Trước khi vào lời giải, các em nhớ lại các công thức chính:

• Số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$. Với bảng tần số: $\overline{x} = \dfrac{m_1 x_1 + \ldots + m_k x_k}{n}$.
• Trung vị $M_e$: sắp xếp tăng dần; $n$ lẻ thì lấy giá trị chính giữa, $n$ chẵn thì lấy trung bình của hai giá trị chính giữa.
• Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$: $Q_2$ là trung vị; $Q_1$ là trung vị nửa trái của $Q_2$; $Q_3$ là trung vị nửa phải của $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).
• Mốt: giá trị có tần số lớn nhất. Một mẫu có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt.

1. Số trung bình và trung vị

HĐ1 (trang 78)

Đề bài: Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B.

Lời giải:

Mỗi lớp có $25$ điểm khảo sát.

Lớp A: Tổng điểm:

$$2+7+6+3+9 + 8+6+7+9+2 + 5+7+5+9+8 + 8+7+4+3+5 + 5+4+5+7+7 = 148.$$

$$\overline{x}_A = \dfrac{148}{25} = 5{,}92.$$

Lớp B: Tổng điểm:

$$6+7+6+4+7 + 9+3+8+7+5 + 5+6+8+7+4 + 5+3+10+7+9 + 6+7+6+7+5 = 157.$$

$$\overline{x}_B = \dfrac{157}{25} = 6{,}28.$$

HĐ2 (trang 78)

Đề bài: Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.

Lời giải:

So sánh: $\overline{x}_A = 5{,}92$ và $\overline{x}_B = 6{,}28$.

Vì $6{,}28 > 5{,}92$, lớp B có điểm trung bình cao hơn → phương pháp học tập áp dụng cho lớp B hiệu quả hơn.

Luyện tập 1 (trang 79)

Đề bài: Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li $100$ m của các bạn trong lớp (đơn vị: giây):

Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li $100$ m của các bạn trong lớp.

Lời giải:

Tổng số bạn: $n = 5 + 7 + 10 + 8 + 6 = 36$.

Áp dụng công thức số trung bình cho bảng tần số:

$$\overline{x} = \dfrac{5 \cdot 12 + 7 \cdot 13 + 10 \cdot 14 + 8 \cdot 15 + 6 \cdot 16}{36}.$$

Tính tử số: $60 + 91 + 140 + 120 + 96 = 507$.

$$\overline{x} = \dfrac{507}{36} \approx 14{,}08 \text{ (giây)}.$$

Vậy thời gian chạy trung bình $\approx 14{,}08$ giây.

HĐ3 (trang 79)

Đề bài: Một công ty nhỏ gồm $1$ giám đốc và $5$ nhân viên, thu nhập hằng tháng của giám đốc là $20$ triệu đồng, của mỗi nhân viên là $4$ triệu đồng.

a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.

b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty không?

Lời giải:

a) Tổng số người: $1 + 5 = 6$.

$$\overline{x} = \dfrac{1 \cdot 20 + 5 \cdot 4}{6} = \dfrac{20 + 20}{6} = \dfrac{40}{6} \approx 6{,}67 \text{ (triệu đồng)}.$$

b) Thu nhập trung bình ($\approx 6{,}67$ triệu) không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên. Thực tế mỗi nhân viên chỉ nhận $4$ triệu (thấp hơn nhiều so với mức trung bình). Số trung bình bị “kéo lên” bởi mức lương $20$ triệu của giám đốc – đây là một giá trị bất thường.

Luyện tập 2 (trang 79)

Đề bài: Chiều dài (đơn vị feet) của $7$ con cá voi trưởng thành được cho như sau:

$$48 \quad 53 \quad 51 \quad 31 \quad 53 \quad 112 \quad 52.$$

Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của $7$ con cá voi trưởng thành này?

Lời giải:

Số trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{48 + 53 + 51 + 31 + 53 + 112 + 52}{7} = \dfrac{400}{7} \approx 57{,}14 \text{ (feet)}.$$

Trung vị: Sắp xếp tăng dần:

$$31 \quad 48 \quad 51 \quad \underline{52} \quad 53 \quad 53 \quad 112.$$

$n = 7$ (lẻ), giá trị chính giữa (vị trí $4$) là $52$.

$$M_e = 52 \text{ (feet)}.$$

Chọn số đại diện: Trong mẫu có giá trị $112$ feet lớn bất thường so với các số còn lại (đa số nằm trong khoảng $31$–$53$). Giá trị bất thường này làm số trung bình bị “kéo lên” cao ($57{,}14$), không phản ánh đúng đa số.

Vậy trung vị $52$ feet phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của $7$ con cá voi.

2. Tứ phân vị

HĐ4 (trang 80)

Đề bài: Điểm (thang điểm $100$) của $12$ thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:

$$58 \quad 74 \quad 92 \quad 81 \quad 97 \quad 88 \quad 75 \quad 69 \quad 87 \quad 69 \quad 75 \quad 77.$$

Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho $25\%$ số thí sinh ($3$ thí sinh). Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.

Lời giải:

Sắp xếp tăng dần ($n = 12$ số):

$$58 \quad 69 \quad 69 \quad 74 \quad 75 \quad 75 \quad 77 \quad 81 \quad 87 \quad 88 \quad 92 \quad 97.$$

Tìm $Q_2$: $n = 12$ chẵn, $Q_2$ là trung bình của hai giá trị chính giữa (vị trí $6$ và $7$):

$$Q_2 = \dfrac{75 + 77}{2} = 76.$$

Tìm $Q_1$: Trung vị của nửa trái $Q_2$ (vị trí $1$ – $6$): $58, 69, 69, 74, 75, 75$.

$$Q_1 = \dfrac{69 + 74}{2} = 71{,}5.$$

Tìm $Q_3$: Trung vị của nửa phải $Q_2$ (vị trí $7$ – $12$): $77, 81, 87, 88, 92, 97$.

$$Q_3 = \dfrac{87 + 88}{2} = 87{,}5.$$

Các ngưỡng điểm để phân loại ($Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu thành $4$ phần đều, mỗi phần $25\%$):

Luyện tập 3 (trang 81)

Đề bài: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp $10$:

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Tổng số học sinh: $n = 2 + 4 + 6 + 12 + 8 + 3 = 35$.

Liệt kê mẫu (đã sắp xếp tăng dần):

$$\underbrace{0, 0}_{2 \text{ số}},\; \underbrace{1, 1, 1, 1}_{4 \text{ số}},\; \underbrace{2, 2, 2, 2, 2, 2}_{6 \text{ số}},\; \underbrace{3, 3, \ldots, 3}_{12 \text{ số}},\; \underbrace{4, 4, \ldots, 4}_{8 \text{ số}},\; \underbrace{5, 5, 5}_{3 \text{ số}}.$$

Tìm $Q_2$: $n = 35$ lẻ, $Q_2$ ở vị trí chính giữa, tức vị trí $18$.

Tính vị trí: $2 + 4 + 6 = 12$ (đến hết giá trị $2$); $12 + 12 = 24$ (đến hết giá trị $3$). Vậy các vị trí $13$ – $24$ đều có giá trị $3$.

Vị trí $18$ thuộc khoảng $13$–$24$ → $Q_2 = 3$.

Tìm $Q_1$: Trung vị của nửa trái $Q_2$ (gồm $17$ số đầu, không bao gồm vị trí $18$).

$17$ lẻ → $Q_1$ ở vị trí $9$ của nửa trái (tức vị trí $9$ trong dãy gốc).

Vị trí $9$ thuộc khoảng $7$–$12$ (các giá trị $2$) → $Q_1 = 2$.

Tìm $Q_3$: Trung vị của nửa phải $Q_2$ (gồm $17$ số sau, từ vị trí $19$ đến $35$).

$17$ lẻ → $Q_3$ ở vị trí giữa của nửa phải, tức vị trí $9$ trong nửa phải $=$ vị trí $18 + 9 = 27$ trong dãy gốc.

Vị trí $27$ thuộc khoảng $25$–$32$ (các giá trị $4$) → $Q_3 = 4$.

Kết luận: $Q_1 = 2;; Q_2 = 3;; Q_3 = 4$.

3. Mốt

HĐ5 (trang 81)

Đề bài: Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:

$$38; 39; 39; 38; 40; 41; 39; 39; 38; 39; 39; 39; 40; 39; 39.$$

a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?

b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?

Lời giải:

Đếm tần số: cỡ $38$ xuất hiện $3$ lần; cỡ $39$ xuất hiện $9$ lần; cỡ $40$ xuất hiện $2$ lần; cỡ $41$ xuất hiện $1$ lần. Tổng: $15$ khách.

a) Cỡ giày trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{38 \cdot 3 + 39 \cdot 9 + 40 \cdot 2 + 41 \cdot 1}{15} = \dfrac{114 + 351 + 80 + 41}{15} = \dfrac{586}{15} \approx 39{,}07.$$

Số trung bình này không có ý nghĩa thực tế đối với cửa hàng vì không tồn tại cỡ giày $39{,}07$ – cửa hàng chỉ bán giày theo cỡ nguyên ($38, 39, 40, \ldots$).

b) Trong mẫu, cỡ $39$ có tần số lớn nhất ($9$ lần) → mốt $= 39$.

Vậy cửa hàng nên nhập cỡ giày $39$ với số lượng nhiều nhất.

Vận dụng (trang 82)

Đề bài: Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điểm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.

Lời giải:

Đã tính ở HĐ1: $\overline{x}_A = 5{,}92$ và $\overline{x}_B = 6{,}28$.

Lớp A: Sắp xếp tăng dần ($n = 25$):

$$2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, \underline{6}, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9.$$

• $Q_2 = $ giá trị vị trí $13 = 6$.
• Nửa trái ($12$ số): $2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6$. $Q_1 = \dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$.
• Nửa phải ($12$ số): $7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9$. $Q_3 = \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5$.
• Tần số: giá trị $7$ xuất hiện $6$ lần (nhiều nhất) → Mốt $= 7$.

Lớp B: Sắp xếp tăng dần ($n = 25$):

$$3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, \underline{6}, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10.$$

• $Q_2 = $ giá trị vị trí $13 = 6$.
• Nửa trái ($12$ số): $3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6$. $Q_1 = \dfrac{5 + 5}{2} = 5$.
• Nửa phải ($12$ số): $7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10$. $Q_3 = \dfrac{7 + 7}{2} = 7$.
• Tần số: giá trị $7$ xuất hiện $7$ lần (nhiều nhất) → Mốt $= 7$.

Bảng so sánh:

Phân tích:

• Trung bình lớp B cao hơn lớp A ($6{,}28 > 5{,}92$).
• $Q_1$ của lớp B cao hơn ($5 > 4{,}5$) → $25\%$ học sinh thấp điểm nhất ở lớp B có điểm tốt hơn ở lớp A.
• Trung vị và mốt như nhau ở cả hai lớp.
• $Q_3$ lớp A cao hơn lớp B ($7{,}5 > 7$) → $25\%$ học sinh cao điểm nhất ở lớp A nhỉnh hơn.

Kết luận: Nhìn tổng thể, lớp B có kết quả học tập đồng đều hơn và trung bình cao hơn, nên phương pháp dạy ở lớp B hiệu quả hơn.

Bài tập (trang 82–83)

Bài 5.7 (trang 82)

Đề bài: Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà $5$ vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: $9 \quad 8 \quad 15 \quad 8 \quad 20$.

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): $350 \quad 300 \quad 650 \quad 300 \quad 450 \quad 500 \quad 300 \quad 250$.

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: $36 \quad 38 \quad 33 \quad 34 \quad 32 \quad 30 \quad 34 \quad 35$.

Lời giải:

a) $9, 8, 15, 8, 20$ ($n = 5$).

• Trung bình: $\overline{x} = \dfrac{9 + 8 + 15 + 8 + 20}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$.
• Sắp xếp: $8, 8, \underline{9}, 15, 20$. $n = 5$ lẻ → $Q_2 = 9$.
• Nửa trái ($2$ số): $8, 8$ → $Q_1 = \dfrac{8 + 8}{2} = 8$.
• Nửa phải ($2$ số): $15, 20$ → $Q_3 = \dfrac{15 + 20}{2} = 17{,}5$.
• Mốt: $8$ (xuất hiện $2$ lần).

b) $350, 300, 650, 300, 450, 500, 300, 250$ ($n = 8$).

• Trung bình: $\overline{x} = \dfrac{350 + 300 + 650 + 300 + 450 + 500 + 300 + 250}{8} = \dfrac{3\,100}{8} = 387{,}5$ (nghìn đồng).
• Sắp xếp: $250, 300, 300, 300, 350, 450, 500, 650$. $n = 8$ chẵn → $Q_2 = \dfrac{300 + 350}{2} = 325$.
• Nửa trái ($4$ số): $250, 300, 300, 300$ → $Q_1 = \dfrac{300 + 300}{2} = 300$.
• Nửa phải ($4$ số): $350, 450, 500, 650$ → $Q_3 = \dfrac{450 + 500}{2} = 475$.
• Mốt: $300$ (xuất hiện $3$ lần).

c) $36, 38, 33, 34, 32, 30, 34, 35$ ($n = 8$).

• Trung bình: $\overline{x} = \dfrac{36 + 38 + 33 + 34 + 32 + 30 + 34 + 35}{8} = \dfrac{272}{8} = 34$.
• Sắp xếp: $30, 32, 33, 34, 34, 35, 36, 38$. $n = 8$ chẵn → $Q_2 = \dfrac{34 + 34}{2} = 34$.
• Nửa trái ($4$ số): $30, 32, 33, 34$ → $Q_1 = \dfrac{32 + 33}{2} = 32{,}5$.
• Nửa phải ($4$ số): $34, 35, 36, 38$ → $Q_3 = \dfrac{35 + 36}{2} = 35{,}5$.
• Mốt: $34$ (xuất hiện $2$ lần).

Bài 5.8 (trang 82)

Đề bài: Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh: Thuỷ tinh $0$, Kim tinh $0$, Trái Đất $1$, Hoả tinh $2$, Mộc tinh $63$, Thổ tinh $34$, Thiên Vương tinh $27$, Hải Vương tinh $13$.

b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: $32 \quad 24 \quad 20 \quad 14 \quad 23$.

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: $80 \quad 102 \quad 83 \quad 103 \quad 108 \quad 94 \quad 110 \quad 106 \quad 104 \quad 100$.

d) Các sai số trong một phép đo: $10 \quad 15 \quad 18 \quad 15 \quad 14 \quad 13 \quad 42 \quad 15 \quad 12 \quad 14 \quad 42$.

Lời giải:

Quy tắc chọn:

• Nếu mẫu không có giá trị bất thường và phân bố tương đối đều → dùng trung bình.
• Nếu mẫu có giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại) → dùng trung vị.

a) Mẫu ${0, 0, 1, 2, 63, 34, 27, 13}$.

Sắp xếp: $0, 0, 1, 2, 13, 27, 34, 63$. Trong các hành tinh, đa số có $\leq 34$ mặt trăng, nhưng có Mộc tinh $63$ là giá trị bất thường lớn → dùng trung vị.

$n = 8$ chẵn → $M_e = \dfrac{2 + 13}{2} = 7{,}5$.

b) Mẫu ${32, 24, 20, 14, 23}$.

Sắp xếp: $14, 20, 23, 24, 32$. Các giá trị tương đối đều, không có bất thường → dùng trung bình.

$$\overline{x} = \dfrac{32 + 24 + 20 + 14 + 23}{5} = \dfrac{113}{5} = 22{,}6.$$

c) Mẫu IQ.

Sắp xếp: $80, 83, 94, 100, 102, 103, 104, 106, 108, 110$. Các giá trị tương đối gần nhau, không có bất thường rõ rệt → dùng trung bình.

$$\overline{x} = \dfrac{80 + 102 + 83 + 103 + 108 + 94 + 110 + 106 + 104 + 100}{10} = \dfrac{990}{10} = 99.$$

d) Mẫu sai số ${10, 15, 18, 15, 14, 13, 42, 15, 12, 14, 42}$.

Sắp xếp: $10, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 42, 42$. Hai giá trị $42$ lớn bất thường so với các sai số còn lại (đa số nằm trong $10$–$18$) → dùng trung vị.

$n = 11$ lẻ → $M_e = $ giá trị vị trí $6 = 15$.

Bài 5.9 (trang 83)

Đề bài: Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học $2018$–$2019$ của $10$ trường Trung học phổ thông được cho như sau:

$$0; 0; 4; 0; 0; 0; 10; 0; 6; 0.$$

a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Lời giải:

a) Sắp xếp tăng dần: $0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 6, 10$ ($n = 10$).

• Trung bình: $\overline{x} = \dfrac{0 \cdot 7 + 4 + 6 + 10}{10} = \dfrac{20}{10} = 2$.
• Mốt: giá trị $0$ xuất hiện $7$ lần (nhiều nhất) → Mốt $= 0$.
• Tứ phân vị $Q_2$: $n = 10$ chẵn, vị trí giữa là $5$ và $6$:

$$Q_2 = \dfrac{0 + 0}{2} = 0.$$

• $Q_1$: Nửa trái ($5$ số đầu): $0, 0, 0, 0, 0$. Trung vị (vị trí $3$) $= 0$.

$$Q_1 = 0.$$

• $Q_3$: Nửa phải ($5$ số sau): $0, 0, 4, 6, 10$. Trung vị (vị trí $3$) $= 4$.

$$Q_3 = 4.$$

b) $Q_1$ và trung vị $Q_2$ đều bằng $0$ vì trong $10$ giá trị có tới $7$ giá trị bằng $0$ (chiếm hơn $\dfrac{1}{2}$ số phần tử). Tất cả các vị trí từ $1$ đến $7$ trong dãy đã sắp xếp đều là $0$, nên cả vị trí giữa của nửa trái ($Q_1$) và vị trí giữa của toàn mẫu ($Q_2$) đều rơi vào giá trị $0$.

Bài 5.10 (trang 83)

Đề bài: Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm $2018$:

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

Lời giải:

Trường hợp 1: Có Mỹ Đình ($5$ số liệu).

Sắp xếp: $20\,120;; 20\,120;; 21\,315;; 23\,405;; 37\,546$.

• Trung bình: $\overline{x}_1 = \dfrac{20\,120 + 21\,315 + 23\,405 + 20\,120 + 37\,546}{5} = \dfrac{122\,506}{5} = 24\,501{,}2$.
• Trung vị: $n = 5$ lẻ → vị trí $3 = 21\,315$.
• Mốt: $20\,120$ (xuất hiện $2$ lần).

Trường hợp 2: Bỏ Mỹ Đình ($4$ số liệu).

Sắp xếp: $20\,120;; 20\,120;; 21\,315;; 23\,405$.

• Trung bình: $\overline{x}_2 = \dfrac{20\,120 + 21\,315 + 23\,405 + 20\,120}{4} = \dfrac{84\,960}{4} = 21\,240$.
• Trung vị: $n = 4$ chẵn → $M_e = \dfrac{20\,120 + 21\,315}{2} = 20\,717{,}5$.
• Mốt: $20\,120$ (xuất hiện $2$ lần).

So sánh ảnh hưởng:

Nhận xét:

• Trung bình bị ảnh hưởng mạnh nhất (giảm $3\,261{,}2$): vì $37\,546$ là giá trị bất thường lớn, khi loại bỏ thì trung bình giảm đáng kể.
• Trung vị bị ảnh hưởng ít hơn (giảm $597{,}5$).
• Mốt không thay đổi: vì giá trị xuất hiện nhiều nhất vẫn là $20\,120$.

→ Điều này minh hoạ tính chất quan trọng: trung bình rất nhạy với giá trị bất thường, còn trung vị và mốt thì không.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh