Trước khi vào lời giải, các em nhớ lại các công thức chính:

• Khoảng biến thiên: $R = x_{\max} – x_{\min}$.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$.
• Phương sai: $s^2 = \dfrac{(x_1 – \overline{x})^2 + (x_2 – \overline{x})^2 + \ldots + (x_n – \overline{x})^2}{n}$.
• Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.
• Giá trị bất thường: $x < Q_1 – 1{,}5 \cdot \Delta_Q$ hoặc $x > Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q$.

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

HĐ1 (trang 84)

Đề bài: Một cổ động viên đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong $5$ mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây (từ $2014$–$2015$ đến $2018$–$2019$):

Leicester City: $41 \quad 81 \quad 44 \quad 47 \quad 52$.

Everton: $47 \quad 47 \quad 61 \quad 49 \quad 54$.

Cổ động viên đó cho rằng Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Lời giải:

Để đo độ ổn định, ta dùng khoảng biến thiên $R = x_{\max} – x_{\min}$. $R$ càng nhỏ thì điểm số càng tập trung, đội càng ổn định.

Leicester City: $x_{\min} = 41$; $x_{\max} = 81$.

$$R_1 = 81 – 41 = 40.$$

Everton: $x_{\min} = 47$; $x_{\max} = 61$.

$$R_2 = 61 – 47 = 14.$$

Vì $R_2 = 14 < R_1 = 40$, các điểm số của Everton tập trung hơn (chênh lệch ít hơn).

→ Đồng ý với nhận định: Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City.

Luyện tập 1 (trang 85)

Đề bài: Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

$$163 \quad 159 \quad 172 \quad 167 \quad 165 \quad 168 \quad 170 \quad 161.$$

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Lời giải:

Sắp xếp tăng dần: $159, 161, 163, 165, 167, 168, 170, 172$.

• Giá trị nhỏ nhất: $x_{\min} = 159$ cm.
• Giá trị lớn nhất: $x_{\max} = 172$ cm.

$$R = 172 – 159 = 13 \text{ (cm)}.$$

HĐ2 (trang 85)

Đề bài: Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị °C) tại Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:

Hà Nội: $23 \quad 25 \quad 28 \quad 28 \quad 32 \quad 33 \quad 35$.

Điện Biên: $16 \quad 24 \quad 26 \quad 26 \quad 26 \quad 27 \quad 28$.

a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.

b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị $16$ đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?

c) Tính các tứ phân vị và hiệu $Q_3 – Q_1$ cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên:

• Hà Nội: $R_{HN} = 35 – 23 = 12$ (°C).
• Điện Biên: $R_{ĐB} = 28 – 16 = 12$ (°C).

So sánh: $R_{HN} = R_{ĐB} = 12$. Hai khoảng biến thiên bằng nhau.

b) Nếu bỏ giá trị $16$ trong dãy Điện Biên, mẫu còn lại ${24, 26, 26, 26, 27, 28}$ có $R = 28 – 24 = 4$ (°C). Nhưng khi có giá trị $16$, $R$ tăng lên $12$.

→ Giá trị $16$ là giá trị bất thường (nhỏ hơn nhiều so với các giá trị còn lại), và nó làm khoảng biến thiên tăng đáng kể. Điều này cho thấy khoảng biến thiên rất nhạy với giá trị bất thường.

c) Tính tứ phân vị cho từng mẫu (đều đã sắp xếp tăng dần, $n = 7$ lẻ → $Q_2$ là vị trí $4$).

Hà Nội: $23, 25, 28, \underline{28}, 32, 33, 35$.

• $Q_2 = 28$.
• Nửa trái: $23, 25, 28$ → $Q_1 = 25$ (vị trí giữa).
• Nửa phải: $32, 33, 35$ → $Q_3 = 33$.
• $\Delta_Q^{HN} = Q_3 – Q_1 = 33 – 25 = 8$.

Điện Biên: $16, 24, 26, \underline{26}, 26, 27, 28$.

• $Q_2 = 26$.
• Nửa trái: $16, 24, 26$ → $Q_1 = 24$.
• Nửa phải: $26, 27, 28$ → $Q_3 = 27$.
• $\Delta_Q^{ĐB} = 27 – 24 = 3$.

So sánh: $\Delta_Q^{ĐB} = 3 < \Delta_Q^{HN} = 8$.

→ Hiệu $Q_3 – Q_1$ có thể dùng để đo độ phân tán: hiệu càng nhỏ thì mẫu càng tập trung. Theo chỉ số này, nhiệt độ Điện Biên ổn định hơn Hà Nội (ngược với khi dùng khoảng biến thiên – cho thấy chỉ số $\Delta_Q$ không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường $16$).

Luyện tập 2 (trang 86)

Đề bài: Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:

$$12 \quad 7 \quad 10 \quad 9 \quad 12 \quad 9 \quad 10 \quad 11 \quad 10 \quad 14.$$

Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Sắp xếp tăng dần ($n = 10$):

$$7, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 14.$$

Tìm $Q_2$: $n = 10$ chẵn, $Q_2$ là trung bình của hai giá trị vị trí $5$ và $6$:

$$Q_2 = \dfrac{10 + 10}{2} = 10.$$

Tìm $Q_1$: Nửa trái ($5$ số đầu): $7, 9, 9, 10, 10$. Vị trí giữa (vị trí $3$) $= 9$:

$$Q_1 = 9.$$

Tìm $Q_3$: Nửa phải ($5$ số sau): $10, 11, 12, 12, 14$. Vị trí giữa $= 12$:

$$Q_3 = 12.$$

Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 12 – 9 = 3.$$

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Luyện tập 3 (trang 87)

Đề bài: Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến $0{,}001$ giây để đo $7$ lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm $A$ ($v_A = 0$) đến điểm $B$. Kết quả đo như sau:

$$0{,}398 \quad 0{,}399 \quad 0{,}408 \quad 0{,}410 \quad 0{,}406 \quad 0{,}405 \quad 0{,}402.$$

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Lời giải:

Bước 1: Tính số trung bình.

$$\overline{x} = \dfrac{0{,}398 + 0{,}399 + 0{,}408 + 0{,}410 + 0{,}406 + 0{,}405 + 0{,}402}{7} = \dfrac{2{,}828}{7} = 0{,}404 \text{ (giây)}.$$

Bước 2: Lập bảng tính độ lệch và bình phương độ lệch.

Bước 3: Phương sai và độ lệch chuẩn.

$$s^2 = \dfrac{0{,}000122}{7} \approx 0{,}0000174.$$

$$s = \sqrt{s^2} \approx 0{,}00418 \text{ (giây)}.$$

Nhận xét: Độ lệch chuẩn $s \approx 0{,}00418$ giây rất nhỏ, cho thấy các kết quả đo gần nhau và gần với giá trị trung bình → phép đo có độ chính xác cao.

3. Phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác bằng biểu đồ hộp

Luyện tập 4 (trang 87)

Đề bài: Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là $56$ và tứ phân vị thứ ba là $84$. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị $10$ và $100$ giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

Lời giải:

Tính các ngưỡng:

$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 84 – 56 = 28.$$

$$Q_1 – 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 56 – 1{,}5 \cdot 28 = 56 – 42 = 14.$$

$$Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 84 + 1{,}5 \cdot 28 = 84 + 42 = 126.$$

Một giá trị $x$ là bất thường nếu $x < 14$ hoặc $x > 126$.

Kiểm tra:

• $x = 10$: $10 < 14$ → là giá trị bất thường.
• $x = 100$: $14 \leq 100 \leq 126$ → không phải giá trị bất thường.

Bài tập (trang 88)

Bài 5.11 (trang 88)

Đề bài: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Lời giải:

(1) Sai. Khi các giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch $x_i – \overline{x}$ càng nhỏ, dẫn đến phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ (không phải lớn).

(2) Đúng. Theo định nghĩa $R = x_{\max} – x_{\min}$, chỉ dùng hai giá trị này.

(3) Sai. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$ chỉ sử dụng $Q_1$ và $Q_3$, không sử dụng giá trị lớn nhất, bé nhất.

(4) Sai. Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của $50%$ số liệu chính giữa (từ $Q_1$ đến $Q_3$), không phải nửa dưới.

(5) Đúng. Khoảng biến thiên $R = x_{\max} – x_{\min} \geq 0$; khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 – Q_1 \geq 0$; phương sai $s^2$ là tổng các bình phương chia cho $n$ nên $\geq 0$; độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2} \geq 0$.

Tóm lại: (1) Sai; (2) Đúng; (3) Sai; (4) Sai; (5) Đúng.

Bài 5.12 (trang 88)

Đề bài: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như hình bên. Số chấm trên mỗi giá trị biểu diễn cho tần số của giá trị đó. Không tính toán, hãy cho biết:

a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Lời giải:

Quan sát hai biểu đồ chấm điểm:

• Mẫu A: các giá trị trải đều từ $3$ đến $9$, mỗi giá trị có tần số tương đối đồng đều.
• Mẫu B: các giá trị cũng trải từ $3$ đến $9$ nhưng phần lớn tập trung ở các giá trị giữa (quanh $5$–$7$).

a) Cả hai mẫu đều có giá trị nhỏ nhất là $3$ và giá trị lớn nhất là $9$ → cùng khoảng biến thiên $R = 9 – 3 = 6$.

Do hai biểu đồ đối xứng và có cùng tâm (đều quanh giá trị $6$) → cùng số trung bình $\overline{x} \approx 6$.

b) Mẫu A có các giá trị trải đều (xa giá trị trung bình hơn), còn mẫu B có các giá trị tập trung quanh trung bình.

→ Mẫu A có phương sai lớn hơn.

Bài 5.13 (trang 88)

Đề bài: Cho mẫu số liệu gồm $10$ số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$.

Lời giải:

Gọi mẫu ban đầu là $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ với số trung bình $\overline{x}$, khoảng biến thiên $R$, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$, độ lệch chuẩn $s$.

a) Nhân mỗi giá trị với $2$: Mẫu mới là $2x_1, 2x_2, \ldots, 2x_{10}$, có số trung bình mới là $2\overline{x}$.

• Khoảng biến thiên: $R_{\text{mới}} = 2 x_{\max} – 2 x_{\min} = 2(x_{\max} – x_{\min}) = 2R$ → tăng gấp $2$ lần.
• Khoảng tứ phân vị: Tứ phân vị mới là $2Q_1$ và $2Q_3$ → $\Delta_Q^{\text{mới}} = 2Q_3 – 2Q_1 = 2 \Delta_Q$ → tăng gấp $2$ lần.
• Độ lệch chuẩn: Mỗi độ lệch là $2x_i – 2\overline{x} = 2(x_i – \overline{x})$, bình phương là $4(x_i – \overline{x})^2$. Phương sai mới: $s^2_{\text{mới}} = 4 s^2$. Độ lệch chuẩn mới: $s_{\text{mới}} = 2s$ → tăng gấp $2$ lần.

b) Cộng mỗi giá trị với $2$: Mẫu mới là $x_1 + 2, x_2 + 2, \ldots, x_{10} + 2$, có số trung bình mới là $\overline{x} + 2$.

• Khoảng biến thiên: $(x_{\max} + 2) – (x_{\min} + 2) = x_{\max} – x_{\min} = R$ → không đổi.
• Khoảng tứ phân vị: $(Q_3 + 2) – (Q_1 + 2) = Q_3 – Q_1 = \Delta_Q$ → không đổi.
• Độ lệch chuẩn: Độ lệch mới $(x_i + 2) – (\overline{x} + 2) = x_i – \overline{x}$ → phương sai và độ lệch chuẩn không đổi.

Tóm tắt:

Bài 5.14 (trang 88)

Đề bài: Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của $51$ thành phố tại một quốc gia, người ta tính được: giá trị nhỏ nhất bằng $2{,}5$; $Q_1 = 36$; $Q_2 = 60$; $Q_3 = 100$; giá trị lớn nhất bằng $205$.

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là bao nhiêu?

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có $50%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, tứ phân vị $Q_1 = 36$ chia mẫu số liệu sao cho khoảng $25%$ số liệu nhỏ hơn hoặc bằng $Q_1$ và $75%$ số liệu lớn hơn $Q_1$.

→ Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là $75%$.

b) Khoảng từ $Q_1$ đến $Q_3$ chứa đúng $50%$ số liệu chính giữa của mẫu (đó là ý nghĩa của tứ phân vị).

→ Hai giá trị cần tìm là $Q_1 = 36$ và $Q_3 = 100$.

c) Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 100 – 36 = 64.$$

Bài 5.15 (trang 88)

Đề bài: Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của $10$ trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

$$2{,}977 \quad 3{,}155 \quad 3{,}920 \quad 3{,}412 \quad 4{,}236 \quad 2{,}593 \quad 3{,}270 \quad 3{,}813 \quad 4{,}042 \quad 3{,}387.$$

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Sắp xếp tăng dần ($n = 10$):

$$2{,}593;; 2{,}977;; 3{,}155;; 3{,}270;; 3{,}387;; 3{,}412;; 3{,}813;; 3{,}920;; 4{,}042;; 4{,}236.$$

Khoảng biến thiên:

$$R = 4{,}236 – 2{,}593 = 1{,}643 \text{ (kg)}.$$

Khoảng tứ phân vị: $n = 10$ chẵn.

• $Q_2 = \dfrac{3{,}387 + 3{,}412}{2} = 3{,}3995$.
• Nửa trái ($5$ số): $2{,}593;; 2{,}977;; 3{,}155;; 3{,}270;; 3{,}387$ → $Q_1 = 3{,}155$ (vị trí giữa).
• Nửa phải ($5$ số): $3{,}412;; 3{,}813;; 3{,}920;; 4{,}042;; 4{,}236$ → $Q_3 = 3{,}920$.

$$\Delta_Q = 3{,}920 – 3{,}155 = 0{,}765 \text{ (kg)}.$$

Độ lệch chuẩn:

Số trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{2{,}977 + 3{,}155 + 3{,}920 + 3{,}412 + 4{,}236 + 2{,}593 + 3{,}270 + 3{,}813 + 4{,}042 + 3{,}387}{10} = \dfrac{34{,}805}{10} = 3{,}4805.$$

Tính tổng các bình phương độ lệch (làm tròn để học sinh dễ theo dõi):

$$(2{,}977 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}2535;; (3{,}155 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}1060;$$ $$(3{,}920 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}1932;; (3{,}412 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}0047;$$ $$(4{,}236 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}5708;; (2{,}593 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}7877;$$ $$(3{,}270 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}0443;; (3{,}813 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}1106;$$ $$(4{,}042 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}3153;; (3{,}387 – 3{,}4805)^2 \approx 0{,}0087.$$

Tổng: $\approx 2{,}3946$.

Phương sai:

$$s^2 = \dfrac{2{,}3946}{10} \approx 0{,}2395.$$

Độ lệch chuẩn:

$$s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{0{,}2395} \approx 0{,}4894 \text{ (kg)}.$$

Mẹo: Với những bài cân nặng / thời gian như thế này, các em có thể dùng máy tính cầm tay (chế độ STAT) để tính nhanh số trung bình và độ lệch chuẩn, tránh sai sót khi tính tay.

Bài 5.16 (trang 88)

Đề bài: Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm $2007$ (đơn vị %) được cho như sau:

$$7{,}8 \quad 3{,}2 \quad 7{,}7 \quad 8{,}7 \quad 8{,}6 \quad 8{,}4 \quad 7{,}2 \quad 3{,}6 \quad 5{,}0 \quad 4{,}4 \quad 6{,}7 \quad 7{,}0 \quad 4{,}5 \quad 6{,}0 \quad 5{,}4.$$

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Bước 1: Sắp xếp tăng dần ($n = 15$):

$$3{,}2;; 3{,}6;; 4{,}4;; 4{,}5;; 5{,}0;; 5{,}4;; 6{,}0;; \underline{6{,}7};; 7{,}0;; 7{,}2;; 7{,}7;; 7{,}8;; 8{,}4;; 8{,}6;; 8{,}7.$$

Bước 2: Tìm tứ phân vị. $n = 15$ lẻ → $Q_2$ ở vị trí $8 = 6{,}7$.

• Nửa trái ($7$ số đầu, không bao gồm $Q_2$): $3{,}2;; 3{,}6;; 4{,}4;; \underline{4{,}5};; 5{,}0;; 5{,}4;; 6{,}0$. $Q_1 = 4{,}5$ (vị trí giữa).
• Nửa phải ($7$ số sau): $7{,}0;; 7{,}2;; 7{,}7;; \underline{7{,}8};; 8{,}4;; 8{,}6;; 8{,}7$. $Q_3 = 7{,}8$.

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị và ngưỡng.

$$\Delta_Q = 7{,}8 – 4{,}5 = 3{,}3.$$

$$Q_1 – 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 4{,}5 – 1{,}5 \cdot 3{,}3 = 4{,}5 – 4{,}95 = -0{,}45.$$

$$Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 7{,}8 + 1{,}5 \cdot 3{,}3 = 7{,}8 + 4{,}95 = 12{,}75.$$

Bước 4: Kiểm tra giá trị bất thường.

Một giá trị $x$ là bất thường nếu $x < -0{,}45$ hoặc $x > 12{,}75$.

Quan sát mẫu: tất cả các giá trị từ $3{,}2$ đến $8{,}7$ đều nằm trong khoảng $[-0{,}45;; 12{,}75]$.

→ Mẫu số liệu không có giá trị bất thường.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh