Lớp 9 · Toán
Bài 32
Hình Cầu
Mặt cầu, hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
1
Mặt cầu và hình cầu
▼
Trong đời sống, nhiều đồ vật có dạng hình cầu như:
⚽ Quả bóng đá
🏀 Quả bóng rổ
🌍 Quả địa cầu
🔵 Viên bi
🔵 Cách tạo lập mặt cầu và hình cầu:
Hình 1: Tạo lập mặt cầu và hình cầu bằng phép quay quanh đường kính $AB$
📐 Định nghĩa
• Khi quay nửa đường tròn quanh đường kính $AB$ cố định của nó, ta được một mặt cầu.
• Khi quay nửa hình tròn quanh đường kính $AB$ cố định của nó, ta được một hình cầu.
• Khi quay nửa hình tròn quanh đường kính $AB$ cố định của nó, ta được một hình cầu.
Tâm và bán kính của nửa đường tròn (nửa hình tròn)
cũng chính là tâm và bán kính của mặt cầu (hình cầu).
cũng chính là tâm và bán kính của mặt cầu (hình cầu).
🔵 Phân biệt mặt cầu và hình cầu:
⚪ Mặt cầu
Tạo bởiQuay nửa ĐƯỜNG TRÒN (đường cong)
Bao gồmChỉ bề mặt bên ngoài
Ví dụVỏ quả bóng (chỉ phần lớp vỏ)
🔵 Hình cầu
Tạo bởiQuay nửa HÌNH TRÒN (miền phẳng)
Bao gồmToàn bộ bên trong + bề mặt
Ví dụQuả bóng đặc (bóng + ruột bên trong)
⚠️Lưu ý quan trọng:
• Nửa đường tròn = đường cong (không có miền phẳng) → quay được mặt cầu.
• Nửa hình tròn = miền phẳng được giới hạn bởi nửa đường tròn → quay được hình cầu.
Học sinh thường nhầm lẫn 2 khái niệm này!
• Nửa đường tròn = đường cong (không có miền phẳng) → quay được mặt cầu.
• Nửa hình tròn = miền phẳng được giới hạn bởi nửa đường tròn → quay được hình cầu.
Học sinh thường nhầm lẫn 2 khái niệm này!
🔵 Các yếu tố của mặt cầu:
| Yếu tố | Kí hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Tâm | $O$ | Điểm cách đều mọi điểm trên mặt cầu |
| Bán kính | $R = OB$ | Khoảng cách từ tâm đến mọi điểm trên mặt cầu |
| Đường kính | $d = AB = 2R$ | Đoạn nối hai điểm trên mặt cầu, đi qua tâm |
2
Cắt mặt cầu / hình cầu bởi một mặt phẳng
▼
Khi dùng một mặt phẳng cắt qua hình cầu (giống như cắt đôi một quả cam), ta sẽ thấy mặt cắt có dạng hình tròn.
Hình 2: Mặt phẳng cắt mặt cầu — đường tròn lớn (qua tâm) và đường tròn nhỏ (không qua tâm)
📐 Tính chất quan trọng
① Cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và hình cầu (gọi là mặt cắt) là một hình tròn.
② Cắt một mặt cầu bán kính $R$ bởi một mặt phẳng thì phần chung là một đường tròn.
② Cắt một mặt cầu bán kính $R$ bởi một mặt phẳng thì phần chung là một đường tròn.
🔵 Hai trường hợp đặc biệt:
⭐ Đường tròn LỚN
Khi nàoMặt phẳng đi qua tâm $O$
Bán kính$= R$ (bằng bán kính mặt cầu)
Đặc điểmĐường tròn lớn nhất có thể cắt được
🔵 Đường tròn NHỎ
Khi nàoMặt phẳng không đi qua tâm $O$
Bán kính$< R$ (nhỏ hơn bán kính mặt cầu)
Đặc điểmCàng xa tâm, bán kính càng nhỏ
🌍Ví dụ quen thuộc — Trái Đất:
Trái Đất được xem có dạng hình cầu. Đường Xích đạo chính là một đường tròn lớn (mặt phẳng chứa Xích đạo đi qua tâm Trái Đất). Các đường vĩ tuyến khác (không đi qua tâm) là các đường tròn có bán kính nhỏ hơn.
Trái Đất được xem có dạng hình cầu. Đường Xích đạo chính là một đường tròn lớn (mặt phẳng chứa Xích đạo đi qua tâm Trái Đất). Các đường vĩ tuyến khác (không đi qua tâm) là các đường tròn có bán kính nhỏ hơn.
Ví dụ — Tìm bán kính từ diện tích mặt cắt
Cắt một hình cầu bởi mặt phẳng đi qua tâm, được một hình tròn có diện tích $36\pi$ cm². Tính bán kính hình cầu.
→Vì mặt phẳng đi qua tâm $\Rightarrow$ bán kính hình tròn cắt được bằng bán kính hình cầu: gọi đó là $R$.
→Diện tích hình tròn: $\pi R^2 = 36\pi \Rightarrow R^2 = 36 \Rightarrow R = 6$ (cm).
✓Bán kính hình cầu là $\mathbf{R = 6}$ cm.
3
Diện tích mặt cầu
▼
⭐ Công thức diện tích mặt cầu
Diện tích mặt cầu bán kính $R$:
$S = 4\pi R^2$
💡Cách hiểu trực quan: Lượng sơn cần để phủ kín mặt cầu bán kính $R$ bằng đúng lượng sơn để phủ kín một hình tròn bán kính $2R$ (cùng độ dày). Vì diện tích hình tròn bán kính $2R$ là $\pi(2R)^2 = 4\pi R^2$ nên ta có công thức diện tích mặt cầu.
Ví dụ 1 — Tính $S$ khi biết bán kính
Tính diện tích mặt cầu có bán kính $R = 7$ cm.
→$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 7^2 = 4\pi \cdot 49 = \mathbf{196\pi}$ (cm²)
Ví dụ 2 — Khi biết đường kính
Một quả cầu gỗ có đường kính $d = 22$ cm. Tính diện tích mặt ngoài quả cầu.
①Bán kính: $R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{22}{2} = 11$ (cm).
②Diện tích mặt ngoài (= diện tích mặt cầu):
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 11^2 = 4\pi \cdot 121 = \mathbf{484\pi}$ (cm²)
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 11^2 = 4\pi \cdot 121 = \mathbf{484\pi}$ (cm²)
Ví dụ 3 — Bài toán ngược (tìm $R$ từ $S$)
Một mặt cầu có diện tích $100\pi$ cm². Tính bán kính của mặt cầu.
→Từ $S = 4\pi R^2 = 100\pi$:
→$R^2 = \dfrac{100\pi}{4\pi} = 25 \Rightarrow R = \mathbf{5}$ (cm).
⚡ Mẹo nhớ nhanh
$S = 4\pi R^2$ → "4 trên" — hệ số 4 đi với $R^2$. Cẩn thận: nhiều bạn nhầm thành $\pi R^2$ (giống diện tích hình tròn) → SAI!
4
Thể tích hình cầu
▼
⭐ Công thức thể tích hình cầu
Thể tích hình cầu bán kính $R$:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
💡Cách hiểu trực quan: Đặt hình cầu bán kính $R$ vào khít trong cốc hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $2R$ (đầy nước). Khi nhấc hình cầu ra, lượng nước còn lại chỉ bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao cốc. Suy ra:
• Thể tích hình cầu = $\dfrac{2}{3}$ thể tích hình trụ.
• $V_{\text{cầu}} = \dfrac{2}{3} \cdot \pi R^2 \cdot 2R = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ✓
• Thể tích hình cầu = $\dfrac{2}{3}$ thể tích hình trụ.
• $V_{\text{cầu}} = \dfrac{2}{3} \cdot \pi R^2 \cdot 2R = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ✓
Ví dụ 1 — Tính $V$ khi biết bán kính
Tính thể tích hình cầu có bán kính $R = 3$ cm.
→$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = \mathbf{36\pi}$ (cm³)
Ví dụ 2 — Khi biết đường kính
Một bể cá hình cầu có đường kính $d = 30$ cm. Tính thể tích bể cá.
①Bán kính: $R = \dfrac{30}{2} = 15$ (cm).
②Thể tích: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 15^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3375 = \mathbf{4500\pi}$ (cm³)
Ví dụ 3 — Bài toán ngược (tìm $R$ từ $V$)
Một hình cầu có thể tích $972\pi$ cm³. Tính bán kính của hình cầu.
→Từ $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = 972\pi$:
→$R^3 = 972 \cdot \dfrac{3}{4} = 729 \Rightarrow R = \mathbf{9}$ (cm).
⚠️Sai lầm thường gặp — đừng quên hệ số $\dfrac{4}{3}$:
Nhiều bạn viết $V = \pi R^3$ (thiếu hệ số) hoặc $V = \dfrac{1}{3}\pi R^3$ (nhầm với hình nón). ĐÚNG: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ — số 4 ở tử, số 3 ở mẫu.
Nhiều bạn viết $V = \pi R^3$ (thiếu hệ số) hoặc $V = \dfrac{1}{3}\pi R^3$ (nhầm với hình nón). ĐÚNG: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ — số 4 ở tử, số 3 ở mẫu.
5
Tổng kết & Bảng công thức quan trọng
▼
🔵 Bảng tổng hợp công thức quan trọng:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Diện tích mặt cầu | $S = 4\pi R^2$ |
| Thể tích hình cầu | $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ |
| Bán kính từ đường kính | $R = \dfrac{d}{2}$ |
| Tìm $R$ từ $S$ | $R = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}$ |
| Tìm $R$ từ $V$ | $R = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$ |
| Chu vi đường tròn lớn | $C = 2\pi R$ |
⚡ Mẹo so sánh với hình trụ ngoại tiếp
Hình cầu bán kính $R$ khít trong hình trụ bán kính đáy $R$ và chiều cao $2R$:
• Thể tích cầu = $\dfrac{2}{3}$ thể tích trụ.
• Diện tích mặt cầu = $S_{xq}$ hình trụ ($4\pi R^2 = 2\pi R \cdot 2R$). ✓
• Thể tích cầu = $\dfrac{2}{3}$ thể tích trụ.
• Diện tích mặt cầu = $S_{xq}$ hình trụ ($4\pi R^2 = 2\pi R \cdot 2R$). ✓
⚡Tổng kết Bài 32:
• Mặt cầu: tạo bởi quay nửa đường tròn quanh đường kính $\Rightarrow$ chỉ có bề mặt.
• Hình cầu: tạo bởi quay nửa hình tròn quanh đường kính $\Rightarrow$ có cả bề mặt và bên trong.
• Cắt bởi mặt phẳng qua tâm $\Rightarrow$ đường tròn lớn (bán kính $= R$).
• Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2$ (hệ số $4$).
• Thể tích hình cầu: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ (hệ số $\dfrac{4}{3}$, đừng quên!).
• Khi đề cho đường kính $d$: phải lấy $R = \dfrac{d}{2}$ trước khi áp dụng công thức.
📚
Xem thêm: Lý thuyết đầy đủ + Mẹo giải nhanh + Sai lầm thường gặp tại Edus.vn
• Mặt cầu: tạo bởi quay nửa đường tròn quanh đường kính $\Rightarrow$ chỉ có bề mặt.
• Hình cầu: tạo bởi quay nửa hình tròn quanh đường kính $\Rightarrow$ có cả bề mặt và bên trong.
• Cắt bởi mặt phẳng qua tâm $\Rightarrow$ đường tròn lớn (bán kính $= R$).
• Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2$ (hệ số $4$).
• Thể tích hình cầu: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ (hệ số $\dfrac{4}{3}$, đừng quên!).
• Khi đề cho đường kính $d$: phải lấy $R = \dfrac{d}{2}$ trước khi áp dụng công thức.
1
—
Điểm: 0/20
🌐
Cùng luyện tập về Hình cầu!
20 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/20
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du