Mở đầu trang 5

Đề bài: Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ? Bạn An nói: “Có $5$ con vật xuất hiện trong hình vẽ.” Bạn Khoa nói: “Có $6$ con vật xuất hiện trong hình vẽ.”

Lời giải:

Quan sát hình, ta thấy có $6$ con vật: con voi, con khỉ, con ngựa, con chó, con mèo, con chuột.

Do đó:

• Câu trả lời của bạn An là sai (vì đếm thiếu $1$ con).
• Câu trả lời của bạn Khoa là đúng.

Nhận xét: Sau bài học này, ta sẽ biết rằng những phát biểu có thể xác định được tính đúng – sai như phát biểu của An và Khoa được gọi là mệnh đề.

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

HĐ1 (trang 6)

Đề bài: Trong các câu ở tình huống mở đầu:

a) Câu nào đúng?

b) Câu nào sai?

c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?

Lời giải:

Có ba câu phát biểu trong tình huống mở đầu:

• Câu của An: “Có $5$ con vật xuất hiện trong hình vẽ.”
• Câu của Khoa: “Có $6$ con vật xuất hiện trong hình vẽ.”
• Câu hỏi: “Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?”

a) Câu đúng: câu của Khoa (“Có $6$ con vật xuất hiện trong hình vẽ”).

b) Câu sai: câu của An (“Có $5$ con vật xuất hiện trong hình vẽ”).

c) Câu không xác định được tính đúng sai: “Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?” (đây là câu hỏi).

Luyện tập 1 (trang 6)

Đề bài: Thay dấu “?” bằng dấu “✓” vào ô thích hợp trong bảng sau:

Lời giải:

Xét từng câu:

• “$13$ là số nguyên tố”: $13$ chỉ có hai ước là $1$ và $13$ nên là số nguyên tố → mệnh đề đúng.
• “Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại”: Theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại, không phải nhỏ hơn → mệnh đề sai.
• “Bạn đã làm bài tập chưa?”: là câu hỏi → không là mệnh đề.
• “Thời tiết hôm nay thật đẹp!”: là câu cảm thán → không là mệnh đề.

Bảng kết quả:

Câu hỏi (trang 7)

Đề bài: Xét câu “$x > 5$”. Hãy tìm hai giá trị thực của $x$ để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Lời giải:

Câu “$x > 5$” là một mệnh đề chứa biến. Để có mệnh đề (xác định được đúng/sai), ta phải thay $x$ bằng một số cụ thể.

• Chọn $x = 6$: ta được mệnh đề “$6 > 5$” → mệnh đề đúng.
• Chọn $x = 3$: ta được mệnh đề “$3 > 5$” → mệnh đề sai.

(Học sinh có thể chọn cặp giá trị khác, miễn là một giá trị lớn hơn $5$ và một giá trị nhỏ hơn hoặc bằng $5$.)

2. Mệnh đề phủ định

HĐ2 (trang 7)

Đề bài: Quan sát biển báo trong hình bên. Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ”. An không đồng ý với ý kiến của Khoa. Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.

Lời giải:

Vì An không đồng ý với ý kiến của Khoa, nên An phát biểu ngược lại với mệnh đề của Khoa.

Ý kiến của An phát biểu dưới dạng mệnh đề là:

“Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ.”

Nhận xét: Hai mệnh đề của Khoa và An là hai mệnh đề phủ định của nhau. Nếu một mệnh đề đúng thì mệnh đề phủ định sai và ngược lại.

Luyện tập 2 (trang 7)

Đề bài: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

$P$: “$2\,022$ chia hết cho $5$”;

$Q$: “Bất phương trình $2x + 1 > 0$ có nghiệm”.

Lời giải:

Mệnh đề phủ định của $P$:

$\overline{P}$: “$2\,022$ không chia hết cho $5$”.

Xét: $2\,022 : 5 = 404$ dư $2$, nên $2\,022$ không chia hết cho $5$.

→ $\overline{P}$ đúng (lúc này $P$ sai).

Mệnh đề phủ định của $Q$:

$\overline{Q}$: “Bất phương trình $2x + 1 > 0$ vô nghiệm” (hoặc: “Bất phương trình $2x + 1 > 0$ không có nghiệm”).

Xét: $2x + 1 > 0 ;\Leftrightarrow; x > -\dfrac{1}{2}$. Bất phương trình có vô số nghiệm (ví dụ $x = 0$ thoả mãn vì $1 > 0$).

→ $Q$ đúng, nên $\overline{Q}$ sai.

Vận dụng (trang 7)

Đề bài: Cho mệnh đề $Q$: “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”. Phát biểu mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề $Q$ và $\overline{Q}$.

Lời giải:

Mệnh đề phủ định:

$\overline{Q}$: “Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”.

Tính đúng sai: Trong $6$ châu lục, châu Á có diện tích lớn nhất (khoảng $44{,}5$ triệu $\text{km}^2$).

• Mệnh đề $Q$ đúng.
• Mệnh đề $\overline{Q}$ sai.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

HĐ3 (trang 8)

Đề bài: Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép ở hình bên?

A. Nếu … thì …

B. Tuy … nhưng …

(Câu ghép: “_____ sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông _____ có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tuỳ theo mức độ vi phạm.”)

Lời giải:

Câu ghép thể hiện quan hệ điều kiện – kết quả: việc sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông (điều kiện) sẽ dẫn đến bị xử phạt (kết quả).

Cặp từ phù hợp là A. Nếu … thì …

Câu hoàn chỉnh:

“Nếu sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông thì có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tuỳ theo mức độ vi phạm.”

HĐ4 (trang 8)

Đề bài: Cho hai câu sau:

$P$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$”;

$Q$: “Tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$”.

Hãy phát biểu câu ghép có dạng “Nếu $P$ thì $Q$”.

Lời giải:

Ghép $P$ và $Q$ theo dạng “Nếu $P$ thì $Q$”:

“Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ thì tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$.”

(Đây chính là định lí Pytago.)

HĐ5 (trang 8)

Đề bài: Xét hai câu sau:

$P$: “Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt”;

$Q$: “Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac > 0$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

b) Hãy phát biểu mệnh đề $Q \Rightarrow P$.

Lời giải:

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$:

“Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì phương trình đó có biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac > 0$.”

b) Mệnh đề $Q \Rightarrow P$:

“Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac > 0$ thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.”

Luyện tập 3 (trang 9)

Đề bài: Cho các mệnh đề $P$: “$a$ và $b$ chia hết cho $c$”; $Q$: “$a + b$ chia hết cho $c$”.

a) Hãy phát biểu định lí $P \Rightarrow Q$. Nêu giả thiết, kết luận của định lí và phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

Lời giải:

a) Định lí $P \Rightarrow Q$:

“Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.”

• Giả thiết: $a$ và $b$ chia hết cho $c$.
• Kết luận: $a + b$ chia hết cho $c$.

Phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ:

• “$a$ và $b$ chia hết cho $c$ là điều kiện đủ để $a + b$ chia hết cho $c$”.
• “$a + b$ chia hết cho $c$ là điều kiện cần để $a$ và $b$ chia hết cho $c$”.

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$:

“Nếu $a + b$ chia hết cho $c$ thì $a$ và $b$ chia hết cho $c$.”

Xác định tính đúng sai: Mệnh đề đảo này sai.

Phản ví dụ: chọn $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$. Khi đó $a + b = 3$ chia hết cho $c = 3$, nhưng $a = 1$ không chia hết cho $3$.

4. Mệnh đề tương đương

HĐ6 (trang 9)

Đề bài: Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:

“Một số tự nhiên chia hết cho $5$ nếu số đó có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc $5$ và ngược lại.”

Lời giải:

Mệnh đề trên gồm hai chiều:

• Chiều thuận: “Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc $5$ thì số đó chia hết cho $5$” → đúng (kiến thức về dấu hiệu chia hết cho $5$).
• Chiều đảo: “Nếu một số tự nhiên chia hết cho $5$ thì số đó có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc $5$” → đúng.

Cả hai chiều đều đúng nên đây là mệnh đề đúng.

(Mệnh đề này có thể viết lại: “Một số tự nhiên chia hết cho $5$ khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc $5$”.)

Luyện tập 4 (trang 9)

Đề bài: Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$.

Lời giải:

Dấu hiệu chia hết cho $2$: số tự nhiên chia hết cho $2$ khi và chỉ khi nó là số chẵn (có chữ số tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$).

Vậy điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho $2$ là:

“Số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ có chữ số tận cùng là $0, 2, 4, 6$ hoặc $8$.”

Hoặc ngắn gọn:

“Số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ là số chẵn.”

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall$, $\exists$

Câu hỏi (trang 10)

Đề bài: Hãy xác định tính đúng sai của hai mệnh đề sau:

$P$: “$\forall x \in \mathbb{R},; x^2 \geq 0$”;

$Q$: “$\exists x \in \mathbb{Q},; x^2 = 2$”.

Lời giải:

Mệnh đề $P$: “Với mọi số thực $x$, ta có $x^2 \geq 0$”.

Bình phương của một số thực bất kỳ luôn không âm nên mệnh đề $P$ đúng.

Mệnh đề $Q$: “Tồn tại một số hữu tỉ $x$ sao cho $x^2 = 2$”.

Nếu $x^2 = 2$ thì $x = \pm\sqrt{2}$. Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉ, không phải số hữu tỉ. Vậy không tồn tại số hữu tỉ nào có bình phương bằng $2$.

→ Mệnh đề $Q$ sai.

Luyện tập 5 (trang 10)

Đề bài: Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

$$\forall x \in \mathbb{R},; x^2 + 1 \leq 0.$$

Lời giải:

Phát biểu bằng lời: “Với mọi số thực $x$, ta có $x^2 + 1 \leq 0$.” (Hoặc: “Mọi số thực $x$ đều có $x^2 + 1 \leq 0$”.)

Xét tính đúng sai: Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $x^2 \geq 0$, suy ra:

$$x^2 + 1 \geq 0 + 1 = 1 > 0.$$

Vậy $x^2 + 1 > 0$ với mọi số thực $x$, tức là không bao giờ có $x^2 + 1 \leq 0$.

→ Mệnh đề sai.

Luyện tập 6 (trang 10)

Đề bài: Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương khác $1$”. Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng $1$”.

a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.

b) Dùng kí hiệu $\forall$, $\exists$ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

Lời giải:

a) Xét $x = 1$: ta có $1^2 = 1$. Vậy tồn tại số thực có bình phương bằng $1$.

• Phát biểu của Mai đúng (vì đúng là có số thực, chẳng hạn $x = 1$ hay $x = -1$, có bình phương bằng $1$).
• Phát biểu của Nam sai.

Nhận xét: Hai phát biểu của Nam và Mai là hai mệnh đề phủ định của nhau.

b) Viết bằng kí hiệu $\forall$, $\exists$:

• Phát biểu của Nam: $;\forall x \in \mathbb{R},; x^2 \neq 1$.
• Phát biểu của Mai: $;\exists x \in \mathbb{R},; x^2 = 1$.

Bài tập (trang 11)

Bài 1.1 (trang 11)

Đề bài: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Lời giải:

Nhớ lại: mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai. Câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải mệnh đề.

• a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là câu khẳng định, có thể xác định đúng hoặc sai → là mệnh đề.
• b) “Bạn học trường nào?” là câu hỏi → không phải mệnh đề.
• c) “Không được làm việc riêng trong giờ học” là câu cầu khiến → không phải mệnh đề.
• d) “Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang” là câu khẳng định, sau khi sút bóng sẽ xác định được đúng hay sai → là mệnh đề.

Kết luận: Các câu a và d là mệnh đề.

Bài 1.2 (trang 11)

Đề bài: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $\pi > \dfrac{10}{3}$;

b) Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng $0$;

d) $2\,022$ là hợp số.

Lời giải:

a) Ta có $\pi \approx 3{,}14$ và $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33$. Vì $3{,}14 < 3{,}33$ nên $\pi < \dfrac{10}{3}$.

→ Mệnh đề sai.

b) Giải phương trình $3x + 7 = 0$:

$$3x = -7 ;\Leftrightarrow; x = -\dfrac{7}{3}.$$

Phương trình có nghiệm $x = -\dfrac{7}{3}$. → Mệnh đề đúng.

c) Xét số $0$: $0 + 0 = 0$. Tồn tại một số (chính là $0$) cộng với chính nó bằng $0$.

→ Mệnh đề đúng.

d) $2\,022 = 2 \times 1\,011$, có nhiều hơn $2$ ước nên là hợp số.

→ Mệnh đề đúng.

Bài 1.3 (trang 11)

Đề bài: Cho hai câu sau:

$P$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông”;

$Q$: “Tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Lời giải:

Phát biểu $P \Leftrightarrow Q$:

“Tam giác $ABC$ là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại.”

Xét tính đúng sai:

Gọi ba góc của tam giác $ABC$ là $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$. Ta luôn có:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ. \quad (*)$$

Chiều $P \Rightarrow Q$: Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tức $\widehat{A} = 90^\circ$. Từ $(*)$:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ = \widehat{A}.$$

Vậy có một góc ($\widehat{A}$) bằng tổng hai góc còn lại → $P \Rightarrow Q$ đúng.

Chiều $Q \Rightarrow P$: Giả sử $\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$. Thay vào $(*)$:

$$\widehat{A} + \widehat{A} = 180^\circ ;\Leftrightarrow; \widehat{A} = 90^\circ.$$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → $Q \Rightarrow P$ đúng.

Cả hai chiều đều đúng nên $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

Bài 1.4 (trang 11)

Đề bài: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

$P$: “Nếu số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là $5$ thì $n$ chia hết cho $5$”;

$Q$: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau”.

Lời giải:

Mệnh đề đảo của $P$:

“Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho $5$ thì $n$ có chữ số tận cùng là $5$.”

Phản ví dụ: $n = 10$ chia hết cho $5$ nhưng chữ số tận cùng là $0$, không phải $5$. → Mệnh đề đảo sai.

Mệnh đề đảo của $Q$:

“Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.”

Phản ví dụ: hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình chữ nhật. → Mệnh đề đảo sai.

Bài 1.5 (trang 11)

Đề bài: Với hai số thực $a$ và $b$, xét các mệnh đề $P$: “$a^2 < b^2$” và $Q$: “$0 < a < b$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Lời giải:

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu $a^2 < b^2$ thì $0 < a < b$”.

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: “Nếu $0 < a < b$ thì $a^2 < b^2$”.

c) Xét tính đúng sai:

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: Chọn $a = -1$, $b = 2$.

• $a^2 = 1$ và $b^2 = 4$, suy ra $a^2 < b^2$ (giả thiết $P$ đúng).
• Nhưng $a = -1 < 0$, không thoả $0 < a < b$ (kết luận $Q$ sai).

→ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai.

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$: Giả sử $0 < a < b$. Vì $a$ và $b$ dương, nhân hai vế của $a < b$ với $a$ (dương): $a^2 < ab$. Nhân hai vế với $b$ (dương): $ab < b^2$. Suy ra:

$$a^2 < ab < b^2 ;\Rightarrow; a^2 < b^2.$$

→ Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ đúng.

Bài 1.6 (trang 11)

Đề bài: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó:

$$Q: ;\exists n \in \mathbb{N},; n \text{ chia hết cho } n + 1.$$

Lời giải:

Xét tính đúng sai: Thử với $n = 0$ (là số tự nhiên):

$$n + 1 = 1, \quad 0 \text{ chia hết cho } 1.$$

Tồn tại số tự nhiên $n = 0$ thoả mãn điều kiện → Mệnh đề $Q$ đúng.

Mệnh đề phủ định: Phủ định của “$\exists x, P(x)$” là “$\forall x, \overline{P(x)}$”:

$$\overline{Q}: ;\forall n \in \mathbb{N},; n \text{ không chia hết cho } n + 1.$$

Vì $Q$ đúng nên $\overline{Q}$ sai.

Bài 1.7 (trang 11)

Đề bài: Dùng kí hiệu $\forall$, $\exists$ để viết các mệnh đề sau:

$P$: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

$Q$: “Có một số thực cộng với chính nó bằng $0$”.

Lời giải:

Quy ước: “mọi” dùng $\forall$, “có một” / “tồn tại” dùng $\exists$.

Mệnh đề $P$:

$$P: ;\forall n \in \mathbb{N},; n^2 \geq n.$$

(Đọc: với mọi số tự nhiên $n$, ta có $n^2 \geq n$.)

Mệnh đề $Q$:

$$Q: ;\exists x \in \mathbb{R},; x + x = 0.$$

(Đọc: tồn tại một số thực $x$ sao cho $x + x = 0$ – số đó chính là $x = 0$.)

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh