Mở đầu trang 11

Đề bài: Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài $20$ m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau. Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ trả lời được câu hỏi trên bằng cách lập hàm số bậc hai biểu diễn diện tích mảnh đất theo $x$ (khoảng cách từ cột tới bờ tường), rồi tìm giá trị lớn nhất. (Đáp số chi tiết được trình bày ở HĐ1 phần c: hai cột cần cắm cách bờ tường $x = 5$ m thì diện tích lớn nhất $= 50$ m².)

1. Khái niệm hàm số bậc hai

HĐ1 (trang 11)

Đề bài: Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi $x$ mét ($0 < x < 10$) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường (Hình 6.8). Hãy tính theo $x$:

a) Độ dài cạnh $PQ$ của mảnh đất.

b) Diện tích $S(x)$ của mảnh đất được rào chắn.

Lời giải:

Tấm lưới dài $20$ m được dùng để rào ba mặt áp bờ tường: hai cạnh hai bên (mỗi cạnh dài $x$ mét) và một cạnh đối diện bờ tường (chính là $PQ$).

a) Tổng chiều dài lưới: $x + x + PQ = 20$. Suy ra:

$$PQ = 20 – 2x \text{ (mét).}$$

(Điều kiện $0 < x < 10$ để $PQ > 0$.)

b) Diện tích hình chữ nhật bằng hai cạnh kề nhân với nhau:

$$S(x) = x \cdot PQ = x(20 – 2x) = -2x^2 + 20x \text{ (m²).}$$

Đây là một hàm số bậc hai với $a = -2,; b = 20,; c = 0$.

Câu hỏi (trang 12)

Đề bài: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. $y = x^4 + 3x^2 + 2$.
B. $y = \dfrac{1}{x^2}$.
C. $y = -3x^2 + 1$.
D. $y = 3\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 3\dfrac{1}{x} – 1$.

Lời giải:

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$ và biểu thức là đa thức bậc hai theo $x$.

• A: $x^4 + 3x^2 + 2$ có bậc $4$, không phải bậc hai.
• B: $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, không phải đa thức.
• C: $-3x^2 + 1$ với $a = -3 \neq 0$ → là hàm số bậc hai.
• D: $3 \cdot \dfrac{1}{x^2} + 3 \cdot \dfrac{1}{x} – 1$ chứa $\dfrac{1}{x}$, không phải đa thức.

Chọn C.

Luyện tập 1 (trang 12)

Đề bài: Cho hàm số $y = (x – 1)(2 – 3x)$.

a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số $a, b, c$ của nó.

b) Thay dấu “?” bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau:

Lời giải:

a) Khai triển:

$$y = (x – 1)(2 – 3x) = 2x – 3x^2 – 2 + 3x = -3x^2 + 5x – 2.$$

Đây là hàm số bậc hai với:

$$a = -3,\quad b = 5,\quad c = -2.$$

b) Thay từng giá trị $x$ vào $y = -3x^2 + 5x – 2$:

• $x = -2$: $y = -3 \cdot 4 + 5 \cdot (-2) – 2 = -12 – 10 – 2 = -24$.
• $x = -1$: $y = -3 \cdot 1 + 5 \cdot (-1) – 2 = -3 – 5 – 2 = -10$.
• $x = 0$: $y = 0 + 0 – 2 = -2$.
• $x = 1$: $y = -3 + 5 – 2 = 0$.

Bảng hoàn chỉnh:

Vận dụng 1 (trang 12)

Đề bài: Một viên bi rơi tự do từ độ cao $19{,}6$ m xuống mặt đất. Độ cao $h$ (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức $h = 19{,}6 – 4{,}9t^2$; $h, t \geq 0$.

a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất?

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số $h$.

Lời giải:

a) Viên bi chạm đất khi $h = 0$:

$$19{,}6 – 4{,}9t^2 = 0 ;\Leftrightarrow; t^2 = \dfrac{19{,}6}{4{,}9} = 4 ;\Leftrightarrow; t = 2 \text{ (vì } t \geq 0\text{).}$$

Vậy sau $2$ giây thì viên bi chạm đất.

b) Vì $t$ chỉ có nghĩa trong khoảng thời gian từ lúc thả ($t = 0$) đến lúc chạm đất ($t = 2$), nên:

Tập xác định: $D = [0;; 2]$.

Tập giá trị: Khi $t = 0$: $h = 19{,}6$ (cao nhất). Khi $t = 2$: $h = 0$ (chạm đất). Trong khoảng giữa, $h$ giảm liên tục từ $19{,}6$ về $0$. Vậy tập giá trị là $[0;; 19{,}6]$.

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

HĐ2 (trang 12 – 13)

Đề bài: Xét hàm số $y = S(x) = -2x^2 + 20x$ ($0 < x < 10$).

a) Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, biểu diễn toạ độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số $y = -2x^2 + 20x$ trên khoảng $(0;;10)$ như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số $y = -2x^2 + 20x$ có giống với đồ thị của hàm số $y = -2x^2$ hay không?

b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số $y = -2x^2 + 20x$ trong Hình 6.10, tìm toạ độ điểm cao nhất của đồ thị.

c) Thực hiện phép biến đổi:

$$y = -2x^2 + 20x = -2(x^2 – 10x) = -2(x^2 – 2 \cdot 5 \cdot x + 25) + 50 = -2(x – 5)^2 + 50.$$

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải:

a) Hai đồ thị có dạng giống nhau: cả hai đều là đường cong parabol, bề lõm hướng xuống dưới (do hệ số $a = -2 < 0$).

Tuy nhiên, vị trí của hai parabol khác nhau: đỉnh parabol $y = -2x^2$ ở gốc toạ độ $O(0; 0)$, còn đỉnh parabol $y = -2x^2 + 20x$ nằm ở điểm khác (sẽ xác định ở câu b).

b) Quan sát Hình 6.10 trong SGK: điểm cao nhất của đồ thị có toạ độ $(5;; 50)$.

c) Vì $-2(x – 5)^2 \leq 0$ với mọi $x$, nên:

$$y = -2(x – 5)^2 + 50 \leq 50.$$

Dấu “$=$” xảy ra khi $x – 5 = 0$, tức $x = 5$.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh đất là $50$ m², đạt được khi $x = 5$ m.

Trả lời câu hỏi mở đầu: Hai cột góc hàng rào cần cắm cách bờ tường $5$ m thì mảnh đất được rào chắn có diện tích lớn nhất bằng $50$ m² (lúc đó mảnh đất là hình chữ nhật $5 \times 10$ m).

HĐ3 (trang 13)

Đề bài: Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai như sau (hai parabol $y = x^2 + 2x + 2$ và $y = -2x^2 – 3x + 1$ trong SGK).

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp:

Lời giải:

Xét $y = -2x^2 – 3x + 1$ với $a = -2,; b = -3,; c = 1$:

Hệ số $a$: $a = -2$ (âm).

Bề lõm: Vì $a < 0$, parabol có bề lõm quay xuống.

Toạ độ điểm cao nhất (đỉnh): Áp dụng công thức đỉnh:

$$x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\dfrac{3}{4}.$$

$$y_I = -2 \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 – 3 \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) + 1 = -2 \cdot \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{4} + 1 = -\dfrac{9}{8} + \dfrac{18}{8} + \dfrac{8}{8} = \dfrac{17}{8}.$$

Vì $a < 0$, đỉnh là điểm cao nhất: $I\left(-\dfrac{3}{4};;\dfrac{17}{8}\right)$.

Trục đối xứng: $x = -\dfrac{3}{4}$.

Bảng hoàn chỉnh:

Luyện tập 2 (trang 15)

Đề bài: Vẽ parabol $y = 3x^2 – 10x + 7$. Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x^2 – 10x + 7$.

Lời giải:

Hàm số bậc hai $y = 3x^2 – 10x + 7$ với $a = 3,; b = -10,; c = 7$.

Bước 1: Xác định đỉnh.

$$x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-10}{6} = \dfrac{5}{3}.$$

$$y_I = 3 \cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 – 10 \cdot \dfrac{5}{3} + 7 = \dfrac{25}{3} – \dfrac{50}{3} + \dfrac{21}{3} = -\dfrac{4}{3}.$$

Đỉnh $I\left(\dfrac{5}{3};; -\dfrac{4}{3}\right)$.

Bước 2: Trục đối xứng. $x = \dfrac{5}{3}$.

Bước 3: Xác định giao điểm với các trục.

• Giao với $Oy$ (cho $x = 0$): $y = 7$. Điểm $(0;; 7)$.
• Giao với $Ox$ (cho $y = 0$): giải $3x^2 – 10x + 7 = 0$. Có $\Delta = 100 – 84 = 16$, hai nghiệm $x = \dfrac{10 + 4}{6} = \dfrac{7}{3}$ và $x = \dfrac{10 – 4}{6} = 1$. Hai điểm: $(1;; 0)$ và $\left(\dfrac{7}{3};; 0\right)$.

Bước 4: Vẽ parabol đi qua các điểm vừa tìm, có bề lõm hướng lên (vì $a = 3 > 0$), đối xứng qua đường $x = \dfrac{5}{3}$.

Từ đồ thị suy ra:

• Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty;; \dfrac{5}{3}\right)$.
• Hàm số đồng biến trên $\left(\dfrac{5}{3};; +\infty\right)$.
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\dfrac{4}{3}$, đạt được khi $x = \dfrac{5}{3}$.

Vận dụng 2 (trang 15)

Đề bài: Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (Hình 6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng $27$ m, chiều cao của trụ tháp tính từ một điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp $2{,}26$ m là $20$ m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc toạ độ, chân còn lại đặt trên tia $Ox$. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng $y = ax^2 + bx$.

Lời giải:

Theo hướng dẫn, đặt hệ trục $Oxy$ với một chân trụ tại $O(0; 0)$ và chân còn lại tại điểm $(27; 0)$. Hàm số có dạng $y = ax^2 + bx$.

Bước 1: Tìm $a, b$.

Parabol đi qua $(27; 0)$:

$$a \cdot 27^2 + b \cdot 27 = 0 ;\Leftrightarrow; 27a + b = 0 ;\Leftrightarrow; b = -27a. \quad (1)$$

Parabol đi qua điểm $(2{,}26;; 20)$: (điểm cách chân trụ tại $O$ là $2{,}26$ m, cao $20$ m)

$$a \cdot (2{,}26)^2 + b \cdot 2{,}26 = 20. \quad (2)$$

Thay $(1)$ vào $(2)$:

$$a \cdot (2{,}26)^2 – 27a \cdot 2{,}26 = 20 ;\Leftrightarrow; 2{,}26 \cdot a \cdot (2{,}26 – 27) = 20$$

$$\Leftrightarrow; -55{,}9124 \cdot a = 20 ;\Leftrightarrow; a \approx -0{,}3577.$$

Suy ra $b = -27a \approx 9{,}658$.

Bước 2: Tìm độ cao đỉnh trụ tháp (tung độ đỉnh parabol).

Trục đối xứng của parabol $y = ax^2 + bx$ đi qua trung điểm hai nghiệm $x = 0$ và $x = 27$, tức:

$$x_I = \dfrac{0 + 27}{2} = 13{,}5.$$

Thay vào hàm số:

$$y_I = a \cdot 13{,}5^2 + b \cdot 13{,}5 = 13{,}5(13{,}5a + b) = 13{,}5(13{,}5a – 27a) = 13{,}5 \cdot (-13{,}5a) = -182{,}25 a.$$

$$y_I \approx -182{,}25 \cdot (-0{,}3577) \approx 65{,}19 \text{ (m).}$$

Kết luận: Độ cao của đỉnh trụ tháp cầu xấp xỉ $65{,}19$ m (so với mặt đất).

Bài tập (trang 16 – 17)

Bài 6.7 (trang 16)

Đề bài: Vẽ các đường parabol sau:

a) $y = x^2 – 3x + 2$;
b) $y = -2x^2 + 2x + 3$;
c) $y = x^2 + 2x + 1$;
d) $y = -x^2 + x – 1$.

Lời giải:

Với mỗi parabol, ta xác định: đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$, bề lõm, giao điểm với hai trục toạ độ.

a) $y = x^2 – 3x + 2$: $a = 1,; b = -3,; c = 2,; \Delta = 9 – 8 = 1$.

• Đỉnh: $I\left(\dfrac{3}{2};; -\dfrac{1}{4}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = \dfrac{3}{2}$.
• Bề lõm hướng lên (do $a > 0$).
• Giao $Oy$: $(0;; 2)$.
• Giao $Ox$: $x^2 – 3x + 2 = 0 ;\Leftrightarrow; x = 1$ hoặc $x = 2$. Hai điểm $(1; 0)$ và $(2; 0)$.

b) $y = -2x^2 + 2x + 3$: $a = -2,; b = 2,; c = 3,; \Delta = 4 + 24 = 28$.

• Đỉnh: $I\left(\dfrac{1}{2};; \dfrac{7}{2}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = \dfrac{1}{2}$.
• Bề lõm hướng xuống.
• Giao $Oy$: $(0;; 3)$.
• Giao $Ox$: $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$, tức xấp xỉ $(-0{,}82;; 0)$ và $(1{,}82;; 0)$.

c) $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$: $a = 1,; b = 2,; c = 1,; \Delta = 0$.

• Đỉnh: $I(-1;; 0)$ (chính là điểm tiếp xúc với $Ox$).
• Trục đối xứng: $x = -1$.
• Bề lõm hướng lên.
• Giao $Oy$: $(0;; 1)$.

d) $y = -x^2 + x – 1$: $a = -1,; b = 1,; c = -1,; \Delta = 1 – 4 = -3 < 0$.

• Đỉnh: $I\left(\dfrac{1}{2};; -\dfrac{3}{4}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = \dfrac{1}{2}$.
• Bề lõm hướng xuống.
• Giao $Oy$: $(0;; -1)$.
• Không cắt $Ox$ (do $\Delta < 0$).
• Một điểm phụ đối xứng với $(0; -1)$ qua trục $x = \dfrac{1}{2}$ là $(1;; -1)$.

Bài 6.8 (trang 16)

Đề bài: Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Lời giải:

Quy tắc chung (dựa vào lý thuyết): với hàm $y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $x_I = -\dfrac{b}{2a}$:

• Nếu $a > 0$: nghịch biến trên $(-\infty;; x_I)$, đồng biến trên $(x_I;; +\infty)$.
• Nếu $a < 0$: đồng biến trên $(-\infty;; x_I)$, nghịch biến trên $(x_I;; +\infty)$.

a) $y = x^2 – 3x + 2$ ($a = 1 > 0$, $x_I = \dfrac{3}{2}$):

• Nghịch biến trên $\left(-\infty;; \dfrac{3}{2}\right)$.
• Đồng biến trên $\left(\dfrac{3}{2};; +\infty\right)$.

b) $y = -2x^2 + 2x + 3$ ($a = -2 < 0$, $x_I = \dfrac{1}{2}$):

• Đồng biến trên $\left(-\infty;; \dfrac{1}{2}\right)$.
• Nghịch biến trên $\left(\dfrac{1}{2};; +\infty\right)$.

c) $y = x^2 + 2x + 1$ ($a = 1 > 0$, $x_I = -1$):

• Nghịch biến trên $(-\infty;; -1)$.
• Đồng biến trên $(-1;; +\infty)$.

d) $y = -x^2 + x – 1$ ($a = -1 < 0$, $x_I = \dfrac{1}{2}$):

• Đồng biến trên $\left(-\infty;; \dfrac{1}{2}\right)$.
• Nghịch biến trên $\left(\dfrac{1}{2};; +\infty\right)$.

Bài 6.9 (trang 16)

Đề bài: Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$, trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm $A(1;; 0)$ và $B(2;; 4)$;
b) Đi qua điểm $A(1;; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$;
c) Có đỉnh $I(1;; 2)$;
d) Đi qua điểm $C(-1;; 1)$ và có tung độ đỉnh bằng $-0{,}25$.

Lời giải:

Nhớ: với parabol $y = ax^2 + bx + 1$, đỉnh có hoành độ $x_I = -\dfrac{b}{2a}$.

a) Parabol đi qua $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$:

• Thay $A(1; 0)$: $a \cdot 1 + b \cdot 1 + 1 = 0 ;\Rightarrow; a + b = -1$.
• Thay $B(2; 4)$: $4a + 2b + 1 = 4 ;\Rightarrow; 4a + 2b = 3$.

Giải hệ: từ phương trình đầu $b = -1 – a$, thay vào phương trình sau:

$$4a + 2(-1 – a) = 3 ;\Leftrightarrow; 2a = 5 ;\Leftrightarrow; a = \dfrac{5}{2},\quad b = -\dfrac{7}{2}.$$

Parabol: $y = \dfrac{5}{2}x^2 – \dfrac{7}{2}x + 1$.

b) $A(1; 0)$ và trục đối xứng $x = 1$:

• Trục đối xứng $x = 1$: $-\dfrac{b}{2a} = 1 ;\Rightarrow; b = -2a$.
• $A(1; 0)$: $a + b + 1 = 0 ;\Rightarrow; a – 2a + 1 = 0 ;\Rightarrow; a = 1,; b = -2$.

Parabol: $y = x^2 – 2x + 1$.

c) Đỉnh $I(1; 2)$:

• Hoành độ đỉnh: $-\dfrac{b}{2a} = 1 ;\Rightarrow; b = -2a$.
• Đỉnh có tung độ $2$, tức $y(1) = 2$: $a + b + 1 = 2 ;\Rightarrow; a – 2a = 1 ;\Rightarrow; a = -1,; b = 2$.

Parabol: $y = -x^2 + 2x + 1$.

d) $C(-1; 1)$ và tung độ đỉnh $= -0{,}25 = -\dfrac{1}{4}$:

• $C(-1; 1)$: $a \cdot 1 + b \cdot (-1) + 1 = 1 ;\Rightarrow; a – b = 0 ;\Rightarrow; a = b$. $(*)$
• Tung độ đỉnh $= -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{b^2 – 4a}{4a} = -\dfrac{1}{4}$.

Suy ra: $\dfrac{b^2 – 4a}{4a} = \dfrac{1}{4} ;\Leftrightarrow; b^2 – 4a = a ;\Leftrightarrow; b^2 = 5a$.

Kết hợp $(*)$ ($a = b$): $b^2 = 5b ;\Leftrightarrow; b(b – 5) = 0 ;\Leftrightarrow; b = 0$ hoặc $b = 5$.

Vì là parabol nên $a \neq 0$, loại $b = 0$. Vậy $a = b = 5$.

Parabol: $y = 5x^2 + 5x + 1$.

Bài 6.10 (trang 16)

Đề bài: Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c$, biết rằng parabol đó đi qua điểm $A(8;; 0)$ và có đỉnh $I(6;; -12)$.

Gợi ý: Phương trình parabol có thể viết dưới dạng $y = a(x – h)^2 + k$, trong đó $I(h;; k)$ là toạ độ đỉnh của parabol.

Lời giải:

Với đỉnh $I(6;; -12)$, ta có $h = 6,; k = -12$, parabol viết dưới dạng:

$$y = a(x – 6)^2 – 12.$$

Parabol đi qua $A(8; 0)$:

$$0 = a(8 – 6)^2 – 12 ;\Leftrightarrow; 4a = 12 ;\Leftrightarrow; a = 3.$$

Vậy $y = 3(x – 6)^2 – 12$. Khai triển:

$$y = 3(x^2 – 12x + 36) – 12 = 3x^2 – 36x + 108 – 12 = 3x^2 – 36x + 96.$$

Vậy parabol cần tìm là $y = 3x^2 – 36x + 96$ (tức $a = 3,; b = -36,; c = 96$).

Bài 6.11 (trang 16)

Đề bài: Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$. Hãy xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$, trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;

b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;

c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;

d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải:

Nhớ lại:

• $(P)$ có bề lõm hướng lên $\Leftrightarrow$ $a > 0$; hướng xuống $\Leftrightarrow$ $a < 0$.
• Số giao điểm của $(P)$ với trục hoành phụ thuộc dấu của $\Delta$: $\Delta > 0$: 2 giao điểm, $\Delta = 0$: tiếp xúc (1 giao điểm), $\Delta < 0$: không cắt.

a) $(P)$ nằm hoàn toàn trên trục hoành (tức $y > 0$ với mọi $x$): bề lõm phải hướng lên ($a > 0$) và không cắt trục hoành ($\Delta < 0$). Vậy:

$$a > 0,\quad \Delta < 0.$$

b) $(P)$ nằm hoàn toàn dưới trục hoành ($y < 0$ với mọi $x$): bề lõm hướng xuống ($a < 0$) và không cắt trục hoành ($\Delta < 0$). Vậy:

$$a < 0,\quad \Delta < 0.$$

c) $(P)$ cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt → $\Delta > 0$. Đỉnh nằm dưới trục hoành, mà parabol cắt $Ox$ ở hai điểm nên parabol “đi xuống tới đỉnh rồi đi lên” → bề lõm hướng lên → $a > 0$. Vậy:

$$a > 0,\quad \Delta > 0.$$

d) $(P)$ tiếp xúc trục hoành → $\Delta = 0$. Nằm trên trục hoành → bề lõm hướng lên → $a > 0$. Vậy:

$$a > 0,\quad \Delta = 0.$$

Bài 6.12 (trang 16)

Đề bài: Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Đại học Bách khoa Hà Nội (Hình 6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là $8$ m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng $0{,}5$ m là $2{,}93$ m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là $12$ m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với một chân cổng đặt tại $O(0; 0)$ và chân cổng kia đặt tại $(8; 0)$ trên trục $Ox$. Cổng có dạng $y = ax^2 + bx$ (vì đi qua gốc $O$ nên $c = 0$).

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Parabol đi qua $(8; 0)$:

$$64a + 8b = 0 ;\Leftrightarrow; b = -8a. \quad (1)$$

Parabol đi qua điểm $(0{,}5;; 2{,}93)$ (cách chân cổng tại $O$ là $0{,}5$ m, cao $2{,}93$ m):

$$(0{,}5)^2 \cdot a + 0{,}5 \cdot b = 2{,}93 ;\Leftrightarrow; 0{,}25 a + 0{,}5 b = 2{,}93. \quad (2)$$

Thay $(1)$ vào $(2)$:

$$0{,}25a + 0{,}5 \cdot (-8a) = 2{,}93 ;\Leftrightarrow; -3{,}75 a = 2{,}93 ;\Leftrightarrow; a \approx -0{,}7813.$$

Suy ra $b = -8a \approx 6{,}2507$.

Bước 2: Tính chiều cao cổng (tung độ đỉnh).

Trục đối xứng: $x_I = \dfrac{0 + 8}{2} = 4$.

$$y_I = a \cdot 16 + b \cdot 4 = 16a + 4 \cdot (-8a) = -16a \approx -16 \cdot (-0{,}7813) \approx 12{,}50 \text{ (m).}$$

Kết luận: Chiều cao thực tế của cổng (theo dữ kiện) xấp xỉ $12{,}5$ m, không phải $12$ m như bạn An tính. Vậy bạn Bình đúng: kết quả bạn An đưa ra là không chính xác.

Bài 6.13 (trang 16)

Đề bài: Bác Hùng dùng $40$ m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Lời giải:

Phân tích: Khác với bài Mở đầu (rào ba mặt), bài này rào bốn mặt hình chữ nhật. Lưới dài $40$ m bằng chu vi hình chữ nhật.

Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $y$ (m), $x > 0,; y > 0$. Ta có:

$$2x + 2y = 40 ;\Leftrightarrow; y = 20 – x.$$

Điều kiện $0 < x < 20$ để $y > 0$.

a) Diện tích mảnh vườn:

$$S(x) = x \cdot y = x(20 – x) = -x^2 + 20x \text{ (m²).}$$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $S(x) = -x^2 + 20x$ với $a = -1 < 0$.

Đỉnh parabol có hoành độ: $x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{-2} = 10$.

$$S(10) = -100 + 200 = 100 \text{ (m²).}$$

Vì $a < 0$, đỉnh là điểm cao nhất. Vậy diện tích lớn nhất là $100$ m², đạt được khi $x = 10$ m.

Khi đó $y = 20 – 10 = 10$ m. Vậy mảnh vườn là hình vuông cạnh $10$ m.

Bài 6.14 (trang 16 – 17)

Đề bài: Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc $O$ (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ là một parabol có phương trình $y = \dfrac{-3}{1\,000}x^2 + x$, trong đó $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc $O$, $y$ (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (Hình 6.15).

a) Tìm độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay.

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Lời giải:

Hàm số: $y = -\dfrac{3}{1\,000} x^2 + x$ với $a = -\dfrac{3}{1\,000},; b = 1,; c = 0$. Vì $a < 0$ nên parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh là điểm cao nhất.

a) Độ cao lớn nhất:

Hoành độ đỉnh:

$$x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2 \cdot \left(-\dfrac{3}{1\,000}\right)} = \dfrac{1\,000}{6} = \dfrac{500}{3}.$$

Tung độ đỉnh:

$$y_I = -\dfrac{3}{1\,000} \cdot \left(\dfrac{500}{3}\right)^2 + \dfrac{500}{3} = -\dfrac{3}{1\,000} \cdot \dfrac{250\,000}{9} + \dfrac{500}{3}$$

$$= -\dfrac{750\,000}{9\,000} + \dfrac{500}{3} = -\dfrac{250}{3} + \dfrac{500}{3} = \dfrac{250}{3}.$$

Vậy độ cao lớn nhất của vật là $\dfrac{250}{3} \approx 83{,}33$ (m).

b) Tầm xa: Vật chạm đất khi $y = 0$:

$$-\dfrac{3}{1\,000} x^2 + x = 0 ;\Leftrightarrow; x\left(-\dfrac{3}{1\,000} x + 1\right) = 0$$

$$\Leftrightarrow; x = 0 \text{ (tại gốc, lúc ném)} \text{ hoặc } x = \dfrac{1\,000}{3}.$$

Vậy tầm xa của quỹ đạo là $\dfrac{1\,000}{3} \approx 333{,}33$ (m).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh