{C} = 180° - 50° - 70° = 60°$
②$I$ là giao 3 phân giác $\Rightarrow$ các nửa góc:
$\widehat{IBC} = \dfrac{70°}{2} = 35°$, $\widehat{ICB} = \dfrac{60°}{2} = 30°$
$\widehat{IBC} = \dfrac{70°}{2} = 35°$, $\widehat{ICB} = \dfrac{60°}{2} = 30°$
③Trong $\triangle BIC$: $\widehat{BIC} = 180° - 35° - 30° = 115°$
→Tương tự: $\widehat{CIA} = 125°$, $\widehat{AIB} = 120°$
✓Kiểm: $115° + 125° + 120° = 360°$ ✓
⚡ Mẹo tính nhanh $\widehat{BIC}$
Với mọi tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$:
$\widehat{BIC} = 90° + \dfrac{\widehat{A}}{2}$ Ví dụ: $\widehat{A} = 50°$ $\Rightarrow$ $\widehat{BIC} = 90° + 25° = 115°$ ✓
$\widehat{BIC} = 90° + \dfrac{\widehat{A}}{2}$ Ví dụ: $\widehat{A} = 50°$ $\Rightarrow$ $\widehat{BIC} = 90° + 25° = 115°$ ✓
4
Bảng tóm tắt & Bài toán chứng minh thường gặp
▼
🔵 Bảng tóm tắt công thức
| Loại tam giác | Tâm $(O)$, $R$ ngoại tiếp | Tâm $(I)$, $r$ nội tiếp |
|---|---|---|
| Bất kì | Giao 3 đường trung trực | Giao 3 đường phân giác |
| Vuông (cạnh huyền $c$) | Trung điểm cạnh huyền $R = \dfrac{c}{2}$ |
Giao 3 đường phân giác |
| Đều (cạnh $a$) | Trọng tâm $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ |
Trọng tâm $r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$ |
🔵 So sánh hai khái niệm
⭕ Đường tròn NGOẠI tiếp
Đặc điểmĐi qua 3 ĐỈNH
TâmGiao 3 đường trung trực
Tính chất$OA = OB = OC = R$
⭕ Đường tròn NỘI tiếp
Đặc điểmTiếp xúc 3 CẠNH
TâmGiao 3 đường phân giác
Tính chấtCách đều 3 cạnh: $ID = IE = IF = r$
🔵 Hai bài toán chứng minh thường gặp
Bài toán 1: $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ (trực tâm)
Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$, $H$ là trực tâm. Chứng minh $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$.
Hình 5: $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ — trực tâm $H$, tâm $O$
Phương pháp:
①Gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ ($AD \perp BC$).
→Trong $\triangle ABD$ vuông tại $D$: $\widehat{BAH} = 90° - \widehat{ABC}$ (*)
②Xét $\triangle AOC$ cân tại $O$ (vì $OA = OC = R$):
→$\widehat{OAC} = \dfrac{180° - \widehat{AOC}}{2} = 90° - \dfrac{\widehat{AOC}}{2}$
③Vì $\widehat{AOC} = 2\widehat{ABC}$ (góc ở tâm = 2 × góc nội tiếp cùng chắn $\overset{\frown}{AC}$):
→$\widehat{OAC} = 90° - \widehat{ABC}$ (**)
→Từ (*) và (**): $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ $\;\square$
Bài toán 2: $\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180°$ (đường tròn nội tiếp)
Cho $(I)$ nội tiếp $\triangle ABC$, các tiếp điểm $E$ trên $AB$ và $F$ trên $AC$. Chứng minh $\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180°$.
Phương pháp:
①$(I)$ tiếp xúc $AB$ tại $E$ $\Rightarrow IE \perp AB$ $\Rightarrow \widehat{IEA} = 90°$.
②$(I)$ tiếp xúc $AC$ tại $F$ $\Rightarrow IF \perp AC$ $\Rightarrow \widehat{IFA} = 90°$.
③Tứ giác $AEIF$ có tổng 4 góc = $360°$:
→$\widehat{BAC} + 90° + \widehat{EIF} + 90° = 360°$
→$\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180°$ $\;\square$
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
🔵 Dạng 1 — Bán kính ngoại tiếp tam giác vuông
Xác định
tam giác vuông
tam giác vuông
→
Tính
cạnh huyền
cạnh huyền
→
$R = \dfrac{c}{2}$
💡Mẹo nhận biết tam giác vuông: Cho 3 cạnh, lấy cạnh lớn nhất bình phương. Nếu bằng tổng bình phương 2 cạnh kia → tam giác vuông (Pythagore đảo).
🔵 Dạng 2 — Tam giác đều
Bộ công thức tam giác đều cạnh $a$
$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ ; $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ ; $r = \dfrac{R}{2}$
$a = R\sqrt{3} = 2r\sqrt{3}$
Diện tích: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Đường cao: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$a = R\sqrt{3} = 2r\sqrt{3}$
Diện tích: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Đường cao: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
🔵 Dạng 3 — Bài toán thực tế (khung gỗ, đồng hồ…)
1
Đọc đề: vật tròn đặt vừa khít trong khung tam giác đều → đường tròn vật là nội tiếp tam giác đều.
2
Lấy bán kính vật làm $r$.
3
Tính cạnh khung: $a = 2r\sqrt{3}$ (hoặc $a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}}$).
🔵 Dạng 4 — Bài toán chứng minh hệ thức góc
1
Tận dụng tam giác cân (vì $OA = OB = OC = R$).
2
Liên hệ góc nội tiếp ↔ góc ở tâm: $\widehat{AOC} = 2\widehat{ABC}$ (cùng chắn $\overset{\frown}{AC}$).
3
Với đường tròn nội tiếp: $IE \perp AB$, $IF \perp AC$, $ID \perp BC$ tại tiếp điểm.
4
Dùng tính chất tổng góc: tam giác = $180°$, tứ giác = $360°$.
⚡Tổng kết Bài 28:
• Ngoại tiếp: đi qua 3 ĐỈNH → tâm = giao 3 trung trực.
• Nội tiếp: tiếp xúc 3 CẠNH → tâm = giao 3 phân giác.
• Tam giác vuông: $R = \dfrac{c}{2}$ (tâm = trung điểm cạnh huyền).
• Tam giác đều cạnh $a$: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, $r = \dfrac{R}{2}$.
• Mẹo nhớ: Ngoại → Trung trực (chữ T-T); Nội → Phân giác (P đi vào trong).
📚
Xem thêm: Lý thuyết đầy đủ + Mẹo giải nhanh + Sai lầm thường gặp tại Edus.vn
• Ngoại tiếp: đi qua 3 ĐỈNH → tâm = giao 3 trung trực.
• Nội tiếp: tiếp xúc 3 CẠNH → tâm = giao 3 phân giác.
• Tam giác vuông: $R = \dfrac{c}{2}$ (tâm = trung điểm cạnh huyền).
• Tam giác đều cạnh $a$: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, $r = \dfrac{R}{2}$.
• Mẹo nhớ: Ngoại → Trung trực (chữ T-T); Nội → Phân giác (P đi vào trong).
1
—
Điểm: 0/20
🔺
Cùng luyện tập về Đường tròn ngoại tiếp & nội tiếp!
20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/20
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du